Theorem gtndiv 7405

Description: A larger number does not divide a smaller natural number.

Assertion

Ref	Expression
gtndiv	|- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> -. (B / A) e. ZZ)

Proof of Theorem gtndiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 7112	. . . 4 |- (B e. NN -> B e. RR)
2	1	3ad2ant2 898	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> B e. RR)
3		nngt0 7129	. . . 4 |- (B e. NN -> 0 < B)
4	3	3ad2ant2 898	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> 0 < B)
5		simp1 876	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> A e. RR)
6	3	adantl 424	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN) -> 0 < B)
7		0re 6603	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
8		axlttrn 6673	. . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR) -> ((0 < B /\ B < A) -> 0 < A))
9	7, 8	mp3an1 1178	. . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ A e. RR) -> ((0 < B /\ B < A) -> 0 < A))
10	9, 1	sylan 497	. . . . . 6 |- ((B e. NN /\ A e. RR) -> ((0 < B /\ B < A) -> 0 < A))
11	10	ancoms 484	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN) -> ((0 < B /\ B < A) -> 0 < A))
12	6, 11	mpand 765	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. NN) -> (B < A -> 0 < A))
13	12	3impia 1064	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> 0 < A)
14		divgt0 7037	. . 3 |- (((B e. RR /\ 0 < B) /\ (A e. RR /\ 0 < A)) -> 0 < (B / A))
15	2, 4, 5, 13, 14	syl22anc 1101	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> 0 < (B / A))
16		simp3 878	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> B < A)
17		1re 6598	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
18		ltdivmul2 7053	. . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ 1 e. RR /\ (A e. RR /\ 0 < A)) -> ((B / A) < 1 <-> B < (1 x. A)))
19	17, 18	mp3an2 1179	. . . . . 6 |- ((B e. RR /\ (A e. RR /\ 0 < A)) -> ((B / A) < 1 <-> B < (1 x. A)))
20	2, 5, 13, 19	syl12anc 1098	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> ((B / A) < 1 <-> B < (1 x. A)))
21		recn 6466	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> A e. CC)
22		mulid2 6578	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (1 x. A) = A)
23	21, 22	syl 12	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (1 x. A) = A)
24	23	breq2d 3350	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (B < (1 x. A) <-> B < A))
25	24	3ad2ant1 897	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> (B < (1 x. A) <-> B < A))
26	20, 25	bitrd 587	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> ((B / A) < 1 <-> B < A))
27	16, 26	mpbird 213	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> (B / A) < 1)
28		ax1cn 6422	. . . 4 |- 1 e. CC
29	28	addid2i 6484	. . 3 |- (0 + 1) = 1
30	27, 29	syl6breqr 3377	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> (B / A) < (0 + 1))
31		0z 7355	. . 3 |- 0 e. ZZ
32		btwnnz 7404	. . 3 |- ((0 e. ZZ /\ 0 < (B / A) /\ (B / A) < (0 + 1)) -> -. (B / A) e. ZZ)
33	31, 32	mp3an1 1178	. 2 |- ((0 < (B / A) /\ (B / A) < (0 + 1)) -> -. (B / A) e. ZZ)
34	15, 30, 33	syl11anc 524	1 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> -. (B / A) e. ZZ)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   / cdiv 6447  NNcn 6449  ZZcz 6451   < clt 6653

This theorem is referenced by:  prime 7407

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345

Copyright terms: Public domain