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Theorem gxdi 23783
Description: Distribution of group power over group operation for abelian groups. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxdi.1  |-  X  =  ran  G
gxdi.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gxdi  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( A G B ) P K )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) )

Proof of Theorem gxdi
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6099 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( A G B ) P m )  =  ( ( A G B ) P 0 ) )
2 oveq2 6099 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  ( A P m )  =  ( A P 0 ) )
3 oveq2 6099 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  ( B P m )  =  ( B P 0 ) )
42, 3oveq12d 6109 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( A P m ) G ( B P m ) )  =  ( ( A P 0 ) G ( B P 0 ) ) )
51, 4eqeq12d 2457 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( A G B ) P m )  =  ( ( A P m ) G ( B P m ) )  <->  ( ( A G B ) P 0 )  =  ( ( A P 0 ) G ( B P 0 ) ) ) )
6 oveq2 6099 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( A G B ) P m )  =  ( ( A G B ) P k ) )
7 oveq2 6099 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( A P m )  =  ( A P k ) )
8 oveq2 6099 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( B P m )  =  ( B P k ) )
97, 8oveq12d 6109 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( A P m ) G ( B P m ) )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )
106, 9eqeq12d 2457 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( A G B ) P m )  =  ( ( A P m ) G ( B P m ) )  <->  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) ) )
11 oveq2 6099 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A G B ) P m )  =  ( ( A G B ) P ( k  +  1 ) ) )
12 oveq2 6099 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( A P m )  =  ( A P ( k  +  1 ) ) )
13 oveq2 6099 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( B P m )  =  ( B P ( k  +  1 ) ) )
1412, 13oveq12d 6109 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A P m ) G ( B P m ) )  =  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) ) )
1511, 14eqeq12d 2457 . . . 4  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( A G B ) P m )  =  ( ( A P m ) G ( B P m ) )  <->  ( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) ) ) )
16 oveq2 6099 . . . . 5  |-  ( m  =  -u k  ->  (
( A G B ) P m )  =  ( ( A G B ) P
-u k ) )
17 oveq2 6099 . . . . . 6  |-  ( m  =  -u k  ->  ( A P m )  =  ( A P -u k ) )
18 oveq2 6099 . . . . . 6  |-  ( m  =  -u k  ->  ( B P m )  =  ( B P -u k ) )
1917, 18oveq12d 6109 . . . . 5  |-  ( m  =  -u k  ->  (
( A P m ) G ( B P m ) )  =  ( ( A P -u k ) G ( B P
-u k ) ) )
2016, 19eqeq12d 2457 . . . 4  |-  ( m  =  -u k  ->  (
( ( A G B ) P m )  =  ( ( A P m ) G ( B P m ) )  <->  ( ( A G B ) P
-u k )  =  ( ( A P
-u k ) G ( B P -u k ) ) ) )
21 oveq2 6099 . . . . 5  |-  ( m  =  K  ->  (
( A G B ) P m )  =  ( ( A G B ) P K ) )
22 oveq2 6099 . . . . . 6  |-  ( m  =  K  ->  ( A P m )  =  ( A P K ) )
23 oveq2 6099 . . . . . 6  |-  ( m  =  K  ->  ( B P m )  =  ( B P K ) )
2422, 23oveq12d 6109 . . . . 5  |-  ( m  =  K  ->  (
( A P m ) G ( B P m ) )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) )
2521, 24eqeq12d 2457 . . . 4  |-  ( m  =  K  ->  (
( ( A G B ) P m )  =  ( ( A P m ) G ( B P m ) )  <->  ( ( A G B ) P K )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) ) )
26 ablogrpo 23771 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  G  e.  GrpOp )
27263ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  G  e.  GrpOp )
28 gxdi.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ran  G
2928grpocl 23687 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
3026, 29syl3an1 1251 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
31 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  (GId `  G )  =  (GId
`  G )
32 gxdi.2 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( ^g `  G
)
3328, 31, 32gx0 23748 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G B )  e.  X )  ->  (
( A G B ) P 0 )  =  (GId `  G
) )
3427, 30, 33syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G B ) P 0 )  =  (GId `  G
) )
3528, 31grpoidcl 23704 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  (GId `  G
)  e.  X )
3627, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (GId `  G )  e.  X
)
3728, 31grpolid 23706 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (GId `  G )  e.  X
)  ->  ( (GId `  G ) G (GId
`  G ) )  =  (GId `  G
) )
3827, 36, 37syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
(GId `  G ) G (GId `  G )
)  =  (GId `  G ) )
3934, 38eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G B ) P 0 )  =  ( (GId `  G ) G (GId
`  G ) ) )
40 simp2 989 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
4128, 31, 32gx0 23748 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( A P 0 )  =  (GId `  G )
)
4227, 40, 41syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P 0 )  =  (GId `  G )
)
43 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
4428, 31, 32gx0 23748 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X )  ->  ( B P 0 )  =  (GId `  G )
)
4527, 43, 44syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B P 0 )  =  (GId `  G )
)
4642, 45oveq12d 6109 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A P 0 ) G ( B P 0 ) )  =  ( (GId `  G ) G (GId
`  G ) ) )
4739, 46eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G B ) P 0 )  =  ( ( A P 0 ) G ( B P 0 ) ) )
48 nn0z 10669 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
49273ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  G  e.  GrpOp )
50303ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( A G B )  e.  X
)
51 simp2 989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
5228, 32gxsuc 23759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G B )  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( A G B ) P k ) G ( A G B ) ) )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( A G B ) P k ) G ( A G B ) ) )
54 oveq1 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  ->  (
( ( A G B ) P k ) G ( A G B ) )  =  ( ( ( A P k ) G ( B P k ) ) G ( A G B ) ) )
55543ad2ant3 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( ( A G B ) P k ) G ( A G B ) )  =  ( ( ( A P k ) G ( B P k ) ) G ( A G B ) ) )
56 simp11 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  G  e.  AbelOp )
57403ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  A  e.  X
)
5828, 32gxcl 23752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A P k )  e.  X )
5949, 57, 51, 58syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( A P k )  e.  X
)
60433ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  B  e.  X
)
6128, 32gxcl 23752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( B P k )  e.  X )
6249, 60, 51, 61syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( B P k )  e.  X
)
6328ablo4 23774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A P k )  e.  X  /\  ( B P k )  e.  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( ( A P k ) G ( B P k ) ) G ( A G B ) )  =  ( ( ( A P k ) G A ) G ( ( B P k ) G B ) ) )
6456, 59, 62, 57, 60, 63syl122anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( ( A P k ) G ( B P k ) ) G ( A G B ) )  =  ( ( ( A P k ) G A ) G ( ( B P k ) G B ) ) )
6553, 55, 643eqtrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( A P k ) G A ) G ( ( B P k ) G B ) ) )
6628, 32gxsuc 23759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P k ) G A ) )
6749, 57, 51, 66syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( A P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P k ) G A ) )
6828, 32gxsuc 23759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( B P ( k  +  1 ) )  =  ( ( B P k ) G B ) )
6949, 60, 51, 68syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( B P ( k  +  1 ) )  =  ( ( B P k ) G B ) )
7067, 69oveq12d 6109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( A P k ) G A ) G ( ( B P k ) G B ) ) )
7165, 70eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) ) )
72713exp 1186 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  -> 
( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7348, 72syl5 32 . . . 4  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
k  e.  NN0  ->  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  -> 
( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
74 nnz 10668 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
75 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
7628, 75, 32gxneg 23753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G B )  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( A G B ) P -u k
)  =  ( ( inv `  G ) `
 ( ( A G B ) P k ) ) )
7749, 50, 51, 76syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P
-u k )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A G B ) P k ) ) )
7828ablocom 23772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A P k )  e.  X  /\  ( B P k )  e.  X )  ->  (
( A P k ) G ( B P k ) )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) )
7956, 59, 62, 78syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) )
80 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  ->  (
( ( A G B ) P k )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) )  <->  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) ) )
81803ad2ant3 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) )  <->  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) ) )
8279, 81mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) )
8382fveq2d 5695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( inv `  G ) `  (
( A G B ) P k ) )  =  ( ( inv `  G ) `
 ( ( B P k ) G ( A P k ) ) ) )
8428, 75grpoinvop 23728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( B P k )  e.  X  /\  ( A P k )  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) )  =  ( ( ( inv `  G ) `  ( A P k ) ) G ( ( inv `  G ) `  ( B P k ) ) ) )
8549, 62, 59, 84syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( inv `  G ) `  (
( B P k ) G ( A P k ) ) )  =  ( ( ( inv `  G
) `  ( A P k ) ) G ( ( inv `  G ) `  ( B P k ) ) ) )
8677, 83, 853eqtrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P
-u k )  =  ( ( ( inv `  G ) `  ( A P k ) ) G ( ( inv `  G ) `  ( B P k ) ) ) )
8728, 75, 32gxneg 23753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A P -u k )  =  ( ( inv `  G ) `  ( A P k ) ) )
8849, 57, 51, 87syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( A P
-u k )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P k ) ) )
8928, 75, 32gxneg 23753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( B P -u k )  =  ( ( inv `  G ) `  ( B P k ) ) )
9049, 60, 51, 89syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( B P
-u k )  =  ( ( inv `  G
) `  ( B P k ) ) )
9188, 90oveq12d 6109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A P -u k ) G ( B P
-u k ) )  =  ( ( ( inv `  G ) `
 ( A P k ) ) G ( ( inv `  G
) `  ( B P k ) ) ) )
9286, 91eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P
-u k )  =  ( ( A P
-u k ) G ( B P -u k ) ) )
93923exp 1186 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  -> 
( ( A G B ) P -u k )  =  ( ( A P -u k ) G ( B P -u k
) ) ) ) )
9474, 93syl5 32 . . . 4  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
k  e.  NN  ->  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  -> 
( ( A G B ) P -u k )  =  ( ( A P -u k ) G ( B P -u k
) ) ) ) )
955, 10, 15, 20, 25, 47, 73, 94zindd 10743 . . 3  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( A G B ) P K )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) ) )
96953expb 1188 . 2  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( A G B ) P K )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) ) )
97963impia 1184 1  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( A G B ) P K )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ran crn 4841   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285   -ucneg 9596   NNcn 10322   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   GrpOpcgr 23673  GIdcgi 23674   invcgn 23675   ^gcgx 23677   AbelOpcablo 23768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-seq 11807  df-grpo 23678  df-gid 23679  df-ginv 23680  df-gx 23682  df-ablo 23769
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