Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gtinf Structured version   Unicode version

Theorem gtinf 30377
Description: Any number greater than an infimum is greater than some element of the set. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
gtinf  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  E. z  e.  S  z  <  A )
Distinct variable groups:    z, A    x, y, z, S
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem gtinf
StepHypRef Expression
1 simprl 754 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  A  e.  RR )
2 gtso 9655 . . . . . . 7  |-  `'  <  Or  RR
32supex 7914 . . . . . 6  |-  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  _V
4 brcnvg 5172 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e. 
_V )  ->  ( A `'  <  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )
53, 4mpan2 669 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A `'  <  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )
65biimpar 483 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  < 
A )  ->  A `'  <  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )
76adantl 464 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  A `'  <  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )
82a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  `'  <  Or  RR )
9 infm3 10497 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  S  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  S  z  <  y ) ) )
10 vex 3109 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
11 vex 3109 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1210, 11brcnv 5174 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
1312notbii 294 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
1413ralbii 2885 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  S  -.  y  <  x )
1511, 10brcnv 5174 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
16 vex 3109 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
1711, 16brcnv 5174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
1817rexbii 2956 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  S  y `'  <  z  <->  E. z  e.  S  z  <  y )
1915, 18imbi12i 324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  S  y `'  <  z )  <-> 
( x  <  y  ->  E. z  e.  S  z  <  y ) )
2019ralbii 2885 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  S  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  S  z  <  y ) )
2114, 20anbi12i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  S  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  S  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  S  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  S  z  <  y ) ) )
2221rexbii 2956 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  S  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  S  y `'  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  S  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  S  z  <  y ) ) )
239, 22sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  S  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  S  y `'  <  z ) ) )
2423adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  S  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  S  y `'  <  z ) ) )
258, 24suplub 7911 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  (
( A  e.  RR  /\  A `'  <  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  E. z  e.  S  A `'  <  z ) )
261, 7, 25mp2and 677 . 2  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  E. z  e.  S  A `'  <  z )
27 brcnvg 5172 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  _V )  ->  ( A `'  <  z  <-> 
z  <  A )
)
2816, 27mpan2 669 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A `'  <  z  <->  z  <  A ) )
2928rexbidv 2965 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. z  e.  S  A `'  <  z  <->  E. z  e.  S  z  <  A ) )
3029ad2antrl 725 . 2  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  ( E. z  e.  S  A `'  <  z  <->  E. z  e.  S  z  <  A ) )
3126, 30mpbid 210 1  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  E. z  e.  S  z  <  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   (/)c0 3783   class class class wbr 4439    Or wor 4788   `'ccnv 4987   supcsup 7892   RRcr 9480    < clt 9617    <_ cle 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator