Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gtinf Structured version   Unicode version

Theorem gtinf 29990
Description: Any number greater than an infimum is greater than some element of the set. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
gtinf  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  E. z  e.  S  z  <  A )
Distinct variable groups:    z, A    x, y, z, S
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem gtinf
StepHypRef Expression
1 simprl 755 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  A  e.  RR )
2 ltso 9666 . . . . . . . 8  |-  <  Or  RR
3 cnvso 5546 . . . . . . . 8  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
42, 3mpbi 208 . . . . . . 7  |-  `'  <  Or  RR
54supex 7924 . . . . . 6  |-  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  _V
6 brcnvg 5183 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e. 
_V )  ->  ( A `'  <  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )
75, 6mpan2 671 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A `'  <  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )
87biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  < 
A )  ->  A `'  <  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )
98adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  A `'  <  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )
104a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  `'  <  Or  RR )
11 infm3 10503 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  S  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  S  z  <  y ) ) )
12 vex 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
13 vex 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1412, 13brcnv 5185 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
1514notbii 296 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
1615ralbii 2895 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  S  -.  y  <  x )
1713, 12brcnv 5185 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
18 vex 3116 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
1913, 18brcnv 5185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
2019rexbii 2965 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  S  y `'  <  z  <->  E. z  e.  S  z  <  y )
2117, 20imbi12i 326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  S  y `'  <  z )  <-> 
( x  <  y  ->  E. z  e.  S  z  <  y ) )
2221ralbii 2895 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  S  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  S  z  <  y ) )
2316, 22anbi12i 697 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  S  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  S  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  S  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  S  z  <  y ) ) )
2423rexbii 2965 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  S  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  S  y `'  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  S  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  S  z  <  y ) ) )
2511, 24sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  S  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  S  y `'  <  z ) ) )
2625adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  S  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  S  y `'  <  z ) ) )
2710, 26suplub 7921 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  (
( A  e.  RR  /\  A `'  <  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  E. z  e.  S  A `'  <  z ) )
281, 9, 27mp2and 679 . 2  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  E. z  e.  S  A `'  <  z )
29 brcnvg 5183 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  _V )  ->  ( A `'  <  z  <-> 
z  <  A )
)
3018, 29mpan2 671 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A `'  <  z  <->  z  <  A ) )
3130rexbidv 2973 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. z  e.  S  A `'  <  z  <->  E. z  e.  S  z  <  A ) )
3231ad2antrl 727 . 2  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  ( E. z  e.  S  A `'  <  z  <->  E. z  e.  S  z  <  A ) )
3328, 32mpbid 210 1  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  E. z  e.  S  z  <  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447    Or wor 4799   `'ccnv 4998   supcsup 7901   RRcr 9492    < clt 9629    <_ cle 9630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator