MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzunsnd Structured version   Unicode version

Theorem gsumzunsnd 17096
Description: Append an element to a finite group sum, more general version of gsumunsnd 17098. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzunsnd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumzunsnd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumzunsnd.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
gsumzunsnd.f  |-  F  =  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
gsumzunsnd.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
gsumzunsnd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumzunsnd.c  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
gsumzunsnd.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsumzunsnd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
gsumzunsnd.d  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
gsumzunsnd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
gsumzunsnd.s  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
gsumzunsnd  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, G    k, M    ph, k    k, Y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    F( k)    V( k)    X( k)    Z( k)

Proof of Theorem gsumzunsnd
StepHypRef Expression
1 gsumzunsnd.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2382 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsumzunsnd.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 gsumzunsnd.z . . 3  |-  Z  =  (Cntz `  G )
5 gsumzunsnd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
6 gsumzunsnd.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
7 snfi 7515 . . . 4  |-  { M }  e.  Fin
8 unfi 7702 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { M }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { M } )  e. 
Fin )
96, 7, 8sylancl 660 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  e.  Fin )
10 elun 3559 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } ) )
11 gsumzunsnd.x . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
12 elsni 3969 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { M }  ->  k  =  M )
13 gsumzunsnd.s . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  =  Y )
1412, 13sylan2 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  X  =  Y )
15 gsumzunsnd.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1615adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  Y  e.  B )
1714, 16eqeltrd 2470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  X  e.  B )
1811, 17jaodan 783 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
1910, 18sylan2b 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
20 gsumzunsnd.f . . . 4  |-  F  =  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
2119, 20fmptd 5957 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( A  u.  { M }
) --> B )
22 gsumzunsnd.c . . 3  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
2311expcom 433 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  ->  ( ph  ->  X  e.  B
) )
2415adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  Y  e.  B )
2513, 24eqeltrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  e.  B )
2625expcom 433 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( ph  ->  X  e.  B
) )
2712, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { M }  ->  ( ph  ->  X  e.  B ) )
2823, 27jaoi 377 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } )  ->  ( ph  ->  X  e.  B
) )
2910, 28sylbi 195 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  -> 
( ph  ->  X  e.  B ) )
3029impcom 428 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
31 fvex 5784 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
3231a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  _V )
3320, 9, 30, 32fsuppmptdm 7755 . . 3  |-  ( ph  ->  F finSupp  ( 0g `  G ) )
34 gsumzunsnd.d . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
35 disjsn 4004 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  { M } )  =  (/)  <->  -.  M  e.  A )
3634, 35sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  { M } )  =  (/) )
37 eqidd 2383 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  =  ( A  u.  { M } ) )
381, 2, 3, 4, 5, 9, 21, 22, 33, 36, 37gsumzsplit 17061 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  A ) )  .+  ( G 
gsumg  ( F  |`  { M } ) ) ) )
3920reseq1i 5182 . . . . 5  |-  ( F  |`  A )  =  ( ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  A )
40 ssun1 3581 . . . . . 6  |-  A  C_  ( A  u.  { M } )
41 resmpt 5235 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( A  u.  { M } )  -> 
( ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  X ) )
4240, 41mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  X ) )
4339, 42syl5eq 2435 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  X ) )
4443oveq2d 6212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  A ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) ) )
4520reseq1i 5182 . . . . 5  |-  ( F  |`  { M } )  =  ( ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  { M } )
46 ssun2 3582 . . . . . 6  |-  { M }  C_  ( A  u.  { M } )
47 resmpt 5235 . . . . . 6  |-  ( { M }  C_  ( A  u.  { M } )  ->  (
( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  { M } )  =  ( k  e. 
{ M }  |->  X ) )
4846, 47mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  { M } )  =  ( k  e. 
{ M }  |->  X ) )
4945, 48syl5eq 2435 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  { M } )  =  ( k  e.  { M }  |->  X ) )
5049oveq2d 6212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  { M } ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) )
5144, 50oveq12d 6214 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  A ) )  .+  ( G  gsumg  ( F  |`  { M } ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) ) )
52 gsumzunsnd.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
531, 5, 52, 15, 13gsumsnd 17093 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) )  =  Y )
5453oveq2d 6212 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  ( G 
gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
5538, 51, 543eqtrd 2427 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034    u. cun 3387    i^i cin 3388    C_ wss 3389   (/)c0 3711   {csn 3944    |-> cmpt 4425   ran crn 4914    |` cres 4915   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Fincfn 7435   Basecbs 14634   +g cplusg 14702   0gc0g 14847    gsumg cgsu 14848   Mndcmnd 16036  Cntzccntz 16470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-hash 12308  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917
This theorem is referenced by:  mplcoe5  18244
  Copyright terms: Public domain W3C validator