Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gxnn0neg Structured version   Unicode version

Theorem gxnn0neg 25665
 Description: A negative group power is the inverse of the positive power (lemma with nonnegative exponent - use gxneg 25668 instead). (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxnn0neg.1
gxnn0neg.2
gxnn0neg.3
Assertion
Ref Expression
gxnn0neg

Proof of Theorem gxnn0neg
StepHypRef Expression
1 elnn0 10837 . . 3
2 nnnegz 10907 . . . . . . . 8
3 nngt0 10604 . . . . . . . . 9
4 nnre 10582 . . . . . . . . . 10
54lt0neg2d 10162 . . . . . . . . 9
63, 5mpbid 210 . . . . . . . 8
72, 6jca 530 . . . . . . 7
8 gxnn0neg.1 . . . . . . . 8
9 gxnn0neg.3 . . . . . . . 8
10 gxnn0neg.2 . . . . . . . 8
118, 9, 10gxnval 25662 . . . . . . 7
127, 11syl3an3 1265 . . . . . 6
138, 9gxpval 25661 . . . . . . . 8
14 nncn 10583 . . . . . . . . . . 11
1514negnegd 9957 . . . . . . . . . 10
1615fveq2d 5852 . . . . . . . . 9
17163ad2ant3 1020 . . . . . . . 8
1813, 17eqtr4d 2446 . . . . . . 7
1918fveq2d 5852 . . . . . 6
2012, 19eqtr4d 2446 . . . . 5
21203expia 1199 . . . 4
22 negeq 9847 . . . . . . . . 9
23 neg0 9900 . . . . . . . . 9
2422, 23syl6eq 2459 . . . . . . . 8
2524oveq2d 6293 . . . . . . 7
26 eqid 2402 . . . . . . . 8 GId GId
278, 26, 9gx0 25663 . . . . . . 7 GId
2825, 27sylan9eqr 2465 . . . . . 6 GId
29 oveq2 6285 . . . . . . . 8
3029fveq2d 5852 . . . . . . 7
3127fveq2d 5852 . . . . . . . 8 GId
3226, 10grpoinvid 25634 . . . . . . . . 9 GId GId
3332adantr 463 . . . . . . . 8 GId GId
3431, 33eqtrd 2443 . . . . . . 7 GId
3530, 34sylan9eqr 2465 . . . . . 6 GId
3628, 35eqtr4d 2446 . . . . 5
3736ex 432 . . . 4
3821, 37jaod 378 . . 3
391, 38syl5bi 217 . 2
40393impia 1194 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 366   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  csn 3971   class class class wbr 4394   cxp 4820   crn 4823  cfv 5568  (class class class)co 6277  cc0 9521  c1 9522   clt 9657  cneg 9841  cn 10575  cn0 10835  cz 10904   cseq 12149  cgr 25588  GIdcgi 25589  cgn 25590  cgx 25592 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-seq 12150  df-grpo 25593  df-gid 25594  df-ginv 25595  df-gx 25597 This theorem is referenced by:  gxcl  25667  gxneg  25668
 Copyright terms: Public domain W3C validator