MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0d Unicode version

Theorem gt0ne0d 9547
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
gt0ne0d.1  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Assertion
Ref Expression
gt0ne0d  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem gt0ne0d
StepHypRef Expression
1 0re 9047 . 2  |-  0  e.  RR
2 gt0ne0d.1 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  A )
3 ltne 9126 . 2  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
41, 2, 3sylancr 645 1  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172   RRcr 8945   0cc0 8946    < clt 9076
This theorem is referenced by:  recextlem2  9609  prodgt0  9811  ltdiv1  9830  ltmuldiv  9836  ltrec  9847  lerec  9848  lediv12a  9859  recp1lt1  9864  ledivp1  9868  supmul1  9929  rpnnen1lem5  10560  ltexp2a  11386  leexp2  11389  leexp2a  11390  expnbnd  11463  expmulnbnd  11466  discr1  11470  eqsqr2d  12127  isabvd  15863  gzrngunit  16719  stdbdxmet  18498  evth  18937  itg2monolem3  19597  mvth  19829  dvlip  19830  dvcvx  19857  ftc1lem4  19876  dgradd2  20139  radcnvlem1  20282  pilem2  20321  coseq00topi  20363  tangtx  20366  tanabsge  20367  tanord1  20392  logcnlem4  20489  cxplt  20538  atantan  20716  jensenlem2  20779  jensen  20780  basellem3  20818  basellem4  20819  basellem8  20823  dchrmusumlema  21140  selberg3lem1  21204  abvcxp  21262  ostth2  21284  his6  22554  eigrei  23290  xrge0iifcv  24273  lgamgulmlem2  24767  axsegconlem8  25767  axsegconlem9  25768  axsegconlem10  25769  axpaschlem  25783  axcontlem2  25808  axcontlem4  25810  axcontlem7  25813  bpoly4  26009  ftc1cnnclem  26177  areacirclem2  26181  irrapxlem2  26776  irrapxlem5  26779  pellexlem2  26783  stoweidlem7  27623  stoweidlem36  27652  wallispilem3  27683  wallispilem4  27684  wallispi2lem1  27687  wallispi2lem2  27688  stirlinglem3  27692  stirlinglem6  27695  stirlinglem7  27696  stirlinglem10  27699  stirlinglem11  27700  stirlinglem12  27701  stirlinglem13  27702  stirlinglem14  27703  stirlinglem15  27704
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081
  Copyright terms: Public domain W3C validator