Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gxval Structured version   Unicode version

Theorem gxval 25074
 Description: The result of the group power operator. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxfval.1
gxfval.2 GId
gxfval.3
gxfval.4
Assertion
Ref Expression
gxval

Proof of Theorem gxval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gxfval.1 . . . . 5
2 gxfval.2 . . . . 5 GId
3 gxfval.3 . . . . 5
4 gxfval.4 . . . . 5
51, 2, 3, 4gxfval 25073 . . . 4
65oveqd 6312 . . 3
7 sneq 4043 . . . . . . . . 9
87xpeq2d 5029 . . . . . . . 8
98seqeq3d 12095 . . . . . . 7
109fveq1d 5874 . . . . . 6
119fveq1d 5874 . . . . . . 7
1211fveq2d 5876 . . . . . 6
1310, 12ifeq12d 3965 . . . . 5
1413ifeq2d 3964 . . . 4
15 eqeq1 2471 . . . . 5
16 breq2 4457 . . . . . 6
17 fveq2 5872 . . . . . 6
18 negeq 9824 . . . . . . . 8
1918fveq2d 5876 . . . . . . 7
2019fveq2d 5876 . . . . . 6
2116, 17, 20ifbieq12d 3972 . . . . 5
2215, 21ifbieq2d 3970 . . . 4
23 eqid 2467 . . . 4
24 fvex 5882 . . . . . 6 GId
252, 24eqeltri 2551 . . . . 5
26 fvex 5882 . . . . . 6
27 fvex 5882 . . . . . 6
2826, 27ifex 4014 . . . . 5
2925, 28ifex 4014 . . . 4
3014, 22, 23, 29ovmpt2 6433 . . 3
316, 30sylan9eq 2528 . 2
32313impb 1192 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3118  cif 3945  csn 4033   class class class wbr 4453   cxp 5003   crn 5006  cfv 5594  (class class class)co 6295   cmpt2 6297  cc0 9504  c1 9505   clt 9640  cneg 9818  cn 10548  cz 10876   cseq 12087  cgr 25002  GIdcgi 25003  cgn 25004  cgx 25006 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-neg 9820  df-z 10877  df-seq 12088  df-gx 25011 This theorem is referenced by:  gxpval  25075  gxnval  25076  gx0  25077
 Copyright terms: Public domain W3C validator