Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gxid Structured version   Unicode version

Theorem gxid 25702
 Description: The identity element of a group to any power remains unchanged. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxid.1 GId
gxid.2
Assertion
Ref Expression
gxid

Proof of Theorem gxid
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6288 . . . 4
21eqeq1d 2406 . . 3
3 oveq2 6288 . . . 4
43eqeq1d 2406 . . 3
5 oveq2 6288 . . . 4
65eqeq1d 2406 . . 3
7 oveq2 6288 . . . 4
87eqeq1d 2406 . . 3
9 oveq2 6288 . . . 4
109eqeq1d 2406 . . 3
11 eqid 2404 . . . . 5
12 gxid.1 . . . . 5 GId
1311, 12grpoidcl 25646 . . . 4
14 gxid.2 . . . . 5
1511, 12, 14gx0 25690 . . . 4
1613, 15mpdan 668 . . 3
17 nn0z 10930 . . . 4
18 simpl 457 . . . . . . . . 9
1913adantr 465 . . . . . . . . 9
20 simpr 461 . . . . . . . . 9
2111, 14gxsuc 25701 . . . . . . . . 9
2218, 19, 20, 21syl3anc 1232 . . . . . . . 8
2311, 14gxcl 25694 . . . . . . . . . 10
2418, 19, 20, 23syl3anc 1232 . . . . . . . . 9
2511, 12grporid 25649 . . . . . . . . 9
2624, 25syldan 470 . . . . . . . 8
2722, 26eqtr2d 2446 . . . . . . 7
2827eqeq1d 2406 . . . . . 6
2928biimpd 209 . . . . 5
3029ex 434 . . . 4
3117, 30syl5 32 . . 3
32 nnz 10929 . . . 4
33 eqid 2404 . . . . . . . . . 10
3411, 33, 14gxneg 25695 . . . . . . . . 9
3513, 34syl3an2 1266 . . . . . . . 8
36353anidm12 1289 . . . . . . 7
37363adant3 1019 . . . . . 6
38 fveq2 5851 . . . . . . . 8
3912, 33grpoinvid 25661 . . . . . . . 8
4038, 39sylan9eqr 2467 . . . . . . 7
41403adant2 1018 . . . . . 6
4237, 41eqtrd 2445 . . . . 5
43423exp 1198 . . . 4
4432, 43syl5 32 . . 3
452, 4, 6, 8, 10, 16, 31, 44zindd 11006 . 2
4645imp 429 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 976   wceq 1407   wcel 1844   crn 4826  cfv 5571  (class class class)co 6280  cc0 9524  c1 9525   caddc 9527  cneg 9844  cn 10578  cn0 10838  cz 10907  cgr 25615  GIdcgi 25616  cgn 25617  cgx 25619 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-seq 12154  df-grpo 25620  df-gid 25621  df-ginv 25622  df-gx 25624 This theorem is referenced by:  gxmodid  25708
 Copyright terms: Public domain W3C validator