MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzabssqcl Structured version   Unicode version

Theorem gzabssqcl 14014
Description: The squared norm of a gaussian integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
gzabssqcl  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  e.  NN0 )

Proof of Theorem gzabssqcl
StepHypRef Expression
1 gzcn 14005 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  A  e.  CC )
21absvalsq2d 12941 . 2  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  =  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
3 elgz 14004 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  <->  ( A  e.  CC  /\  ( Re
`  A )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  A )  e.  ZZ ) )
43simp2bi 1004 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( Re `  A )  e.  ZZ )
5 zsqcl2 11955 . . . 4  |-  ( ( Re `  A )  e.  ZZ  ->  (
( Re `  A
) ^ 2 )  e.  NN0 )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( (
Re `  A ) ^ 2 )  e. 
NN0 )
73simp3bi 1005 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( Im `  A )  e.  ZZ )
8 zsqcl2 11955 . . . 4  |-  ( ( Im `  A )  e.  ZZ  ->  (
( Im `  A
) ^ 2 )  e.  NN0 )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( (
Im `  A ) ^ 2 )  e. 
NN0 )
106, 9nn0addcld 10652 . 2  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( (
( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) )  e. 
NN0 )
112, 10eqeltrd 2517 1  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292    + caddc 9297   2c2 10383   NN0cn0 10591   ZZcz 10658   ^cexp 11877   Recre 12598   Imcim 12599   abscabs 12735   ZZ[_i]cgz 14002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-gz 14003
This theorem is referenced by:  mul4sq  14027  gzrngunitlem  17889
  Copyright terms: Public domain W3C validator