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Theorem gxnn0add 26014
Description: The group power of a sum is the group product of the powers (lemma with nonnegative exponent - use gxadd 26015 instead). (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxnn0add.1  |-  X  =  ran  G
gxnn0add.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gxnn0add  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 ) )  -> 
( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )

Proof of Theorem gxnn0add
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  ( J  +  m )  =  ( J  + 
0 ) )
21oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  ( A P ( J  +  m ) )  =  ( A P ( J  +  0 ) ) )
3 oveq2 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  ( A P m )  =  ( A P 0 ) )
43oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
( A P J ) G ( A P m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) )
52, 4eqeq12d 2468 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  (
( A P ( J  +  m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) )  <->  ( A P ( J  + 
0 ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) ) )
65imbi2d 318 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  m
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) ) )  <->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  0 ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) ) ) )
7 oveq2 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( J  +  m )  =  ( J  +  k ) )
87oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( A P ( J  +  m ) )  =  ( A P ( J  +  k ) ) )
9 oveq2 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( A P m )  =  ( A P k ) )
109oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  (
( A P J ) G ( A P m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )
118, 10eqeq12d 2468 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  (
( A P ( J  +  m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) )  <->  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) )
1211imbi2d 318 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  m
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) ) )  <->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) ) )
13 oveq2 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( J  +  m )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
1413oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( A P ( J  +  m ) )  =  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) ) )
15 oveq2 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( A P m )  =  ( A P ( k  +  1 ) ) )
1615oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A P J ) G ( A P m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) )
1714, 16eqeq12d 2468 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A P ( J  +  m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) )  <->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) )
1817imbi2d 318 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  m
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) ) )  <->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
19 oveq2 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  K  ->  ( J  +  m )  =  ( J  +  K ) )
2019oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  K  ->  ( A P ( J  +  m ) )  =  ( A P ( J  +  K ) ) )
21 oveq2 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  K  ->  ( A P m )  =  ( A P K ) )
2221oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  K  ->  (
( A P J ) G ( A P m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
2320, 22eqeq12d 2468 . . . . . . 7  |-  ( m  =  K  ->  (
( A P ( J  +  m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) )  <->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
2423imbi2d 318 . . . . . 6  |-  ( m  =  K  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  m
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) ) )  <->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) ) )
25 zcn 10949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  CC )
2625addid1d 9838 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ZZ  ->  ( J  +  0 )  =  J )
2726oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ZZ  ->  ( A P ( J  + 
0 ) )  =  ( A P J ) )
28273ad2ant3 1032 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  + 
0 ) )  =  ( A P J ) )
29 gxnn0add.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ran  G
30 gxnn0add.2 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( ^g `  G
)
3129, 30gxcl 26005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P J )  e.  X )
32 eqid 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  (GId `  G )  =  (GId
`  G )
3329, 32grporid 25960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P J )  e.  X )  ->  (
( A P J ) G (GId `  G ) )  =  ( A P J ) )
3433ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( ( A P J )  e.  X  ->  ( ( A P J ) G (GId `  G )
)  =  ( A P J ) ) )
35343ad2ant1 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( A P J )  e.  X  -> 
( ( A P J ) G (GId
`  G ) )  =  ( A P J ) ) )
3631, 35mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) G (GId `  G ) )  =  ( A P J ) )
3728, 36eqtr4d 2490 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  + 
0 ) )  =  ( ( A P J ) G (GId
`  G ) ) )
3829, 32, 30gx0 26001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( A P 0 )  =  (GId `  G )
)
3938oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( A P J ) G ( A P 0 ) )  =  ( ( A P J ) G (GId `  G )
) )
40393adant3 1029 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) G ( A P 0 ) )  =  ( ( A P J ) G (GId `  G )
) )
4137, 40eqtr4d 2490 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  + 
0 ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) )
42 nn0z 10967 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
4329, 30gxsuc 26012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P k ) G A ) )
4443oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
45443adant3l 1265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
4645adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  (
( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
47 simpl1 1012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  G  e.  GrpOp )
48313adant3r 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( A P J )  e.  X )
4948adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( A P J )  e.  X )
5029, 30gxcl 26005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A P k )  e.  X )
51503adant3l 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( A P k )  e.  X )
5251adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( A P k )  e.  X )
53 simpl2 1013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  A  e.  X )
5429grpoass 25943 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A P J )  e.  X  /\  ( A P k )  e.  X  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A )  =  ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
5547, 49, 52, 53, 54syl13anc 1271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  (
( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A )  =  ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
5646, 55eqtr4d 2490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  (
( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A ) )
57 zaddcl 10984 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( J  +  k )  e.  ZZ )
5829, 30gxsuc 26012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  +  k )  e.  ZZ )  ->  ( A P ( ( J  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( A P ( J  +  k ) ) G A ) )
5957, 58syl3an3 1304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( A P ( ( J  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( A P ( J  +  k ) ) G A ) )
60 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  ->  (
( A P ( J  +  k ) ) G A )  =  ( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A ) )
6159, 60sylan9eq 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( A P ( ( J  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A ) )
62 zcn 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
63 ax-1cn 9602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
64 addass 9631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( J  +  k )  +  1 )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
6563, 64mp3an3 1355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( J  +  k )  +  1 )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
6625, 62, 65syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( J  +  k )  +  1 )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
67663ad2ant3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  +  k )  +  1 )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
6867adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  (
( J  +  k )  +  1 )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
6968oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( A P ( ( J  +  k )  +  1 ) )  =  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) ) )
7056, 61, 693eqtr2rd 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) )
7170ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) )
72713expia 1211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7372expd 438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  -> 
( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
74733impia 1206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  -> 
( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7574com12 32 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7675a2d 29 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7742, 76syl 17 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
786, 12, 18, 24, 41, 77nn0ind 11037 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
7978com12 32 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
80793expia 1211 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) ) )
8180impd 433 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
82813impia 1206 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 ) )  -> 
( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889   ran crn 4838   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   0cc0 9544   1c1 9545    + caddc 9547   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   GrpOpcgr 25926  GIdcgi 25927   ^gcgx 25930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-seq 12221  df-grpo 25931  df-gid 25932  df-ginv 25933  df-gx 25935
This theorem is referenced by:  gxadd  26015
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