MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0ii Structured version   Unicode version

Theorem gt0ne0ii 10129
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt2.1  |-  A  e.  RR
gt0ne0i.2  |-  0  <  A
Assertion
Ref Expression
gt0ne0ii  |-  A  =/=  0

Proof of Theorem gt0ne0ii
StepHypRef Expression
1 gt0ne0i.2 . 2  |-  0  <  A
2 lt2.1 . . 3  |-  A  e.  RR
32gt0ne0i 10128 . 2  |-  ( 0  <  A  ->  A  =/=  0 )
41, 3ax-mp 5 1  |-  A  =/=  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4395   RRcr 9521   0cc0 9522    < clt 9658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-ltxr 9663
This theorem is referenced by:  eqneg  10305  recgt0ii  10491  nnne0i  10611  2ne0  10669  3ne0  10671  4ne0  10673  8th4div3  10800  halfpm6th  10801  5recm6rec  11126  0.999...  13842  bpoly2  14002  bpoly3  14003  fsumcube  14005  efi4p  14081  resin4p  14082  recos4p  14083  ef01bndlem  14128  cos2bnd  14132  sincos2sgn  14138  ene0  14151  sinhalfpilem  23148  sincos6thpi  23200  sineq0  23206  coseq1  23207  efeq1  23208  cosne0  23209  efif1olem2  23222  efif1olem4  23224  eflogeq  23281  logf1o2  23325  ecxp  23348  cxpsqrt  23378  root1eq1  23425  ang180lem1  23468  ang180lem2  23469  ang180lem3  23470  chebbnd1lem3  24037  chebbnd1  24038  subfaclim  29485  bj-pinftynminfty  31194  taupilem1  31247  proot1ex  35525  coseq0  37032  sinaover2ne0  37036  wallispi  37220  stirlinglem3  37226  stirlinglem15  37238  dirkertrigeqlem2  37249  dirkertrigeqlem3  37250  dirkertrigeq  37251  dirkeritg  37252  dirkercncflem1  37253  fourierdlem24  37281  fourierdlem95  37352  fourierswlem  37381  dp2cl  38809  dpfrac1  38812
  Copyright terms: Public domain W3C validator