Theorem gt0ne0 9910

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0	|- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )

Proof of Theorem gt0ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 9493	. 2 |- ( A e. RR -> 0 e. RR )
2		ltne 9577	. 2 |- ( ( 0 e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )
3	1, 2	sylan 471	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1758   =/= wne 2645   class class class wbr 4395   RRcr 9387   0cc0 9388   < clt 9524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-ltxr 9529

This theorem is referenced by:  recgt0  10279  lemul1  10287  lediv1  10300  gt0div  10301  ge0div  10302  mulge0b  10305  ltdivmul  10310  ledivmul  10311  ledivmulOLD  10312  lt2mul2div  10314  lemuldiv  10317  ltdiv2  10323  ltrec1  10325  lerec2  10326  ledivdiv  10327  lediv2  10328  ltdiv23  10329  lediv23  10330  lediv12a  10331  recreclt  10337  nnrecl  10683  elnnz  10762  recnz  10823  rpne0  11112  divelunit  11539  resqrex  12853  sqrgt0  12861  argregt0  22187  argimgt0  22189  logneg2  22192  logcnlem3  22217  atanlogsublem  22438  leopmul  25685  cdj1i  25984  lediv2aALT  27461  nndivlub  28443  sineq0ALT  31986