MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gx1 Structured version   Unicode version

Theorem gx1 25462
Description: The result of the group power operator when the exponent is one. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gx1.1  |-  X  =  ran  G
gx1.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gx1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( A P 1 )  =  A )

Proof of Theorem gx1
StepHypRef Expression
1 1nn 10542 . . . 4  |-  1  e.  NN
2 gx1.1 . . . . 5  |-  X  =  ran  G
3 gx1.2 . . . . 5  |-  P  =  ( ^g `  G
)
42, 3gxpval 25459 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  1  e.  NN )  ->  ( A P 1 )  =  (  seq 1 ( G ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  1
) )
51, 4mp3an3 1311 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( A P 1 )  =  (  seq 1 ( G ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  1
) )
6 1z 10890 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
7 seq1 12102 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 ( G , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
1 )  =  ( ( NN  X.  { A } ) `  1
) )
86, 7ax-mp 5 . . 3  |-  (  seq 1 ( G , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
1 )  =  ( ( NN  X.  { A } ) `  1
)
95, 8syl6eq 2511 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( A P 1 )  =  ( ( NN  X.  { A } ) ` 
1 ) )
10 fvconst2g 6101 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  1  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { A } ) ` 
1 )  =  A )
111, 10mpan2 669 . . 3  |-  ( A  e.  X  ->  (
( NN  X.  { A } ) `  1
)  =  A )
1211adantl 464 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( NN  X.  { A } ) `  1
)  =  A )
139, 12eqtrd 2495 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( A P 1 )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   {csn 4016    X. cxp 4986   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1c1 9482   NNcn 10531   ZZcz 10860    seqcseq 12089   GrpOpcgr 25386   ^gcgx 25390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-seq 12090  df-gx 25395
This theorem is referenced by:  gxnn0suc  25464  gxm1  25468
  Copyright terms: Public domain W3C validator