Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzunsnd Structured version   Unicode version

Theorem gsumzunsnd 16832
 Description: Append an element to a finite group sum, more general version of gsumunsnd 16834. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzunsnd.b
gsumzunsnd.p
gsumzunsnd.z Cntz
gsumzunsnd.f
gsumzunsnd.g
gsumzunsnd.a
gsumzunsnd.c
gsumzunsnd.x
gsumzunsnd.m
gsumzunsnd.d
gsumzunsnd.y
gsumzunsnd.s
Assertion
Ref Expression
gsumzunsnd g g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem gsumzunsnd
StepHypRef Expression
1 gsumzunsnd.b . . 3
2 eqid 2467 . . 3
3 gsumzunsnd.p . . 3
4 gsumzunsnd.z . . 3 Cntz
5 gsumzunsnd.g . . 3
6 gsumzunsnd.a . . . 4
7 snfi 7606 . . . 4
8 unfi 7797 . . . 4
96, 7, 8sylancl 662 . . 3
10 elun 3650 . . . . 5
11 gsumzunsnd.x . . . . . 6
12 elsni 4057 . . . . . . . 8
13 gsumzunsnd.s . . . . . . . 8
1412, 13sylan2 474 . . . . . . 7
15 gsumzunsnd.y . . . . . . . 8
1615adantr 465 . . . . . . 7
1714, 16eqeltrd 2555 . . . . . 6
1811, 17jaodan 783 . . . . 5
1910, 18sylan2b 475 . . . 4
20 gsumzunsnd.f . . . 4
2119, 20fmptd 6055 . . 3
22 gsumzunsnd.c . . 3
2311expcom 435 . . . . . . 7
2415adantr 465 . . . . . . . . . 10
2513, 24eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9
2625expcom 435 . . . . . . . 8
2712, 26syl 16 . . . . . . 7
2823, 27jaoi 379 . . . . . 6
2910, 28sylbi 195 . . . . 5
3029impcom 430 . . . 4
31 fvex 5881 . . . . 5
3231a1i 11 . . . 4
3320, 9, 30, 32fsuppmptdm 7850 . . 3 finSupp
34 gsumzunsnd.d . . . 4
35 disjsn 4093 . . . 4
3634, 35sylibr 212 . . 3
37 eqidd 2468 . . 3
381, 2, 3, 4, 5, 9, 21, 22, 33, 36, 37gsumzsplit 16794 . 2 g g g
3920reseq1i 5274 . . . . 5
40 ssun1 3672 . . . . . 6
41 resmpt 5328 . . . . . 6
4240, 41mp1i 12 . . . . 5
4339, 42syl5eq 2520 . . . 4
4443oveq2d 6310 . . 3 g g
4520reseq1i 5274 . . . . 5
46 ssun2 3673 . . . . . 6
47 resmpt 5328 . . . . . 6
4846, 47mp1i 12 . . . . 5
4945, 48syl5eq 2520 . . . 4
5049oveq2d 6310 . . 3 g g
5144, 50oveq12d 6312 . 2 g g g g
52 gsumzunsnd.m . . . 4
531, 5, 52, 15, 13gsumsnd 16829 . . 3 g
5453oveq2d 6310 . 2 g g g
5538, 51, 543eqtrd 2512 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 368   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3118   cun 3479   cin 3480   wss 3481  c0 3790  csn 4032   cmpt 4510   crn 5005   cres 5006  cfv 5593  (class class class)co 6294  cfn 7526  cbs 14502   cplusg 14567  c0g 14707   g cgsu 14708  cmnd 15772  Cntzccntz 16202 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-oi 7945  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-seq 12086  df-hash 12384  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-submnd 15820  df-mulg 15909  df-cntz 16204  df-cmn 16650 This theorem is referenced by:  mplcoe5  17978
 Copyright terms: Public domain W3C validator