MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gtned Structured version   Unicode version

Theorem gtned 9612
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltned.2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
gtned  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )

Proof of Theorem gtned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltned.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
3 ltne 9574 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758    =/= wne 2644   class class class wbr 4392   RRcr 9384    < clt 9521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-resscn 9442  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-ltxr 9526
This theorem is referenced by:  ltned  9613  seqf1olem1  11948  seqf1olem2  11949  hashfun  12303  abssubne0  12908  rpnnen2lem9  13609  rpnnen2lem11  13611  coe1tmmul2  17839  iccpnfcnv  20634  iccpnfhmeo  20635  pmltpclem2  21051  voliunlem1  21149  dvferm1lem  21574  lhop2  21605  ftc1lem5  21630  vieta1lem2  21895  geolim3  21923  logtayl  22223  atanre  22398  perfectlem2  22687  axlowdimlem16  23340  eupap1  23734  lgamgulmlem2  27152  lgamgulmlem3  27153  ivthALT  28670  pellfundne1  29370  fmul01lt1lem1  29905  wallispilem4  30003  wallispi  30005  wallispi2lem1  30006  wallispi2lem2  30007  wallispi2  30008  stirlinglem5  30013  clwwisshclwwlem  30610  frgraogt3nreg  30853
  Copyright terms: Public domain W3C validator