Theorem gxnn0add 26014

Description: The group power of a sum is the group product of the powers (lemma with nonnegative exponent - use gxadd 26015 instead). (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
gxnn0add.1	|- X = ran G
gxnn0add.2	|- P = ( ^g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gxnn0add	|- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ ( J e. ZZ /\ K e. NN0 ) ) -> ( A P ( J + K ) ) = ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )

Proof of Theorem gxnn0add

Dummy variables k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6303	. . . . . . . . 9 |- ( m = 0 -> ( J + m ) = ( J + 0 ) )
2	1	oveq2d 6311	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( A P ( J + m ) ) = ( A P ( J + 0 ) ) )
3		oveq2 6303	. . . . . . . . 9 |- ( m = 0 -> ( A P m ) = ( A P 0 ) )
4	3	oveq2d 6311	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( ( A P J ) G ( A P m ) ) = ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) )
5	2, 4	eqeq12d 2468	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( ( A P ( J + m ) ) = ( ( A P J ) G ( A P m ) ) <-> ( A P ( J + 0 ) ) = ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) ) )
6	5	imbi2d 318	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( A P ( J + m ) ) = ( ( A P J ) G ( A P m ) ) ) <-> ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( A P ( J + 0 ) ) = ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) ) ) )
7		oveq2 6303	. . . . . . . . 9 |- ( m = k -> ( J + m ) = ( J + k ) )
8	7	oveq2d 6311	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( A P ( J + m ) ) = ( A P ( J + k ) ) )
9		oveq2 6303	. . . . . . . . 9 |- ( m = k -> ( A P m ) = ( A P k ) )
10	9	oveq2d 6311	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( ( A P J ) G ( A P m ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )
11	8, 10	eqeq12d 2468	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( ( A P ( J + m ) ) = ( ( A P J ) G ( A P m ) ) <-> ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) )
12	11	imbi2d 318	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( A P ( J + m ) ) = ( ( A P J ) G ( A P m ) ) ) <-> ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) ) )
13		oveq2 6303	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( J + m ) = ( J + ( k + 1 ) ) )
14	13	oveq2d 6311	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( A P ( J + m ) ) = ( A P ( J + ( k + 1 ) ) ) )
15		oveq2 6303	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( A P m ) = ( A P ( k + 1 ) ) )
16	15	oveq2d 6311	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( A P J ) G ( A P m ) ) = ( ( A P J ) G ( A P ( k + 1 ) ) ) )
17	14, 16	eqeq12d 2468	. . . . . . 7 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( A P ( J + m ) ) = ( ( A P J ) G ( A P m ) ) <-> ( A P ( J + ( k + 1 ) ) ) = ( ( A P J ) G ( A P ( k + 1 ) ) ) ) )
18	17	imbi2d 318	. . . . . 6 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( A P ( J + m ) ) = ( ( A P J ) G ( A P m ) ) ) <-> ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( A P ( J + ( k + 1 ) ) ) = ( ( A P J ) G ( A P ( k + 1 ) ) ) ) ) )
19		oveq2 6303	. . . . . . . . 9 |- ( m = K -> ( J + m ) = ( J + K ) )
20	19	oveq2d 6311	. . . . . . . 8 |- ( m = K -> ( A P ( J + m ) ) = ( A P ( J + K ) ) )
21		oveq2 6303	. . . . . . . . 9 |- ( m = K -> ( A P m ) = ( A P K ) )
22	21	oveq2d 6311	. . . . . . . 8 |- ( m = K -> ( ( A P J ) G ( A P m ) ) = ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
23	20, 22	eqeq12d 2468	. . . . . . 7 |- ( m = K -> ( ( A P ( J + m ) ) = ( ( A P J ) G ( A P m ) ) <-> ( A P ( J + K ) ) = ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
24	23	imbi2d 318	. . . . . 6 |- ( m = K -> ( ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( A P ( J + m ) ) = ( ( A P J ) G ( A P m ) ) ) <-> ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( A P ( J + K ) ) = ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) ) )
25		zcn 10949	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ZZ -> J e. CC )
26	25	addid1d 9838	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. ZZ -> ( J + 0 ) = J )
27	26	oveq2d 6311	. . . . . . . . 9 |- ( J e. ZZ -> ( A P ( J + 0 ) ) = ( A P J ) )
28	27	3ad2ant3 1032	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( A P ( J + 0 ) ) = ( A P J ) )
29		gxnn0add.1	. . . . . . . . . 10 |- X = ran G
30		gxnn0add.2	. . . . . . . . . 10 |- P = ( ^g ` G )
31	29, 30	gxcl 26005	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( A P J ) e. X )
32		eqid 2453	. . . . . . . . . . . 12 |- (GId ` G ) = (GId ` G )
33	29, 32	grporid 25960	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( A P J ) e. X ) -> ( ( A P J ) G (GId ` G ) ) = ( A P J ) )
34	33	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. GrpOp -> ( ( A P J ) e. X -> ( ( A P J ) G (GId ` G ) ) = ( A P J ) ) )
35	34	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( ( A P J ) e. X -> ( ( A P J ) G (GId ` G ) ) = ( A P J ) ) )
36	31, 35	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( ( A P J ) G (GId ` G ) ) = ( A P J ) )
37	28, 36	eqtr4d 2490	. . . . . . 7 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( A P ( J + 0 ) ) = ( ( A P J ) G (GId ` G ) ) )
38	29, 32, 30	gx0 26001	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X ) -> ( A P 0 ) = (GId ` G ) )
39	38	oveq2d 6311	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X ) -> ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) = ( ( A P J ) G (GId ` G ) ) )
40	39	3adant3 1029	. . . . . . 7 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) = ( ( A P J ) G (GId ` G ) ) )
41	37, 40	eqtr4d 2490	. . . . . 6 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( A P ( J + 0 ) ) = ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) )
42		nn0z 10967	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
43	29, 30	gxsuc 26012	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ k e. ZZ ) -> ( A P ( k + 1 ) ) = ( ( A P k ) G A ) )
44	43	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ k e. ZZ ) -> ( ( A P J ) G ( A P ( k + 1 ) ) ) = ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
45	44	3adant3l 1265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ ( J e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( A P J ) G ( A P ( k + 1 ) ) ) = ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
46	45	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ ( J e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) -> ( ( A P J ) G ( A P ( k + 1 ) ) ) = ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
47		simpl1 1012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ ( J e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) -> G e. GrpOp )
48	31	3adant3r 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ ( J e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( A P J ) e. X )
49	48	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ ( J e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) -> ( A P J ) e. X )
50	29, 30	gxcl 26005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ k e. ZZ ) -> ( A P k ) e. X )
51	50	3adant3l 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ ( J e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( A P k ) e. X )
52	51	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ ( J e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) -> ( A P k ) e. X )
53		simpl2 1013	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ ( J e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) -> A e. X )
54	29	grpoass 25943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A P J ) e. X /\ ( A P k ) e. X /\ A e. X ) ) -> ( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A ) = ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
55	47, 49, 52, 53, 54	syl13anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ ( J e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) -> ( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A ) = ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
56	46, 55	eqtr4d 2490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ ( J e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) -> ( ( A P J ) G ( A P ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A ) )
57		zaddcl 10984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( J + k ) e. ZZ )
58	29, 30	gxsuc 26012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ ( J + k ) e. ZZ ) -> ( A P ( ( J + k ) + 1 ) ) = ( ( A P ( J + k ) ) G A ) )
59	57, 58	syl3an3 1304	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ ( J e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( A P ( ( J + k ) + 1 ) ) = ( ( A P ( J + k ) ) G A ) )
60		oveq1 6302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) -> ( ( A P ( J + k ) ) G A ) = ( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A ) )
61	59, 60	sylan9eq 2507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ ( J e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) -> ( A P ( ( J + k ) + 1 ) ) = ( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A ) )
62		zcn 10949	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
63		ax-1cn 9602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. CC
64		addass 9631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( J + k ) + 1 ) = ( J + ( k + 1 ) ) )
65	63, 64	mp3an3 1355	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( J + k ) + 1 ) = ( J + ( k + 1 ) ) )
66	25, 62, 65	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( J + k ) + 1 ) = ( J + ( k + 1 ) ) )
67	66	3ad2ant3 1032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ ( J e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( J + k ) + 1 ) = ( J + ( k + 1 ) ) )
68	67	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ ( J e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) -> ( ( J + k ) + 1 ) = ( J + ( k + 1 ) ) )
69	68	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ ( J e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) -> ( A P ( ( J + k ) + 1 ) ) = ( A P ( J + ( k + 1 ) ) ) )
70	56, 61, 69	3eqtr2rd 2494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ ( J e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) -> ( A P ( J + ( k + 1 ) ) ) = ( ( A P J ) G ( A P ( k + 1 ) ) ) )
71	70	ex 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ ( J e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) -> ( A P ( J + ( k + 1 ) ) ) = ( ( A P J ) G ( A P ( k + 1 ) ) ) ) )
72	71	3expia 1211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X ) -> ( ( J e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) -> ( A P ( J + ( k + 1 ) ) ) = ( ( A P J ) G ( A P ( k + 1 ) ) ) ) ) )
73	72	expd 438	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X ) -> ( J e. ZZ -> ( k e. ZZ -> ( ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) -> ( A P ( J + ( k + 1 ) ) ) = ( ( A P J ) G ( A P ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )
74	73	3impia 1206	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( k e. ZZ -> ( ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) -> ( A P ( J + ( k + 1 ) ) ) = ( ( A P J ) G ( A P ( k + 1 ) ) ) ) ) )
75	74	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ -> ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) -> ( A P ( J + ( k + 1 ) ) ) = ( ( A P J ) G ( A P ( k + 1 ) ) ) ) ) )
76	75	a2d 29	. . . . . . 7 |- ( k e. ZZ -> ( ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) -> ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( A P ( J + ( k + 1 ) ) ) = ( ( A P J ) G ( A P ( k + 1 ) ) ) ) ) )
77	42, 76	syl 17	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( A P ( J + k ) ) = ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) -> ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( A P ( J + ( k + 1 ) ) ) = ( ( A P J ) G ( A P ( k + 1 ) ) ) ) ) )
78	6, 12, 18, 24, 41, 77	nn0ind 11037	. . . . 5 |- ( K e. NN0 -> ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( A P ( J + K ) ) = ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
79	78	com12 32	. . . 4 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ J e. ZZ ) -> ( K e. NN0 -> ( A P ( J + K ) ) = ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
80	79	3expia 1211	. . 3 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X ) -> ( J e. ZZ -> ( K e. NN0 -> ( A P ( J + K ) ) = ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) ) )
81	80	impd 433	. 2 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X ) -> ( ( J e. ZZ /\ K e. NN0 ) -> ( A P ( J + K ) ) = ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
82	81	3impia 1206	1 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ ( J e. ZZ /\ K e. NN0 ) ) -> ( A P ( J + K ) ) = ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   ran crn 4838   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   0cc0 9544   1c1 9545   + caddc 9547   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   GrpOpcgr 25926  GIdcgi 25927   ^gcgx 25930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-seq 12221  df-grpo 25931  df-gid 25932  df-ginv 25933  df-gx 25935

This theorem is referenced by:  gxadd  26015