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Theorem gxdi 25712
Description: Distribution of group power over group operation for abelian groups. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxdi.1  |-  X  =  ran  G
gxdi.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gxdi  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( A G B ) P K )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) )

Proof of Theorem gxdi
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6286 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( A G B ) P m )  =  ( ( A G B ) P 0 ) )
2 oveq2 6286 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  ( A P m )  =  ( A P 0 ) )
3 oveq2 6286 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  ( B P m )  =  ( B P 0 ) )
42, 3oveq12d 6296 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( A P m ) G ( B P m ) )  =  ( ( A P 0 ) G ( B P 0 ) ) )
51, 4eqeq12d 2424 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( A G B ) P m )  =  ( ( A P m ) G ( B P m ) )  <->  ( ( A G B ) P 0 )  =  ( ( A P 0 ) G ( B P 0 ) ) ) )
6 oveq2 6286 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( A G B ) P m )  =  ( ( A G B ) P k ) )
7 oveq2 6286 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( A P m )  =  ( A P k ) )
8 oveq2 6286 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( B P m )  =  ( B P k ) )
97, 8oveq12d 6296 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( A P m ) G ( B P m ) )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )
106, 9eqeq12d 2424 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( A G B ) P m )  =  ( ( A P m ) G ( B P m ) )  <->  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) ) )
11 oveq2 6286 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A G B ) P m )  =  ( ( A G B ) P ( k  +  1 ) ) )
12 oveq2 6286 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( A P m )  =  ( A P ( k  +  1 ) ) )
13 oveq2 6286 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( B P m )  =  ( B P ( k  +  1 ) ) )
1412, 13oveq12d 6296 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A P m ) G ( B P m ) )  =  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) ) )
1511, 14eqeq12d 2424 . . . 4  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( A G B ) P m )  =  ( ( A P m ) G ( B P m ) )  <->  ( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) ) ) )
16 oveq2 6286 . . . . 5  |-  ( m  =  -u k  ->  (
( A G B ) P m )  =  ( ( A G B ) P
-u k ) )
17 oveq2 6286 . . . . . 6  |-  ( m  =  -u k  ->  ( A P m )  =  ( A P -u k ) )
18 oveq2 6286 . . . . . 6  |-  ( m  =  -u k  ->  ( B P m )  =  ( B P -u k ) )
1917, 18oveq12d 6296 . . . . 5  |-  ( m  =  -u k  ->  (
( A P m ) G ( B P m ) )  =  ( ( A P -u k ) G ( B P
-u k ) ) )
2016, 19eqeq12d 2424 . . . 4  |-  ( m  =  -u k  ->  (
( ( A G B ) P m )  =  ( ( A P m ) G ( B P m ) )  <->  ( ( A G B ) P
-u k )  =  ( ( A P
-u k ) G ( B P -u k ) ) ) )
21 oveq2 6286 . . . . 5  |-  ( m  =  K  ->  (
( A G B ) P m )  =  ( ( A G B ) P K ) )
22 oveq2 6286 . . . . . 6  |-  ( m  =  K  ->  ( A P m )  =  ( A P K ) )
23 oveq2 6286 . . . . . 6  |-  ( m  =  K  ->  ( B P m )  =  ( B P K ) )
2422, 23oveq12d 6296 . . . . 5  |-  ( m  =  K  ->  (
( A P m ) G ( B P m ) )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) )
2521, 24eqeq12d 2424 . . . 4  |-  ( m  =  K  ->  (
( ( A G B ) P m )  =  ( ( A P m ) G ( B P m ) )  <->  ( ( A G B ) P K )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) ) )
26 ablogrpo 25700 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  G  e.  GrpOp )
27263ad2ant1 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  G  e.  GrpOp )
28 gxdi.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ran  G
2928grpocl 25616 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
3026, 29syl3an1 1263 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
31 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  (GId `  G )  =  (GId
`  G )
32 gxdi.2 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( ^g `  G
)
3328, 31, 32gx0 25677 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G B )  e.  X )  ->  (
( A G B ) P 0 )  =  (GId `  G
) )
3427, 30, 33syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G B ) P 0 )  =  (GId `  G
) )
3528, 31grpoidcl 25633 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  (GId `  G
)  e.  X )
3627, 35syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (GId `  G )  e.  X
)
3728, 31grpolid 25635 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (GId `  G )  e.  X
)  ->  ( (GId `  G ) G (GId
`  G ) )  =  (GId `  G
) )
3827, 36, 37syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
(GId `  G ) G (GId `  G )
)  =  (GId `  G ) )
3934, 38eqtr4d 2446 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G B ) P 0 )  =  ( (GId `  G ) G (GId
`  G ) ) )
40 simp2 998 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
4128, 31, 32gx0 25677 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( A P 0 )  =  (GId `  G )
)
4227, 40, 41syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P 0 )  =  (GId `  G )
)
43 simp3 999 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
4428, 31, 32gx0 25677 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X )  ->  ( B P 0 )  =  (GId `  G )
)
4527, 43, 44syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B P 0 )  =  (GId `  G )
)
4642, 45oveq12d 6296 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A P 0 ) G ( B P 0 ) )  =  ( (GId `  G ) G (GId
`  G ) ) )
4739, 46eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G B ) P 0 )  =  ( ( A P 0 ) G ( B P 0 ) ) )
48 nn0z 10928 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
49273ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  G  e.  GrpOp )
50303ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( A G B )  e.  X
)
51 simp2 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
5228, 32gxsuc 25688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G B )  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( A G B ) P k ) G ( A G B ) ) )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( A G B ) P k ) G ( A G B ) ) )
54 oveq1 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  ->  (
( ( A G B ) P k ) G ( A G B ) )  =  ( ( ( A P k ) G ( B P k ) ) G ( A G B ) ) )
55543ad2ant3 1020 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( ( A G B ) P k ) G ( A G B ) )  =  ( ( ( A P k ) G ( B P k ) ) G ( A G B ) ) )
56 simp11 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  G  e.  AbelOp )
57403ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  A  e.  X
)
5828, 32gxcl 25681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A P k )  e.  X )
5949, 57, 51, 58syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( A P k )  e.  X
)
60433ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  B  e.  X
)
6128, 32gxcl 25681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( B P k )  e.  X )
6249, 60, 51, 61syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( B P k )  e.  X
)
6328ablo4 25703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A P k )  e.  X  /\  ( B P k )  e.  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( ( A P k ) G ( B P k ) ) G ( A G B ) )  =  ( ( ( A P k ) G A ) G ( ( B P k ) G B ) ) )
6456, 59, 62, 57, 60, 63syl122anc 1239 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( ( A P k ) G ( B P k ) ) G ( A G B ) )  =  ( ( ( A P k ) G A ) G ( ( B P k ) G B ) ) )
6553, 55, 643eqtrd 2447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( A P k ) G A ) G ( ( B P k ) G B ) ) )
6628, 32gxsuc 25688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P k ) G A ) )
6749, 57, 51, 66syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( A P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P k ) G A ) )
6828, 32gxsuc 25688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( B P ( k  +  1 ) )  =  ( ( B P k ) G B ) )
6949, 60, 51, 68syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( B P ( k  +  1 ) )  =  ( ( B P k ) G B ) )
7067, 69oveq12d 6296 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( A P k ) G A ) G ( ( B P k ) G B ) ) )
7165, 70eqtr4d 2446 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) ) )
72713exp 1196 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  -> 
( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7348, 72syl5 30 . . . 4  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
k  e.  NN0  ->  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  -> 
( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
74 nnz 10927 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
75 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
7628, 75, 32gxneg 25682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G B )  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( A G B ) P -u k
)  =  ( ( inv `  G ) `
 ( ( A G B ) P k ) ) )
7749, 50, 51, 76syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P
-u k )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A G B ) P k ) ) )
7828ablocom 25701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A P k )  e.  X  /\  ( B P k )  e.  X )  ->  (
( A P k ) G ( B P k ) )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) )
7956, 59, 62, 78syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) )
80 eqeq1 2406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  ->  (
( ( A G B ) P k )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) )  <->  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) ) )
81803ad2ant3 1020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) )  <->  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) ) )
8279, 81mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) )
8382fveq2d 5853 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( inv `  G ) `  (
( A G B ) P k ) )  =  ( ( inv `  G ) `
 ( ( B P k ) G ( A P k ) ) ) )
8428, 75grpoinvop 25657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( B P k )  e.  X  /\  ( A P k )  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) )  =  ( ( ( inv `  G ) `  ( A P k ) ) G ( ( inv `  G ) `  ( B P k ) ) ) )
8549, 62, 59, 84syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( inv `  G ) `  (
( B P k ) G ( A P k ) ) )  =  ( ( ( inv `  G
) `  ( A P k ) ) G ( ( inv `  G ) `  ( B P k ) ) ) )
8677, 83, 853eqtrd 2447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P
-u k )  =  ( ( ( inv `  G ) `  ( A P k ) ) G ( ( inv `  G ) `  ( B P k ) ) ) )
8728, 75, 32gxneg 25682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A P -u k )  =  ( ( inv `  G ) `  ( A P k ) ) )
8849, 57, 51, 87syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( A P
-u k )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P k ) ) )
8928, 75, 32gxneg 25682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( B P -u k )  =  ( ( inv `  G ) `  ( B P k ) ) )
9049, 60, 51, 89syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( B P
-u k )  =  ( ( inv `  G
) `  ( B P k ) ) )
9188, 90oveq12d 6296 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A P -u k ) G ( B P
-u k ) )  =  ( ( ( inv `  G ) `
 ( A P k ) ) G ( ( inv `  G
) `  ( B P k ) ) ) )
9286, 91eqtr4d 2446 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P
-u k )  =  ( ( A P
-u k ) G ( B P -u k ) ) )
93923exp 1196 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  -> 
( ( A G B ) P -u k )  =  ( ( A P -u k ) G ( B P -u k
) ) ) ) )
9474, 93syl5 30 . . . 4  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
k  e.  NN  ->  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  -> 
( ( A G B ) P -u k )  =  ( ( A P -u k ) G ( B P -u k
) ) ) ) )
955, 10, 15, 20, 25, 47, 73, 94zindd 11004 . . 3  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( A G B ) P K )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) ) )
96953expb 1198 . 2  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( A G B ) P K )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) ) )
97963impia 1194 1  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( A G B ) P K )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   ran crn 4824   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525   -ucneg 9842   NNcn 10576   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   GrpOpcgr 25602  GIdcgi 25603   invcgn 25604   ^gcgx 25606   AbelOpcablo 25697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-seq 12152  df-grpo 25607  df-gid 25608  df-ginv 25609  df-gx 25611  df-ablo 25698
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