Theorem gt0ne0 9449

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0	|- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )

Proof of Theorem gt0ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9047	. . 3 |- 0 e. RR
2	1	a1i 11	. 2 |- ( A e. RR -> 0 e. RR )
3		ltne 9126	. 2 |- ( ( 0 e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )
4	2, 3	sylan 458	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   e. wcel 1721   =/= wne 2567   class class class wbr 4172   RRcr 8945   0cc0 8946   < clt 9076

This theorem is referenced by:  recgt0  9810  lemul1  9818  lediv1  9831  gt0div  9832  ge0div  9833  ltdivmul  9838  ledivmul  9839  ledivmulOLD  9840  lt2mul2div  9842  lemuldiv  9845  ltdiv2  9851  ltrec1  9853  lerec2  9854  ledivdiv  9855  lediv2  9856  ltdiv23  9857  lediv23  9858  lediv12a  9859  recreclt  9865  nnrecl  10175  elnnz  10248  recnz  10301  rpne0  10583  resqrex  12011  sqrgt0  12019  argregt0  20458  argimgt0  20460  logneg2  20463  logcnlem3  20488  atanlogsublem  20708  leopmul  23590  cdj1i  23889  lediv2aALT  25070  divelunit  25138  mulge0b  25144  nndivlub  26112

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081