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Theorem gxadd 25100
Description: The group power of a sum is the group product of the powers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxnn0add.1  |-  X  =  ran  G
gxnn0add.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gxadd  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )

Proof of Theorem gxadd
StepHypRef Expression
1 gxnn0add.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ran  G
2 gxnn0add.2 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( ^g `  G
)
31, 2gxnn0add 25099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 ) )  -> 
( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
433expia 1198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
54expd 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) ) )
653impia 1193 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
76adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
8 simp1 996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  G  e.  GrpOp )
9 zaddcl 10915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  +  K
)  e.  ZZ )
109adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( J  +  K )  e.  ZZ )
111, 2gxcl 25090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  +  K )  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  K ) )  e.  X )
1210, 11syl3an3 1263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  e.  X
)
13 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  K  e.  ZZ )
141, 2gxcl 25090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P K )  e.  X )
1513, 14syl3an3 1263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P K )  e.  X
)
16 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
171, 16grpoasscan2 25063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P ( J  +  K ) )  e.  X  /\  ( A P K )  e.  X )  ->  (
( ( A P ( J  +  K
) ) G ( ( inv `  G
) `  ( A P K ) ) ) G ( A P K ) )  =  ( A P ( J  +  K ) ) )
188, 12, 15, 17syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( ( A P ( J  +  K ) ) G ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) ) G ( A P K ) )  =  ( A P ( J  +  K
) ) )
191, 16, 2gxneg 25091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P -u K )  =  ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) )
2013, 19syl3an3 1263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P
-u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P K ) ) )
2120oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P ( J  +  K ) ) G ( A P -u K ) )  =  ( ( A P ( J  +  K
) ) G ( ( inv `  G
) `  ( A P K ) ) ) )
22 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  -u K  e.  NN0 )
2310, 22jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  (
( J  +  K
)  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )
)
241, 2gxnn0add 25099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  (
( J  +  K
)  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )
)  ->  ( A P ( ( J  +  K )  + 
-u K ) )  =  ( ( A P ( J  +  K ) ) G ( A P -u K ) ) )
2523, 24syl3an3 1263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( ( J  +  K )  +  -u K ) )  =  ( ( A P ( J  +  K
) ) G ( A P -u K
) ) )
26 zcn 10881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  CC )
27 zcn 10881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  K  e.  CC )
29 addcl 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( J  +  K
)  e.  CC )
30 negsub 9879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  +  K
)  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( J  +  K )  +  -u K )  =  ( ( J  +  K
)  -  K ) )
3129, 30sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( J  +  K )  +  -u K )  =  ( ( J  +  K
)  -  K ) )
32 pncan 9838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( J  +  K )  -  K
)  =  J )
3331, 32eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( J  +  K )  +  -u K )  =  J )
3426, 28, 33syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  (
( J  +  K
)  +  -u K
)  =  J )
3534oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( A P ( ( J  +  K )  + 
-u K ) )  =  ( A P J ) )
36353ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( ( J  +  K )  +  -u K ) )  =  ( A P J ) )
3725, 36eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P ( J  +  K ) ) G ( A P -u K ) )  =  ( A P J ) )
3821, 37eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P ( J  +  K ) ) G ( ( inv `  G
) `  ( A P K ) ) )  =  ( A P J ) )
3938oveq1d 6310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( ( A P ( J  +  K ) ) G ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) ) G ( A P K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
4018, 39eqtr3d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
41403expia 1198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
4241expd 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) ) )
43423impia 1193 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
4443expdimp 437 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
45 elznn0 10891 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  <->  ( K  e.  RR  /\  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN0 ) ) )
4645simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN0 ) )
4746adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e. 
NN0  \/  -u K  e. 
NN0 ) )
487, 44, 47mpjaod 381 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
4948ex 434 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
50493expia 1198 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) ) )
5150impd 431 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
52513impia 1193 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ran crn 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503    + caddc 9507    - cmin 9817   -ucneg 9818   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   GrpOpcgr 25011   invcgn 25013   ^gcgx 25015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-seq 12088  df-grpo 25016  df-gid 25017  df-ginv 25018  df-gx 25020
This theorem is referenced by:  gxsub  25101  gxnn0mul  25102  gxmodid  25104
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