MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0srpr Structured version   Unicode version

Theorem gt0srpr 9237
Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
gt0srpr  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  B  <P  A )

Proof of Theorem gt0srpr
StepHypRef Expression
1 ltsrpr 9236 . 2  |-  ( [
<. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) )
2 df-0r 9223 . . 3  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
32breq1i 4294 . 2  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. A ,  B >. ]  ~R  )
4 1pr 9176 . . 3  |-  1P  e.  P.
5 ltapr 9206 . . 3  |-  ( 1P  e.  P.  ->  ( B  <P  A  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) ) )
64, 5ax-mp 5 . 2  |-  ( B 
<P  A  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) )
71, 3, 63bitr4i 277 1  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  B  <P  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1756   <.cop 3878   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   [cec 7091   P.cnp 9018   1Pc1p 9019    +P. cpp 9020    <P cltp 9022    ~R cer 9025   0Rc0r 9027    <R cltr 9032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-ec 7095  df-qs 7099  df-ni 9033  df-pli 9034  df-mi 9035  df-lti 9036  df-plpq 9069  df-mpq 9070  df-ltpq 9071  df-enq 9072  df-nq 9073  df-erq 9074  df-plq 9075  df-mq 9076  df-1nq 9077  df-rq 9078  df-ltnq 9079  df-np 9142  df-1p 9143  df-plp 9144  df-ltp 9146  df-enr 9218  df-nr 9219  df-ltr 9222  df-0r 9223
This theorem is referenced by:  recexsrlem  9262  mulgt0sr  9264
  Copyright terms: Public domain W3C validator