MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzunsnd Structured version   Unicode version

Theorem gsumzunsnd 16832
Description: Append an element to a finite group sum, more general version of gsumunsnd 16834. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzunsnd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumzunsnd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumzunsnd.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
gsumzunsnd.f  |-  F  =  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
gsumzunsnd.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
gsumzunsnd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumzunsnd.c  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
gsumzunsnd.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsumzunsnd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
gsumzunsnd.d  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
gsumzunsnd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
gsumzunsnd.s  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
gsumzunsnd  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, G    k, M    ph, k    k, Y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    F( k)    V( k)    X( k)    Z( k)

Proof of Theorem gsumzunsnd
StepHypRef Expression
1 gsumzunsnd.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsumzunsnd.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 gsumzunsnd.z . . 3  |-  Z  =  (Cntz `  G )
5 gsumzunsnd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
6 gsumzunsnd.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
7 snfi 7606 . . . 4  |-  { M }  e.  Fin
8 unfi 7797 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { M }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { M } )  e. 
Fin )
96, 7, 8sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  e.  Fin )
10 elun 3650 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } ) )
11 gsumzunsnd.x . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
12 elsni 4057 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { M }  ->  k  =  M )
13 gsumzunsnd.s . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  =  Y )
1412, 13sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  X  =  Y )
15 gsumzunsnd.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1615adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  Y  e.  B )
1714, 16eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  X  e.  B )
1811, 17jaodan 783 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
1910, 18sylan2b 475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
20 gsumzunsnd.f . . . 4  |-  F  =  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
2119, 20fmptd 6055 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( A  u.  { M }
) --> B )
22 gsumzunsnd.c . . 3  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
2311expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  ->  ( ph  ->  X  e.  B
) )
2415adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  Y  e.  B )
2513, 24eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  e.  B )
2625expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( ph  ->  X  e.  B
) )
2712, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { M }  ->  ( ph  ->  X  e.  B ) )
2823, 27jaoi 379 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } )  ->  ( ph  ->  X  e.  B
) )
2910, 28sylbi 195 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  -> 
( ph  ->  X  e.  B ) )
3029impcom 430 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
31 fvex 5881 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
3231a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  _V )
3320, 9, 30, 32fsuppmptdm 7850 . . 3  |-  ( ph  ->  F finSupp  ( 0g `  G ) )
34 gsumzunsnd.d . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
35 disjsn 4093 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  { M } )  =  (/)  <->  -.  M  e.  A )
3634, 35sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  { M } )  =  (/) )
37 eqidd 2468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  =  ( A  u.  { M } ) )
381, 2, 3, 4, 5, 9, 21, 22, 33, 36, 37gsumzsplit 16794 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  A ) )  .+  ( G 
gsumg  ( F  |`  { M } ) ) ) )
3920reseq1i 5274 . . . . 5  |-  ( F  |`  A )  =  ( ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  A )
40 ssun1 3672 . . . . . 6  |-  A  C_  ( A  u.  { M } )
41 resmpt 5328 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( A  u.  { M } )  -> 
( ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  X ) )
4240, 41mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  X ) )
4339, 42syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  X ) )
4443oveq2d 6310 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  A ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) ) )
4520reseq1i 5274 . . . . 5  |-  ( F  |`  { M } )  =  ( ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  { M } )
46 ssun2 3673 . . . . . 6  |-  { M }  C_  ( A  u.  { M } )
47 resmpt 5328 . . . . . 6  |-  ( { M }  C_  ( A  u.  { M } )  ->  (
( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  { M } )  =  ( k  e. 
{ M }  |->  X ) )
4846, 47mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  { M } )  =  ( k  e. 
{ M }  |->  X ) )
4945, 48syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  { M } )  =  ( k  e.  { M }  |->  X ) )
5049oveq2d 6310 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  { M } ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) )
5144, 50oveq12d 6312 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  A ) )  .+  ( G  gsumg  ( F  |`  { M } ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) ) )
52 gsumzunsnd.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
531, 5, 52, 15, 13gsumsnd 16829 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) )  =  Y )
5453oveq2d 6310 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  ( G 
gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
5538, 51, 543eqtrd 2512 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    u. cun 3479    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   {csn 4032    |-> cmpt 4510   ran crn 5005    |` cres 5006   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   Fincfn 7526   Basecbs 14502   +g cplusg 14567   0gc0g 14707    gsumg cgsu 14708   Mndcmnd 15772  Cntzccntz 16202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-oi 7945  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-seq 12086  df-hash 12384  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-submnd 15820  df-mulg 15909  df-cntz 16204  df-cmn 16650
This theorem is referenced by:  mplcoe5  17978
  Copyright terms: Public domain W3C validator