MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0srpr Structured version   Unicode version

Theorem gt0srpr 9349
Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
gt0srpr  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  B  <P  A )

Proof of Theorem gt0srpr
StepHypRef Expression
1 ltsrpr 9348 . 2  |-  ( [
<. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) )
2 df-0r 9335 . . 3  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
32breq1i 4400 . 2  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. A ,  B >. ]  ~R  )
4 1pr 9288 . . 3  |-  1P  e.  P.
5 ltapr 9318 . . 3  |-  ( 1P  e.  P.  ->  ( B  <P  A  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) ) )
64, 5ax-mp 5 . 2  |-  ( B 
<P  A  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) )
71, 3, 63bitr4i 277 1  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  B  <P  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1758   <.cop 3984   class class class wbr 4393  (class class class)co 6193   [cec 7202   P.cnp 9130   1Pc1p 9131    +P. cpp 9132    <P cltp 9134    ~R cer 9137   0Rc0r 9139    <R cltr 9144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-omul 7028  df-er 7204  df-ec 7206  df-qs 7210  df-ni 9145  df-pli 9146  df-mi 9147  df-lti 9148  df-plpq 9181  df-mpq 9182  df-ltpq 9183  df-enq 9184  df-nq 9185  df-erq 9186  df-plq 9187  df-mq 9188  df-1nq 9189  df-rq 9190  df-ltnq 9191  df-np 9254  df-1p 9255  df-plp 9256  df-ltp 9258  df-enr 9330  df-nr 9331  df-ltr 9334  df-0r 9335
This theorem is referenced by:  recexsrlem  9374  mulgt0sr  9376
  Copyright terms: Public domain W3C validator