MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzunsnd Structured version   Unicode version

Theorem gsumzunsnd 16856
Description: Append an element to a finite group sum, more general version of gsumunsnd 16858. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzunsnd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumzunsnd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumzunsnd.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
gsumzunsnd.f  |-  F  =  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
gsumzunsnd.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
gsumzunsnd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumzunsnd.c  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
gsumzunsnd.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsumzunsnd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
gsumzunsnd.d  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
gsumzunsnd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
gsumzunsnd.s  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
gsumzunsnd  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, G    k, M    ph, k    k, Y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    F( k)    V( k)    X( k)    Z( k)

Proof of Theorem gsumzunsnd
StepHypRef Expression
1 gsumzunsnd.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2443 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsumzunsnd.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 gsumzunsnd.z . . 3  |-  Z  =  (Cntz `  G )
5 gsumzunsnd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
6 gsumzunsnd.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
7 snfi 7598 . . . 4  |-  { M }  e.  Fin
8 unfi 7789 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { M }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { M } )  e. 
Fin )
96, 7, 8sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  e.  Fin )
10 elun 3630 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } ) )
11 gsumzunsnd.x . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
12 elsni 4039 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { M }  ->  k  =  M )
13 gsumzunsnd.s . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  =  Y )
1412, 13sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  X  =  Y )
15 gsumzunsnd.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1615adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  Y  e.  B )
1714, 16eqeltrd 2531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  X  e.  B )
1811, 17jaodan 785 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
1910, 18sylan2b 475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
20 gsumzunsnd.f . . . 4  |-  F  =  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
2119, 20fmptd 6040 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( A  u.  { M }
) --> B )
22 gsumzunsnd.c . . 3  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
2311expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  ->  ( ph  ->  X  e.  B
) )
2415adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  Y  e.  B )
2513, 24eqeltrd 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  e.  B )
2625expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( ph  ->  X  e.  B
) )
2712, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { M }  ->  ( ph  ->  X  e.  B ) )
2823, 27jaoi 379 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } )  ->  ( ph  ->  X  e.  B
) )
2910, 28sylbi 195 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  -> 
( ph  ->  X  e.  B ) )
3029impcom 430 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
31 fvex 5866 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
3231a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  _V )
3320, 9, 30, 32fsuppmptdm 7842 . . 3  |-  ( ph  ->  F finSupp  ( 0g `  G ) )
34 gsumzunsnd.d . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
35 disjsn 4075 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  { M } )  =  (/)  <->  -.  M  e.  A )
3634, 35sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  { M } )  =  (/) )
37 eqidd 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  =  ( A  u.  { M } ) )
381, 2, 3, 4, 5, 9, 21, 22, 33, 36, 37gsumzsplit 16818 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  A ) )  .+  ( G 
gsumg  ( F  |`  { M } ) ) ) )
3920reseq1i 5259 . . . . 5  |-  ( F  |`  A )  =  ( ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  A )
40 ssun1 3652 . . . . . 6  |-  A  C_  ( A  u.  { M } )
41 resmpt 5313 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( A  u.  { M } )  -> 
( ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  X ) )
4240, 41mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  X ) )
4339, 42syl5eq 2496 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  X ) )
4443oveq2d 6297 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  A ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) ) )
4520reseq1i 5259 . . . . 5  |-  ( F  |`  { M } )  =  ( ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  { M } )
46 ssun2 3653 . . . . . 6  |-  { M }  C_  ( A  u.  { M } )
47 resmpt 5313 . . . . . 6  |-  ( { M }  C_  ( A  u.  { M } )  ->  (
( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  { M } )  =  ( k  e. 
{ M }  |->  X ) )
4846, 47mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  { M } )  =  ( k  e. 
{ M }  |->  X ) )
4945, 48syl5eq 2496 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  { M } )  =  ( k  e.  { M }  |->  X ) )
5049oveq2d 6297 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  { M } ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) )
5144, 50oveq12d 6299 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  A ) )  .+  ( G  gsumg  ( F  |`  { M } ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) ) )
52 gsumzunsnd.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
531, 5, 52, 15, 13gsumsnd 16853 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) )  =  Y )
5453oveq2d 6297 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  ( G 
gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
5538, 51, 543eqtrd 2488 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014    |-> cmpt 4495   ran crn 4990    |` cres 4991   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   Basecbs 14509   +g cplusg 14574   0gc0g 14714    gsumg cgsu 14715   Mndcmnd 15793  Cntzccntz 16227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674
This theorem is referenced by:  mplcoe5  18005
  Copyright terms: Public domain W3C validator