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Theorem gxsuc 23781
Description: Induction on group power. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxsuc.1  |-  X  =  ran  G
gxsuc.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gxsuc  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( K  + 
1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) )

Proof of Theorem gxsuc
StepHypRef Expression
1 gxsuc.1 . . . . 5  |-  X  =  ran  G
2 gxsuc.2 . . . . 5  |-  P  =  ( ^g `  G
)
31, 2gxnn0suc 23773 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e. 
NN0 )  ->  ( A P ( K  + 
1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) )
433expia 1189 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( K  + 
1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) ) )
543adant3 1008 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( K  + 
1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) ) )
6 simp3l 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  ->  K  e.  ZZ )
71, 2gxcom 23778 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( A P K ) G A )  =  ( A G ( A P K ) ) )
86, 7syld3an3 1263 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( A P K ) G A )  =  ( A G ( A P K ) ) )
9 simp1 988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  ->  G  e.  GrpOp )
10 peano2z 10707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
116, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( K  +  1 )  e.  ZZ )
121, 2gxcl 23774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A P ( K  +  1 ) )  e.  X )
1311, 12syld3an3 1263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P ( K  +  1 ) )  e.  X )
14 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
151, 14grpo2inv 23748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P ( K  + 
1 ) )  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( A P ( K  +  1 ) ) )
169, 13, 15syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( A P ( K  +  1 ) ) )
1716oveq2d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  A
) G ( ( inv `  G ) `
 ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( inv `  G
) `  A ) G ( A P ( K  +  1 ) ) ) )
18 nnm1nn0 10642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u K  e.  NN  ->  (
-u K  -  1 )  e.  NN0 )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN )  ->  ( -u K  -  1 )  e. 
NN0 )
20 zcn 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
21 ax-1cn 9361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
22 negdi 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( K  + 
1 )  =  (
-u K  +  -u
1 ) )
2320, 21, 22sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ZZ  ->  -u ( K  +  1 )  =  ( -u K  +  -u 1 ) )
2420negcld 9727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ZZ  ->  -u K  e.  CC )
25 negsub 9678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( -u K  +  -u 1 )  =  ( -u K  - 
1 ) )
2624, 21, 25sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( -u K  +  -u 1
)  =  ( -u K  -  1 ) )
2723, 26eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ZZ  ->  -u ( K  +  1 )  =  ( -u K  -  1 ) )
2827eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( -u ( K  +  1 )  e.  NN0  <->  ( -u K  -  1 )  e. 
NN0 ) )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN )  ->  ( -u ( K  +  1 )  e.  NN0  <->  ( -u K  -  1 )  e. 
NN0 ) )
3019, 29mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN )  ->  -u ( K  + 
1 )  e.  NN0 )
311, 2gxnn0suc 23773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  -u ( K  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( A P (
-u ( K  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A P -u ( K  +  1
) ) G A ) )
3230, 31syl3an3 1253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P (
-u ( K  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A P -u ( K  +  1
) ) G A ) )
3327oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( -u ( K  +  1 )  +  1 )  =  ( ( -u K  -  1 )  +  1 ) )
34 npcan 9640 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( -u K  -  1 )  +  1 )  = 
-u K )
3524, 21, 34sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( -u K  -  1 )  +  1 )  =  -u K )
3633, 35eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( -u ( K  +  1 )  +  1 )  =  -u K )
3736oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A P ( -u ( K  +  1 )  +  1 ) )  =  ( A P
-u K ) )
386, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P (
-u ( K  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( A P -u K
) )
3932, 38eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( A P
-u ( K  + 
1 ) ) G A )  =  ( A P -u K
) )
401, 14, 2gxneg 23775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A P -u ( K  +  1
) )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) )
4110, 40syl3an3 1253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P -u ( K  +  1 ) )  =  ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) )
426, 41syld3an3 1263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P -u ( K  +  1
) )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) )
4342oveq1d 6127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( A P
-u ( K  + 
1 ) ) G A )  =  ( ( ( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) G A ) )
441, 14, 2gxneg 23775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P -u K )  =  ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) )
456, 44syld3an3 1263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P -u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P K ) ) )
4639, 43, 453eqtr3d 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) G A )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P K ) ) )
4746fveq2d 5716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( (
( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) G A ) )  =  ( ( inv `  G ) `  (
( inv `  G
) `  ( A P K ) ) ) )
481, 14grpoinvcl 23735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P ( K  + 
1 ) )  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) )  e.  X )
499, 13, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) )  e.  X )
50 simp2 989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  ->  A  e.  X )
511, 14grpoinvop 23750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) )  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( (
( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) G A ) )  =  ( ( ( inv `  G ) `
 A ) G ( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  +  1 ) ) ) ) ) )
529, 49, 50, 51syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( (
( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) G A ) )  =  ( ( ( inv `  G ) `
 A ) G ( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  +  1 ) ) ) ) ) )
531, 2gxcl 23774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P K )  e.  X )
546, 53syld3an3 1263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P K )  e.  X )
551, 14grpo2inv 23748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P K )  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) )  =  ( A P K ) )
569, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) )  =  ( A P K ) )
5747, 52, 563eqtr3d 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  A
) G ( ( inv `  G ) `
 ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( A P K ) )
5817, 57eqtr3d 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  A
) G ( A P ( K  + 
1 ) ) )  =  ( A P K ) )
5958oveq2d 6128 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A G ( ( ( inv `  G
) `  A ) G ( A P ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( A G ( A P K ) ) )
601, 14grpoasscan1 23746 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( A P ( K  + 
1 ) )  e.  X )  ->  ( A G ( ( ( inv `  G ) `
 A ) G ( A P ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( A P ( K  +  1 ) ) )
6113, 60syld3an3 1263 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A G ( ( ( inv `  G
) `  A ) G ( A P ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( A P ( K  +  1 ) ) )
628, 59, 613eqtr2rd 2482 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P ( K  +  1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) )
63623expia 1189 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN )  ->  ( A P ( K  +  1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) ) )
6463expd 436 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  (
-u K  e.  NN  ->  ( A P ( K  +  1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) ) ) )
65643impia 1184 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u K  e.  NN  ->  ( A P ( K  +  1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) ) )
66 elznn0nn 10681 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  <->  ( K  e.  NN0  \/  ( K  e.  RR  /\  -u K  e.  NN ) ) )
67 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  -u K  e.  NN )  ->  -u K  e.  NN )
6867orim2i 518 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  \/  ( K  e.  RR  /\  -u K  e.  NN ) )  ->  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN ) )
6966, 68sylbi 195 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN ) )
70693ad2ant3 1011 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN ) )
715, 65, 70mpjaod 381 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( K  + 
1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ran crn 4862   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   1c1 9304    + caddc 9306    - cmin 9616   -ucneg 9617   NNcn 10343   NN0cn0 10600   ZZcz 10667   GrpOpcgr 23695   invcgn 23697   ^gcgx 23699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-seq 11828  df-grpo 23700  df-gid 23701  df-ginv 23702  df-gx 23704
This theorem is referenced by:  gxid  23782  gxnn0add  23783  gxnn0mul  23786  gxdi  23805
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