MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzunsnd Structured version   Unicode version

Theorem gsumzunsnd 16451
Description: Append an element to a finite group sum, more general version of gsumunsnd 16452. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzunsnd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumzunsnd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumzunsnd.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
gsumzunsnd.f  |-  F  =  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
gsumzunsnd.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
gsumzunsnd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumzunsnd.c  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
gsumzunsnd.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsumzunsnd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
gsumzunsnd.d  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
gsumzunsnd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
gsumzunsnd.s  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
gsumzunsnd  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, G    k, M    ph, k    k, Y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    F( k)    V( k)    X( k)    Z( k)

Proof of Theorem gsumzunsnd
StepHypRef Expression
1 gsumzunsnd.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2443 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsumzunsnd.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 gsumzunsnd.z . . 3  |-  Z  =  (Cntz `  G )
5 gsumzunsnd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
6 gsumzunsnd.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
7 snfi 7390 . . . 4  |-  { M }  e.  Fin
8 unfi 7579 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { M }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { M } )  e. 
Fin )
96, 7, 8sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  e.  Fin )
10 elun 3497 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } ) )
11 gsumzunsnd.x . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
12 elsni 3902 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { M }  ->  k  =  M )
13 gsumzunsnd.s . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  =  Y )
1412, 13sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  X  =  Y )
15 gsumzunsnd.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1615adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  Y  e.  B )
1714, 16eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  X  e.  B )
1811, 17jaodan 783 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
1910, 18sylan2b 475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
20 gsumzunsnd.f . . . 4  |-  F  =  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
2119, 20fmptd 5867 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( A  u.  { M }
) --> B )
22 gsumzunsnd.c . . 3  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
2311expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  ->  ( ph  ->  X  e.  B
) )
2415adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  Y  e.  B )
2513, 24eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  e.  B )
2625expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( ph  ->  X  e.  B
) )
2712, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { M }  ->  ( ph  ->  X  e.  B ) )
2823, 27jaoi 379 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } )  ->  ( ph  ->  X  e.  B
) )
2910, 28sylbi 195 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  -> 
( ph  ->  X  e.  B ) )
3029impcom 430 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
31 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
3231a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  _V )
3320, 9, 30, 32fsuppmptdm 7631 . . 3  |-  ( ph  ->  F finSupp  ( 0g `  G ) )
34 gsumzunsnd.d . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
35 disjsn 3936 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  { M } )  =  (/)  <->  -.  M  e.  A )
3634, 35sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  { M } )  =  (/) )
37 eqidd 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  =  ( A  u.  { M } ) )
381, 2, 3, 4, 5, 9, 21, 22, 33, 36, 37gsumzsplit 16418 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  A ) )  .+  ( G 
gsumg  ( F  |`  { M } ) ) ) )
3920reseq1i 5106 . . . . 5  |-  ( F  |`  A )  =  ( ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  A )
40 ssun1 3519 . . . . . 6  |-  A  C_  ( A  u.  { M } )
41 resmpt 5156 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( A  u.  { M } )  -> 
( ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  X ) )
4240, 41mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  X ) )
4339, 42syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  X ) )
4443oveq2d 6107 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  A ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) ) )
4520reseq1i 5106 . . . . 5  |-  ( F  |`  { M } )  =  ( ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  { M } )
46 ssun2 3520 . . . . . 6  |-  { M }  C_  ( A  u.  { M } )
47 resmpt 5156 . . . . . 6  |-  ( { M }  C_  ( A  u.  { M } )  ->  (
( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  { M } )  =  ( k  e. 
{ M }  |->  X ) )
4846, 47mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  |`  { M } )  =  ( k  e. 
{ M }  |->  X ) )
4945, 48syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  { M } )  =  ( k  e.  { M }  |->  X ) )
5049oveq2d 6107 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  { M } ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) )
5144, 50oveq12d 6109 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  A ) )  .+  ( G  gsumg  ( F  |`  { M } ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) ) )
52 gsumzunsnd.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
531, 5, 52, 15, 13gsumsnd 16450 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) )  =  Y )
5453oveq2d 6107 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  ( G 
gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
5538, 51, 543eqtrd 2479 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972    u. cun 3326    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   {csn 3877    e. cmpt 4350   ran crn 4841    |` cres 4842   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   0gc0g 14378    gsumg cgsu 14379   Mndcmnd 15409  Cntzccntz 15833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279
This theorem is referenced by:  mplcoe5  17548
  Copyright terms: Public domain W3C validator