Theorem gt0ne0 10013

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0	|- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )

Proof of Theorem gt0ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 9586	. 2 |- ( A e. RR -> 0 e. RR )
2		ltne 9670	. 2 |- ( ( 0 e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )
3	1, 2	sylan 469	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   e. wcel 1823   =/= wne 2649   class class class wbr 4439   RRcr 9480   0cc0 9481   < clt 9617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622

This theorem is referenced by:  recgt0  10382  lemul1  10390  lediv1  10403  gt0div  10404  ge0div  10405  mulge0b  10408  ltdivmul  10413  ledivmul  10414  lt2mul2div  10416  lemuldiv  10419  ltdiv2  10425  ltrec1  10427  lerec2  10428  ledivdiv  10429  lediv2  10430  ltdiv23  10431  lediv23  10432  lediv12a  10433  recreclt  10439  nnrecl  10789  elnnz  10870  recnz  10934  rpne0  11236  divelunit  11665  resqrex  13166  sqrtgt0  13174  argregt0  23163  argimgt0  23165  logneg2  23168  logcnlem3  23193  atanlogsublem  23443  leopmul  27251  cdj1i  27550  lediv2aALT  29307  nndivlub  30151  sineq0ALT  34138