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Theorem gxmul 23684
Description: The group power of a product is the composition of the powers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxnn0mul.1  |-  X  =  ran  G
gxnn0mul.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gxmul  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )

Proof of Theorem gxmul
StepHypRef Expression
1 gxnn0mul.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ran  G
2 gxnn0mul.2 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( ^g `  G
)
31, 2gxnn0mul 23683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 ) )  -> 
( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
433expia 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
54exp3a 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) ) )
653impia 1179 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
76adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
8 znegcl 10676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  ZZ  ->  -u J  e.  ZZ )
9 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  -> 
-u K  e.  NN0 )
108, 9anim12i 563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( -u J  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )
)
111, 2gxnn0mul 23683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( -u J  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )
)  ->  ( A P ( -u J  x.  -u K ) )  =  ( ( A P -u J ) P -u K ) )
1210, 11syl3an3 1248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( -u J  x.  -u K ) )  =  ( ( A P
-u J ) P
-u K ) )
13 zcn 10647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  CC )
14 zcn 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
1514adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  K  e.  CC )
16 mul2neg 9780 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( -u J  x.  -u K )  =  ( J  x.  K ) )
1713, 15, 16syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( -u J  x.  -u K
)  =  ( J  x.  K ) )
18173ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( -u J  x.  -u K )  =  ( J  x.  K
) )
1918oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( -u J  x.  -u K ) )  =  ( A P ( J  x.  K ) ) )
20 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
211, 20, 2gxneg 23672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P -u J )  =  ( ( inv `  G ) `  ( A P J ) ) )
22213adant3r 1210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P
-u J )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P J ) ) )
2322oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P -u J ) P -u K )  =  ( ( ( inv `  G ) `
 ( A P J ) ) P
-u K ) )
2412, 19, 233eqtr3d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( ( inv `  G
) `  ( A P J ) ) P
-u K ) )
25 simp1 983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  G  e.  GrpOp )
261, 2gxcl 23671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P J )  e.  X )
27263adant3r 1210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P J )  e.  X
)
28 simp3rl 1056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
2928znegcld 10745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  -u K  e.  ZZ )
301, 20, 2gxinv 23676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P J )  e.  X  /\  -u K  e.  ZZ )  ->  (
( ( inv `  G
) `  ( A P J ) ) P
-u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P
-u K ) ) )
3125, 27, 29, 30syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( ( inv `  G ) `
 ( A P J ) ) P
-u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P
-u K ) ) )
3224, 31eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P
-u K ) ) )
331, 20, 2gxneg 23672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P J )  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) P -u K
)  =  ( ( inv `  G ) `
 ( ( A P J ) P K ) ) )
3425, 27, 28, 33syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P J ) P
-u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P K ) ) )
3534fveq2d 5692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( inv `  G ) `  (
( A P J ) P -u K
) )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( ( A P J ) P K ) ) ) )
361, 2gxcl 23671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P J )  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) P K )  e.  X )
3725, 27, 28, 36syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P J ) P K )  e.  X
)
381, 20grpo2inv 23645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A P J ) P K )  e.  X )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( ( A P J ) P K ) ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
3925, 37, 38syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( inv `  G ) `  (
( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P K ) ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
4032, 35, 393eqtrd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
41403expia 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
4241exp3a 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) ) )
43423impia 1179 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
4443expdimp 437 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
45 elznn0 10657 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  <->  ( K  e.  RR  /\  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN0 ) ) )
4645simprbi 461 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN0 ) )
4746adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e. 
NN0  \/  -u K  e. 
NN0 ) )
487, 44, 47mpjaod 381 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
4948ex 434 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
50493expia 1184 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) ) )
5150imp3a 431 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
52513impia 1179 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   ran crn 4837   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277    x. cmul 9283   -ucneg 9592   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   GrpOpcgr 23592   invcgn 23594   ^gcgx 23596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-seq 11803  df-grpo 23597  df-gid 23598  df-ginv 23599  df-gx 23601
This theorem is referenced by:  gxmodid  23685
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