MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gtned Structured version   Unicode version

Theorem gtned 9715
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltned.2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
gtned  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )

Proof of Theorem gtned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltned.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
3 ltne 9677 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   RRcr 9487    < clt 9624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629
This theorem is referenced by:  ltned  9716  seqf1olem1  12110  seqf1olem2  12111  hashfun  12457  abssubne0  13108  rpnnen2lem9  13813  rpnnen2lem11  13815  coe1tmmul2  18088  iccpnfcnv  21179  iccpnfhmeo  21180  pmltpclem2  21596  voliunlem1  21695  dvferm1lem  22120  lhop2  22151  ftc1lem5  22176  vieta1lem2  22441  geolim3  22469  logtayl  22769  atanre  22944  perfectlem2  23233  axlowdimlem16  23936  clwwisshclwwlem  24482  eupap1  24652  frgraogt3nreg  24797  lgamgulmlem2  28212  lgamgulmlem3  28213  ivthALT  29730  pellfundne1  30429  eliccelioc  31125  fmul01lt1lem1  31134  lptre2pt  31182  cncfioobdlem  31235  dvdivbd  31253  dvbdfbdioolem1  31258  ioodvbdlimc1lem1  31261  ioodvbdlimc1lem2  31262  ioodvbdlimc2lem  31264  wallispilem4  31368  wallispi  31370  wallispi2lem1  31371  wallispi2lem2  31372  wallispi2  31373  stirlinglem5  31378  dirkerval2  31394  dirkeritg  31402  dirkercncflem2  31404  fourierdlem4  31411  fourierdlem6  31413  fourierdlem7  31414  fourierdlem19  31426  fourierdlem26  31433  fourierdlem30  31437  fourierdlem41  31448  fourierdlem42  31449  fourierdlem45  31452  fourierdlem48  31455  fourierdlem49  31456  fourierdlem51  31458  fourierdlem61  31468  fourierdlem63  31470  fourierdlem64  31471  fourierdlem71  31478  fourierdlem73  31480  fourierdlem75  31482  fourierdlem76  31483  fourierdlem81  31488  fourierdlem82  31489  fourierdlem84  31491  fourierdlem93  31500  fourierdlem103  31510  fourierdlem104  31511  fourierdlem111  31518  fourierdlem112  31519  sqwvfoura  31529  fourierswlem  31531  fouriersw  31532
  Copyright terms: Public domain W3C validator