MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0srpr Structured version   Unicode version

Theorem gt0srpr 9501
Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
gt0srpr  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  B  <P  A )

Proof of Theorem gt0srpr
StepHypRef Expression
1 ltsrpr 9500 . 2  |-  ( [
<. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) )
2 df-0r 9484 . . 3  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
32breq1i 4433 . 2  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. A ,  B >. ]  ~R  )
4 1pr 9439 . . 3  |-  1P  e.  P.
5 ltapr 9469 . . 3  |-  ( 1P  e.  P.  ->  ( B  <P  A  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) ) )
64, 5ax-mp 5 . 2  |-  ( B 
<P  A  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) )
71, 3, 63bitr4i 280 1  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  B  <P  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    e. wcel 1870   <.cop 4008   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   [cec 7369   P.cnp 9283   1Pc1p 9284    +P. cpp 9285    <P cltp 9287    ~R cer 9288   0Rc0r 9290    <R cltr 9295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-ec 7373  df-qs 7377  df-ni 9296  df-pli 9297  df-mi 9298  df-lti 9299  df-plpq 9332  df-mpq 9333  df-ltpq 9334  df-enq 9335  df-nq 9336  df-erq 9337  df-plq 9338  df-mq 9339  df-1nq 9340  df-rq 9341  df-ltnq 9342  df-np 9405  df-1p 9406  df-plp 9407  df-ltp 9409  df-enr 9479  df-nr 9480  df-ltr 9483  df-0r 9484
This theorem is referenced by:  recexsrlem  9526  mulgt0sr  9528
  Copyright terms: Public domain W3C validator