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Theorem gxsuc 23694
Description: Induction on group power. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxsuc.1  |-  X  =  ran  G
gxsuc.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gxsuc  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( K  + 
1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) )

Proof of Theorem gxsuc
StepHypRef Expression
1 gxsuc.1 . . . . 5  |-  X  =  ran  G
2 gxsuc.2 . . . . 5  |-  P  =  ( ^g `  G
)
31, 2gxnn0suc 23686 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e. 
NN0 )  ->  ( A P ( K  + 
1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) )
433expia 1184 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( K  + 
1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) ) )
543adant3 1003 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( K  + 
1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) ) )
6 simp3l 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  ->  K  e.  ZZ )
71, 2gxcom 23691 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( A P K ) G A )  =  ( A G ( A P K ) ) )
86, 7syld3an3 1258 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( A P K ) G A )  =  ( A G ( A P K ) ) )
9 simp1 983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  ->  G  e.  GrpOp )
10 peano2z 10682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
116, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( K  +  1 )  e.  ZZ )
121, 2gxcl 23687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A P ( K  +  1 ) )  e.  X )
1311, 12syld3an3 1258 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P ( K  +  1 ) )  e.  X )
14 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
151, 14grpo2inv 23661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P ( K  + 
1 ) )  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( A P ( K  +  1 ) ) )
169, 13, 15syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( A P ( K  +  1 ) ) )
1716oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  A
) G ( ( inv `  G ) `
 ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( inv `  G
) `  A ) G ( A P ( K  +  1 ) ) ) )
18 nnm1nn0 10617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u K  e.  NN  ->  (
-u K  -  1 )  e.  NN0 )
1918adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN )  ->  ( -u K  -  1 )  e. 
NN0 )
20 zcn 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
21 ax-1cn 9336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
22 negdi 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( K  + 
1 )  =  (
-u K  +  -u
1 ) )
2320, 21, 22sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ZZ  ->  -u ( K  +  1 )  =  ( -u K  +  -u 1 ) )
2420negcld 9702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ZZ  ->  -u K  e.  CC )
25 negsub 9653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( -u K  +  -u 1 )  =  ( -u K  - 
1 ) )
2624, 21, 25sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( -u K  +  -u 1
)  =  ( -u K  -  1 ) )
2723, 26eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ZZ  ->  -u ( K  +  1 )  =  ( -u K  -  1 ) )
2827eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( -u ( K  +  1 )  e.  NN0  <->  ( -u K  -  1 )  e. 
NN0 ) )
2928adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN )  ->  ( -u ( K  +  1 )  e.  NN0  <->  ( -u K  -  1 )  e. 
NN0 ) )
3019, 29mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN )  ->  -u ( K  + 
1 )  e.  NN0 )
311, 2gxnn0suc 23686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  -u ( K  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( A P (
-u ( K  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A P -u ( K  +  1
) ) G A ) )
3230, 31syl3an3 1248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P (
-u ( K  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A P -u ( K  +  1
) ) G A ) )
3327oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( -u ( K  +  1 )  +  1 )  =  ( ( -u K  -  1 )  +  1 ) )
34 npcan 9615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( -u K  -  1 )  +  1 )  = 
-u K )
3524, 21, 34sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( -u K  -  1 )  +  1 )  =  -u K )
3633, 35eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( -u ( K  +  1 )  +  1 )  =  -u K )
3736oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A P ( -u ( K  +  1 )  +  1 ) )  =  ( A P
-u K ) )
386, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P (
-u ( K  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( A P -u K
) )
3932, 38eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( A P
-u ( K  + 
1 ) ) G A )  =  ( A P -u K
) )
401, 14, 2gxneg 23688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A P -u ( K  +  1
) )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) )
4110, 40syl3an3 1248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P -u ( K  +  1 ) )  =  ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) )
426, 41syld3an3 1258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P -u ( K  +  1
) )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) )
4342oveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( A P
-u ( K  + 
1 ) ) G A )  =  ( ( ( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) G A ) )
441, 14, 2gxneg 23688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P -u K )  =  ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) )
456, 44syld3an3 1258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P -u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P K ) ) )
4639, 43, 453eqtr3d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) G A )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P K ) ) )
4746fveq2d 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( (
( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) G A ) )  =  ( ( inv `  G ) `  (
( inv `  G
) `  ( A P K ) ) ) )
481, 14grpoinvcl 23648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P ( K  + 
1 ) )  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) )  e.  X )
499, 13, 48syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) )  e.  X )
50 simp2 984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  ->  A  e.  X )
511, 14grpoinvop 23663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) )  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( (
( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) G A ) )  =  ( ( ( inv `  G ) `
 A ) G ( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  +  1 ) ) ) ) ) )
529, 49, 50, 51syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( (
( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) G A ) )  =  ( ( ( inv `  G ) `
 A ) G ( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  +  1 ) ) ) ) ) )
531, 2gxcl 23687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P K )  e.  X )
546, 53syld3an3 1258 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P K )  e.  X )
551, 14grpo2inv 23661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P K )  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) )  =  ( A P K ) )
569, 54, 55syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) )  =  ( A P K ) )
5747, 52, 563eqtr3d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  A
) G ( ( inv `  G ) `
 ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( A P K ) )
5817, 57eqtr3d 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  A
) G ( A P ( K  + 
1 ) ) )  =  ( A P K ) )
5958oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A G ( ( ( inv `  G
) `  A ) G ( A P ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( A G ( A P K ) ) )
601, 14grpoasscan1 23659 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( A P ( K  + 
1 ) )  e.  X )  ->  ( A G ( ( ( inv `  G ) `
 A ) G ( A P ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( A P ( K  +  1 ) ) )
6113, 60syld3an3 1258 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A G ( ( ( inv `  G
) `  A ) G ( A P ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( A P ( K  +  1 ) ) )
628, 59, 613eqtr2rd 2480 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P ( K  +  1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) )
63623expia 1184 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN )  ->  ( A P ( K  +  1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) ) )
6463exp3a 436 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  (
-u K  e.  NN  ->  ( A P ( K  +  1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) ) ) )
65643impia 1179 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u K  e.  NN  ->  ( A P ( K  +  1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) ) )
66 elznn0nn 10656 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  <->  ( K  e.  NN0  \/  ( K  e.  RR  /\  -u K  e.  NN ) ) )
67 simpr 458 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  -u K  e.  NN )  ->  -u K  e.  NN )
6867orim2i 515 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  \/  ( K  e.  RR  /\  -u K  e.  NN ) )  ->  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN ) )
6966, 68sylbi 195 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN ) )
70693ad2ant3 1006 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN ) )
715, 65, 70mpjaod 381 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( K  + 
1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   ran crn 4837   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   1c1 9279    + caddc 9281    - cmin 9591   -ucneg 9592   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   GrpOpcgr 23608   invcgn 23610   ^gcgx 23612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-seq 11803  df-grpo 23613  df-gid 23614  df-ginv 23615  df-gx 23617
This theorem is referenced by:  gxid  23695  gxnn0add  23696  gxnn0mul  23699  gxdi  23718
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