Theorem gxadd 9398

Description: The group power of a sum is the group product of the powers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
gxnn0add.1	|- X = ran G
gxnn0add.2	|- P = (^g` G)

Assertion

Ref	Expression
gxadd	|- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (J e. ZZ /\ K e. ZZ)) -> (AP(J + K)) = ((APJ)G(APK)))

Proof of Theorem gxadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 7358	. . . . . . . 8 |- (K e. ZZ <-> (K e. RR /\ (K e. NN0 \/ -uK e. NN0)))
2	1	simprbi 353	. . . . . . 7 |- (K e. ZZ -> (K e. NN0 \/ -uK e. NN0))
3	2	adantl 424	. . . . . 6 |- (((G e. Grp /\ A e. X /\ J e. ZZ) /\ K e. ZZ) -> (K e. NN0 \/ -uK e. NN0))
4		gxnn0add.1	. . . . . . . . . . . 12 |- X = ran G
5		gxnn0add.2	. . . . . . . . . . . 12 |- P = (^g` G)
6	4, 5	gxnn0add 9397	. . . . . . . . . . 11 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (J e. ZZ /\ K e. NN0)) -> (AP(J + K)) = ((APJ)G(APK)))
7	6	3expia 1069	. . . . . . . . . 10 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> ((J e. ZZ /\ K e. NN0) -> (AP(J + K)) = ((APJ)G(APK))))
8	7	exp3a 405	. . . . . . . . 9 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (J e. ZZ -> (K e. NN0 -> (AP(J + K)) = ((APJ)G(APK)))))
9	8	3impia 1064	. . . . . . . 8 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ J e. ZZ) -> (K e. NN0 -> (AP(J + K)) = ((APJ)G(APK))))
10	9	adantr 425	. . . . . . 7 |- (((G e. Grp /\ A e. X /\ J e. ZZ) /\ K e. ZZ) -> (K e. NN0 -> (AP(J + K)) = ((APJ)G(APK))))
11		simp1 876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (J e. ZZ /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0))) -> G e. Grp)
12	4, 5	gxcl 9388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (J + K) e. ZZ) -> (AP(J + K)) e. X)
13		zaddcl 7374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (J + K) e. ZZ)
14		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((K e. ZZ /\ -uK e. NN0) -> K e. ZZ)
15	13, 14	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((J e. ZZ /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0)) -> (J + K) e. ZZ)
16	12, 15	syl3an3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (J e. ZZ /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0))) -> (AP(J + K)) e. X)
17	4, 5	gxcl 9388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ K e. ZZ) -> (APK) e. X)
18	14	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((J e. ZZ /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0)) -> K e. ZZ)
19	17, 18	syl3an3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (J e. ZZ /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0))) -> (APK) e. X)
20		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (inv` G) = (inv` G)
21	4, 20	grpasscan2 9362	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((G e. Grp /\ (AP(J + K)) e. X /\ (APK) e. X) -> (((AP(J + K))G((inv` G)` (APK)))G(APK)) = (AP(J + K)))
22	11, 16, 19, 21	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (J e. ZZ /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0))) -> (((AP(J + K))G((inv` G)` (APK)))G(APK)) = (AP(J + K)))
23	4, 5	gxnn0add 9397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ ((J + K) e. ZZ /\ -uK e. NN0)) -> (AP((J + K) + -uK)) = ((AP(J + K))G(AP-uK)))
24		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((K e. ZZ /\ -uK e. NN0) -> -uK e. NN0)
25	24	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((J e. ZZ /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0)) -> -uK e. NN0)
26	15, 25	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((J e. ZZ /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0)) -> ((J + K) e. ZZ /\ -uK e. NN0))
27	23, 26	syl3an3 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (J e. ZZ /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0))) -> (AP((J + K) + -uK)) = ((AP(J + K))G(AP-uK)))
28		addcl 6454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((J e. CC /\ K e. CC) -> (J + K) e. CC)
29		negsub 6540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((J + K) e. CC /\ K e. CC) -> ((J + K) + -uK) = ((J + K) - K))
30	28, 29	sylancom 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((J e. CC /\ K e. CC) -> ((J + K) + -uK) = ((J + K) - K))
31		pncan 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((J e. CC /\ K e. CC) -> ((J + K) - K) = J)
32	30, 31	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((J e. CC /\ K e. CC) -> ((J + K) + -uK) = J)
33		zcn 7349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (J e. ZZ -> J e. CC)
34		zcn 7349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (K e. ZZ -> K e. CC)
35	14, 34	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((K e. ZZ /\ -uK e. NN0) -> K e. CC)
36	32, 33, 35	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((J e. ZZ /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0)) -> ((J + K) + -uK) = J)
37	36	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((J e. ZZ /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0)) -> (AP((J + K) + -uK)) = (APJ))
38	37	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (J e. ZZ /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0))) -> (AP((J + K) + -uK)) = (APJ))
39	4, 20, 5	gxneg 9389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ K e. ZZ) -> (AP-uK) = ((inv` G)` (APK)))
40	39, 18	syl3an3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (J e. ZZ /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0))) -> (AP-uK) = ((inv` G)` (APK)))
41	40	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (J e. ZZ /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0))) -> ((AP(J + K))G(AP-uK)) = ((AP(J + K))G((inv` G)` (APK))))
42	27, 38, 41	3eqtr3rd 1936	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (J e. ZZ /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0))) -> ((AP(J + K))G((inv` G)` (APK))) = (APJ))
43	42	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (J e. ZZ /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0))) -> (((AP(J + K))G((inv` G)` (APK)))G(APK)) = ((APJ)G(APK)))
44	22, 43	eqtr3d 1927	. . . . . . . . . . . 12 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (J e. ZZ /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0))) -> (AP(J + K)) = ((APJ)G(APK)))
45	44	3expia 1069	. . . . . . . . . . 11 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> ((J e. ZZ /\ (K e. ZZ /\ -uK e. NN0)) -> (AP(J + K)) = ((APJ)G(APK))))
46	45	exp3a 405	. . . . . . . . . 10 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (J e. ZZ -> ((K e. ZZ /\ -uK e. NN0) -> (AP(J + K)) = ((APJ)G(APK)))))
47	46	3impia 1064	. . . . . . . . 9 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ J e. ZZ) -> ((K e. ZZ /\ -uK e. NN0) -> (AP(J + K)) = ((APJ)G(APK))))
48	47	exp3a 405	. . . . . . . 8 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ J e. ZZ) -> (K e. ZZ -> (-uK e. NN0 -> (AP(J + K)) = ((APJ)G(APK)))))
49	48	imp 377	. . . . . . 7 |- (((G e. Grp /\ A e. X /\ J e. ZZ) /\ K e. ZZ) -> (-uK e. NN0 -> (AP(J + K)) = ((APJ)G(APK))))
50	10, 49	jaod 469	. . . . . 6 |- (((G e. Grp /\ A e. X /\ J e. ZZ) /\ K e. ZZ) -> ((K e. NN0 \/ -uK e. NN0) -> (AP(J + K)) = ((APJ)G(APK))))
51	3, 50	mpd 29	. . . . 5 |- (((G e. Grp /\ A e. X /\ J e. ZZ) /\ K e. ZZ) -> (AP(J + K)) = ((APJ)G(APK)))
52	51	ex 402	. . . 4 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ J e. ZZ) -> (K e. ZZ -> (AP(J + K)) = ((APJ)G(APK))))
53	52	3expia 1069	. . 3 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (J e. ZZ -> (K e. ZZ -> (AP(J + K)) = ((APJ)G(APK)))))
54	53	imp3a 388	. 2 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (AP(J + K)) = ((APJ)G(APK))))
55	54	3impia 1064	1 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ (J e. ZZ /\ K e. ZZ)) -> (AP(J + K)) = ((APJ)G(APK)))

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  ran crn 3987  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385   + caddc 6389   - cmin 6445  -ucneg 6446  NN0cn0 6450  ZZcz 6451  Grpcgr 9311  invcgn 9313  ^gcgx 9315

This theorem is referenced by:  gxsub 9399  gxnn0mul 9400  gxmodid 9402

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gx 9320

Copyright terms: Public domain