Theorem gxneg 9389

Description: A negative group power is the inverse of the positive power. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
gxneg.1	|- X = ran G
gxneg.2	|- N = (inv` G)
gxneg.3	|- P = (^g` G)

Assertion

Ref	Expression
gxneg	|- ((G e. Grp /\ A e. X /\ K e. ZZ) -> (AP-uK) = (N` (APK)))

Proof of Theorem gxneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 7358	. . . 4 |- (K e. ZZ <-> (K e. RR /\ (K e. NN0 \/ -uK e. NN0)))
2	1	simprbi 353	. . 3 |- (K e. ZZ -> (K e. NN0 \/ -uK e. NN0))
3	2	3ad2ant3 899	. 2 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ K e. ZZ) -> (K e. NN0 \/ -uK e. NN0))
4		gxneg.1	. . . . . . . 8 |- X = ran G
5		gxneg.2	. . . . . . . 8 |- N = (inv` G)
6		gxneg.3	. . . . . . . 8 |- P = (^g` G)
7	4, 5, 6	gxnn0neg 9386	. . . . . . 7 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ K e. NN0) -> (AP-uK) = (N` (APK)))
8	7	3adant3l 1094	. . . . . 6 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (K e. ZZ /\ K e. NN0)) -> (AP-uK) = (N` (APK)))
9	8	3expia 1069	. . . . 5 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> ((K e. ZZ /\ K e. NN0) -> (AP-uK) = (N` (APK))))
10	9	exp3a 405	. . . 4 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (K e. ZZ -> (K e. NN0 -> (AP-uK) = (N` (APK)))))
11	10	3impia 1064	. . 3 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ K e. ZZ) -> (K e. NN0 -> (AP-uK) = (N` (APK))))
12		simp1 876	. . . . . . . 8 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0)) -> G e. Grp)
13	4, 6	gxcl 9388	. . . . . . . . . 10 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ -uK e. ZZ) -> (AP-uK) e. X)
14		znegcl 7372	. . . . . . . . . 10 |- (K e. ZZ -> -uK e. ZZ)
15	13, 14	syl3an3 1132	. . . . . . . . 9 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ K e. ZZ) -> (AP-uK) e. X)
16	15	3adant3r 1095	. . . . . . . 8 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0)) -> (AP-uK) e. X)
17	4, 5	grp2inv 9363	. . . . . . . 8 |- ((G e. Grp /\ (AP-uK) e. X) -> (N` (N` (AP-uK))) = (AP-uK))
18	12, 16, 17	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0)) -> (N` (N` (AP-uK))) = (AP-uK))
19	4, 5, 6	gxnn0neg 9386	. . . . . . . . . 10 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ -uK e. NN0) -> (AP-u-uK) = (N` (AP-uK)))
20	19	3adant3l 1094	. . . . . . . . 9 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0)) -> (AP-u-uK) = (N` (AP-uK)))
21		simp3l 904	. . . . . . . . . 10 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0)) -> K e. ZZ)
22		zcn 7349	. . . . . . . . . 10 |- (K e. ZZ -> K e. CC)
23		negneg 6553	. . . . . . . . . . 11 |- (K e. CC -> -u-uK = K)
24	23	opreq2d 4898	. . . . . . . . . 10 |- (K e. CC -> (AP-u-uK) = (APK))
25	21, 22, 24	3syl 24	. . . . . . . . 9 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0)) -> (AP-u-uK) = (APK))
26	20, 25	eqtr3d 1927	. . . . . . . 8 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0)) -> (N` (AP-uK)) = (APK))
27	26	fveq2d 4685	. . . . . . 7 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0)) -> (N` (N` (AP-uK))) = (N` (APK)))
28	18, 27	eqtr3d 1927	. . . . . 6 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0)) -> (AP-uK) = (N` (APK)))
29	28	3expia 1069	. . . . 5 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> ((K e. ZZ /\ -uK e. NN0) -> (AP-uK) = (N` (APK))))
30	29	exp3a 405	. . . 4 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (K e. ZZ -> (-uK e. NN0 -> (AP-uK) = (N` (APK)))))
31	30	3impia 1064	. . 3 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ K e. ZZ) -> (-uK e. NN0 -> (AP-uK) = (N` (APK))))
32	11, 31	jaod 469	. 2 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ K e. ZZ) -> ((K e. NN0 \/ -uK e. NN0) -> (AP-uK) = (N` (APK))))
33	3, 32	mpd 29	1 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ K e. ZZ) -> (AP-uK) = (N` (APK)))

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  ran crn 3987  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  -ucneg 6446  NN0cn0 6450  ZZcz 6451  Grpcgr 9311  invcgn 9313  ^gcgx 9315

This theorem is referenced by:  gxneg2 9390  gxm1 9391  gxcom 9392  gxinv 9393  gxsuc 9395  gxid 9396  gxadd 9398  gxsub 9399  gxmul 9401  gxdi 9422

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gx 9320

Copyright terms: Public domain