MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gtned Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem gtned 9795
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltned.2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
gtned  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )

Proof of Theorem gtned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltned.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
3 ltne 9755 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )
41, 2, 3syl2anc 671 1  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1897    =/= wne 2632   class class class wbr 4415   RRcr 9563    < clt 9700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-resscn 9621  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-ltxr 9705
This theorem is referenced by:  ltned  9796  seqf1olem1  12283  seqf1olem2  12284  hashfun  12641  abssubne0  13427  rpnnen2lem9  14323  rpnnen2lem11  14325  coe1tmmul2  18917  iccpnfcnv  22020  iccpnfhmeo  22021  pmltpclem2  22448  voliunlem1  22551  dvferm1lem  22984  lhop2  23015  ftc1lem5  23040  vieta1lem2  23312  geolim3  23343  logtayl  23653  atanre  23859  lgamgulmlem2  24003  lgamgulmlem3  24004  perfectlem2  24206  axlowdimlem16  25035  clwwisshclwwlem  25582  eupap1  25752  frgraogt3nreg  25896  nn0sqeq1  28372  esumcvgre  28960  eulerpartlems  29241  ivthALT  31039  poimirlem11  31995  poimirlem12  31996  poimirlem24  32008  pellfundne1  35781  eliccelioc  37659  fmul01lt1lem1  37699  lptre2pt  37757  cncfiooicclem1  37808  cncfioobdlem  37811  dvnmul  37855  ditgeqiooicc  37874  itgioocnicc  37891  iblcncfioo  37892  wallispilem4  37967  wallispi  37969  wallispi2lem1  37970  wallispi2lem2  37971  wallispi2  37972  stirlinglem5  37977  fourierdlem4  38010  fourierdlem34  38041  fourierdlem41  38048  fourierdlem42  38049  fourierdlem42OLD  38050  fourierdlem48  38055  fourierdlem49  38056  fourierdlem61  38068  fourierdlem73  38080  fourierdlem75  38082  fourierdlem76  38083  fourierdlem81  38088  fourierdlem82  38089  fourierdlem84  38091  fourierdlem93  38100  fourierdlem111  38118  fouriersw  38132  etransclem35  38171  qndenserrnbllem  38200  nnfoctbdjlem  38330  hoidmvlelem3  38456  hoiqssbllem2  38482  perfectALTVlem2  38881
  Copyright terms: Public domain W3C validator