MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0div Structured version   Unicode version

Theorem gt0div 10404
Description: Division of a positive number by a positive number. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
gt0div  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  (
0  <  A  <->  0  <  ( A  /  B ) ) )

Proof of Theorem gt0div
StepHypRef Expression
1 0re 9592 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 ltdiv1 10402 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( 0  <  A  <->  ( 0  /  B )  <  ( A  /  B ) ) )
31, 2mp3an1 1311 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  ( 0  <  A  <->  ( 0  /  B )  < 
( A  /  B
) ) )
433impb 1192 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  (
0  <  A  <->  ( 0  /  B )  < 
( A  /  B
) ) )
5 gt0ne0 10013 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  B  =/=  0 )
6 recn 9578 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
7 div0 10231 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 0  /  B
)  =  0 )
86, 7sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 0  /  B
)  =  0 )
95, 8syldan 470 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  -> 
( 0  /  B
)  =  0 )
109breq1d 4457 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  -> 
( ( 0  /  B )  <  ( A  /  B )  <->  0  <  ( A  /  B ) ) )
11103adant1 1014 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  (
( 0  /  B
)  <  ( A  /  B )  <->  0  <  ( A  /  B ) ) )
124, 11bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  (
0  <  A  <->  0  <  ( A  /  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488    < clt 9624    / cdiv 10202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203
This theorem is referenced by:  divgt0  10406  halfpos2  10764  gt0divd  11285  dvferm1lem  22120  dvferm2lem  22122  dvgt0  22140
  Copyright terms: Public domain W3C validator