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Theorem gxmul 25071
Description: The group power of a product is the composition of the powers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxnn0mul.1  |-  X  =  ran  G
gxnn0mul.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gxmul  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )

Proof of Theorem gxmul
StepHypRef Expression
1 gxnn0mul.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ran  G
2 gxnn0mul.2 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( ^g `  G
)
31, 2gxnn0mul 25070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 ) )  -> 
( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
433expia 1198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
54expd 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) ) )
653impia 1193 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
76adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
8 znegcl 10908 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  ZZ  ->  -u J  e.  ZZ )
9 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  -> 
-u K  e.  NN0 )
108, 9anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( -u J  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )
)
111, 2gxnn0mul 25070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( -u J  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )
)  ->  ( A P ( -u J  x.  -u K ) )  =  ( ( A P -u J ) P -u K ) )
1210, 11syl3an3 1263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( -u J  x.  -u K ) )  =  ( ( A P
-u J ) P
-u K ) )
13 zcn 10879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  CC )
14 zcn 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  K  e.  CC )
16 mul2neg 10006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( -u J  x.  -u K )  =  ( J  x.  K ) )
1713, 15, 16syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( -u J  x.  -u K
)  =  ( J  x.  K ) )
18173ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( -u J  x.  -u K )  =  ( J  x.  K
) )
1918oveq2d 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( -u J  x.  -u K ) )  =  ( A P ( J  x.  K ) ) )
20 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
211, 20, 2gxneg 25059 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P -u J )  =  ( ( inv `  G ) `  ( A P J ) ) )
22213adant3r 1225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P
-u J )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P J ) ) )
2322oveq1d 6309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P -u J ) P -u K )  =  ( ( ( inv `  G ) `
 ( A P J ) ) P
-u K ) )
2412, 19, 233eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( ( inv `  G
) `  ( A P J ) ) P
-u K ) )
25 simp1 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  G  e.  GrpOp )
261, 2gxcl 25058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P J )  e.  X )
27263adant3r 1225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P J )  e.  X
)
28 simp3rl 1069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
2928znegcld 10978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  -u K  e.  ZZ )
301, 20, 2gxinv 25063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P J )  e.  X  /\  -u K  e.  ZZ )  ->  (
( ( inv `  G
) `  ( A P J ) ) P
-u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P
-u K ) ) )
3125, 27, 29, 30syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( ( inv `  G ) `
 ( A P J ) ) P
-u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P
-u K ) ) )
3224, 31eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P
-u K ) ) )
331, 20, 2gxneg 25059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P J )  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) P -u K
)  =  ( ( inv `  G ) `
 ( ( A P J ) P K ) ) )
3425, 27, 28, 33syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P J ) P
-u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P K ) ) )
3534fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( inv `  G ) `  (
( A P J ) P -u K
) )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( ( A P J ) P K ) ) ) )
361, 2gxcl 25058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P J )  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) P K )  e.  X )
3725, 27, 28, 36syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P J ) P K )  e.  X
)
381, 20grpo2inv 25032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A P J ) P K )  e.  X )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( ( A P J ) P K ) ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
3925, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( inv `  G ) `  (
( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P K ) ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
4032, 35, 393eqtrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
41403expia 1198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
4241expd 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) ) )
43423impia 1193 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
4443expdimp 437 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
45 elznn0 10889 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  <->  ( K  e.  RR  /\  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN0 ) ) )
4645simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN0 ) )
4746adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e. 
NN0  \/  -u K  e. 
NN0 ) )
487, 44, 47mpjaod 381 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
4948ex 434 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
50493expia 1198 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) ) )
5150impd 431 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
52513impia 1193 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ran crn 5005   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   CCcc 9500   RRcr 9501    x. cmul 9507   -ucneg 9816   NN0cn0 10805   ZZcz 10874   GrpOpcgr 24979   invcgn 24981   ^gcgx 24983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-seq 12086  df-grpo 24984  df-gid 24985  df-ginv 24986  df-gx 24988
This theorem is referenced by:  gxmodid  25072
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