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Theorem gxsuc 25475
Description: Induction on group power. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxsuc.1  |-  X  =  ran  G
gxsuc.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gxsuc  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( K  + 
1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) )

Proof of Theorem gxsuc
StepHypRef Expression
1 gxsuc.1 . . . . 5  |-  X  =  ran  G
2 gxsuc.2 . . . . 5  |-  P  =  ( ^g `  G
)
31, 2gxnn0suc 25467 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e. 
NN0 )  ->  ( A P ( K  + 
1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) )
433expia 1196 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( K  + 
1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) ) )
543adant3 1014 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( K  + 
1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) ) )
6 simp3l 1022 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  ->  K  e.  ZZ )
71, 2gxcom 25472 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( A P K ) G A )  =  ( A G ( A P K ) ) )
86, 7syld3an3 1271 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( A P K ) G A )  =  ( A G ( A P K ) ) )
9 simp1 994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  ->  G  e.  GrpOp )
10 peano2z 10901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
116, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( K  +  1 )  e.  ZZ )
121, 2gxcl 25468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A P ( K  +  1 ) )  e.  X )
1311, 12syld3an3 1271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P ( K  +  1 ) )  e.  X )
14 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
151, 14grpo2inv 25442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P ( K  + 
1 ) )  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( A P ( K  +  1 ) ) )
169, 13, 15syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( A P ( K  +  1 ) ) )
1716oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  A
) G ( ( inv `  G ) `
 ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( inv `  G
) `  A ) G ( A P ( K  +  1 ) ) ) )
18 nnm1nn0 10833 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u K  e.  NN  ->  (
-u K  -  1 )  e.  NN0 )
1918adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN )  ->  ( -u K  -  1 )  e. 
NN0 )
20 zcn 10865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
21 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
22 negdi 9867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( K  + 
1 )  =  (
-u K  +  -u
1 ) )
2320, 21, 22sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ZZ  ->  -u ( K  +  1 )  =  ( -u K  +  -u 1 ) )
2420negcld 9909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ZZ  ->  -u K  e.  CC )
25 negsub 9858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( -u K  +  -u 1 )  =  ( -u K  - 
1 ) )
2624, 21, 25sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( -u K  +  -u 1
)  =  ( -u K  -  1 ) )
2723, 26eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ZZ  ->  -u ( K  +  1 )  =  ( -u K  -  1 ) )
2827eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( -u ( K  +  1 )  e.  NN0  <->  ( -u K  -  1 )  e. 
NN0 ) )
2928adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN )  ->  ( -u ( K  +  1 )  e.  NN0  <->  ( -u K  -  1 )  e. 
NN0 ) )
3019, 29mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN )  ->  -u ( K  + 
1 )  e.  NN0 )
311, 2gxnn0suc 25467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  -u ( K  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( A P (
-u ( K  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A P -u ( K  +  1
) ) G A ) )
3230, 31syl3an3 1261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P (
-u ( K  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A P -u ( K  +  1
) ) G A ) )
3327oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( -u ( K  +  1 )  +  1 )  =  ( ( -u K  -  1 )  +  1 ) )
34 npcan 9820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( -u K  -  1 )  +  1 )  = 
-u K )
3524, 21, 34sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( -u K  -  1 )  +  1 )  =  -u K )
3633, 35eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( -u ( K  +  1 )  +  1 )  =  -u K )
3736oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A P ( -u ( K  +  1 )  +  1 ) )  =  ( A P
-u K ) )
386, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P (
-u ( K  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( A P -u K
) )
3932, 38eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( A P
-u ( K  + 
1 ) ) G A )  =  ( A P -u K
) )
401, 14, 2gxneg 25469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A P -u ( K  +  1
) )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) )
4110, 40syl3an3 1261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P -u ( K  +  1 ) )  =  ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) )
426, 41syld3an3 1271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P -u ( K  +  1
) )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) )
4342oveq1d 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( A P
-u ( K  + 
1 ) ) G A )  =  ( ( ( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) G A ) )
441, 14, 2gxneg 25469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P -u K )  =  ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) )
456, 44syld3an3 1271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P -u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P K ) ) )
4639, 43, 453eqtr3d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) G A )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P K ) ) )
4746fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( (
( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) G A ) )  =  ( ( inv `  G ) `  (
( inv `  G
) `  ( A P K ) ) ) )
481, 14grpoinvcl 25429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P ( K  + 
1 ) )  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) )  e.  X )
499, 13, 48syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) )  e.  X )
50 simp2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  ->  A  e.  X )
511, 14grpoinvop 25444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) )  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( (
( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) G A ) )  =  ( ( ( inv `  G ) `
 A ) G ( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  +  1 ) ) ) ) ) )
529, 49, 50, 51syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( (
( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) G A ) )  =  ( ( ( inv `  G ) `
 A ) G ( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  +  1 ) ) ) ) ) )
531, 2gxcl 25468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P K )  e.  X )
546, 53syld3an3 1271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P K )  e.  X )
551, 14grpo2inv 25442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P K )  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) )  =  ( A P K ) )
569, 54, 55syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) )  =  ( A P K ) )
5747, 52, 563eqtr3d 2503 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  A
) G ( ( inv `  G ) `
 ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( A P K ) )
5817, 57eqtr3d 2497 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  A
) G ( A P ( K  + 
1 ) ) )  =  ( A P K ) )
5958oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A G ( ( ( inv `  G
) `  A ) G ( A P ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( A G ( A P K ) ) )
601, 14grpoasscan1 25440 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( A P ( K  + 
1 ) )  e.  X )  ->  ( A G ( ( ( inv `  G ) `
 A ) G ( A P ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( A P ( K  +  1 ) ) )
6113, 60syld3an3 1271 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A G ( ( ( inv `  G
) `  A ) G ( A P ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( A P ( K  +  1 ) ) )
628, 59, 613eqtr2rd 2502 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P ( K  +  1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) )
63623expia 1196 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN )  ->  ( A P ( K  +  1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) ) )
6463expd 434 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  (
-u K  e.  NN  ->  ( A P ( K  +  1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) ) ) )
65643impia 1191 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u K  e.  NN  ->  ( A P ( K  +  1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) ) )
66 elznn0nn 10874 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  <->  ( K  e.  NN0  \/  ( K  e.  RR  /\  -u K  e.  NN ) ) )
67 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  -u K  e.  NN )  ->  -u K  e.  NN )
6867orim2i 516 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  \/  ( K  e.  RR  /\  -u K  e.  NN ) )  ->  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN ) )
6966, 68sylbi 195 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN ) )
70693ad2ant3 1017 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN ) )
715, 65, 70mpjaod 379 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( K  + 
1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   1c1 9482    + caddc 9484    - cmin 9796   -ucneg 9797   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   GrpOpcgr 25389   invcgn 25391   ^gcgx 25393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-seq 12093  df-grpo 25394  df-gid 25395  df-ginv 25396  df-gx 25398
This theorem is referenced by:  gxid  25476  gxnn0add  25477  gxnn0mul  25480  gxdi  25499
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