MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzaddcl Structured version   Unicode version

Theorem gzaddcl 14539
Description: The gaussian integers are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
gzaddcl  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( A  +  B )  e.  ZZ[_i] )

Proof of Theorem gzaddcl
StepHypRef Expression
1 gzcn 14534 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  A  e.  CC )
2 gzcn 14534 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ[_i]  ->  B  e.  CC )
3 addcl 9563 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
41, 2, 3syl2an 475 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( A  +  B )  e.  CC )
5 readd 13041 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) ) )
61, 2, 5syl2an 475 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( Re `  ( A  +  B
) )  =  ( ( Re `  A
)  +  ( Re
`  B ) ) )
7 elgz 14533 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  <->  ( A  e.  CC  /\  ( Re
`  A )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  A )  e.  ZZ ) )
87simp2bi 1010 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( Re `  A )  e.  ZZ )
9 elgz 14533 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ[_i]  <->  ( B  e.  CC  /\  ( Re
`  B )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  B )  e.  ZZ ) )
109simp2bi 1010 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ[_i]  ->  ( Re `  B )  e.  ZZ )
11 zaddcl 10900 . . . 4  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  ZZ  /\  ( Re `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  e.  ZZ )
128, 10, 11syl2an 475 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( (
Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  e.  ZZ )
136, 12eqeltrd 2542 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( Re `  ( A  +  B
) )  e.  ZZ )
14 imadd 13049 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) )
151, 2, 14syl2an 475 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( Im `  ( A  +  B
) )  =  ( ( Im `  A
)  +  ( Im
`  B ) ) )
167simp3bi 1011 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( Im `  A )  e.  ZZ )
179simp3bi 1011 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ[_i]  ->  ( Im `  B )  e.  ZZ )
18 zaddcl 10900 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) )  e.  ZZ )
1916, 17, 18syl2an 475 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  B ) )  e.  ZZ )
2015, 19eqeltrd 2542 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( Im `  ( A  +  B
) )  e.  ZZ )
21 elgz 14533 . 2  |-  ( ( A  +  B )  e.  ZZ[_i]  <->  ( ( A  +  B )  e.  CC  /\  ( Re
`  ( A  +  B ) )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  ( A  +  B ) )  e.  ZZ ) )
224, 13, 20, 21syl3anbrc 1178 1  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( A  +  B )  e.  ZZ[_i] )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479    + caddc 9484   ZZcz 10860   Recre 13012   Imcim 13013   ZZ[_i]cgz 14531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-gz 14532
This theorem is referenced by:  gzreim  14541  gzsubcl  14542  mul4sqlem  14555  gzsubrg  18667
  Copyright terms: Public domain W3C validator