Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzsplitOLD Structured version   Unicode version

Theorem gsumzsplitOLD 17072
 Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) Obsolete version of gsumzsplit 17071 as of 5-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzsplitOLD.b
gsumzsplitOLD.0
gsumzsplitOLD.p
gsumzsplitOLD.z Cntz
gsumzsplitOLD.g
gsumzsplitOLD.a
gsumzsplitOLD.f
gsumzsplitOLD.c
gsumzsplitOLD.w
gsumzsplitOLD.i
gsumzsplitOLD.u
Assertion
Ref Expression
gsumzsplitOLD g g g

Proof of Theorem gsumzsplitOLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzsplitOLD.b . . 3
2 gsumzsplitOLD.0 . . 3
3 gsumzsplitOLD.p . . 3
4 gsumzsplitOLD.z . . 3 Cntz
5 gsumzsplitOLD.g . . 3
6 gsumzsplitOLD.a . . 3
7 gsumzsplitOLD.w . . . 4
8 gsumzsplitOLD.f . . . . . . . 8
9 ssid 3518 . . . . . . . . 9
109a1i 11 . . . . . . . 8
118, 10suppssrOLD 6022 . . . . . . 7
1211ifeq1d 3962 . . . . . 6
13 ifid 3981 . . . . . 6
1412, 13syl6eq 2514 . . . . 5
1514suppss2OLD 6529 . . . 4
16 ssfi 7759 . . . 4
177, 15, 16syl2anc 661 . . 3
1811ifeq1d 3962 . . . . . 6
19 ifid 3981 . . . . . 6
2018, 19syl6eq 2514 . . . . 5
2120suppss2OLD 6529 . . . 4
22 ssfi 7759 . . . 4
237, 21, 22syl2anc 661 . . 3
241submacs 16123 . . . . 5 SubMnd ACS
25 acsmre 15069 . . . . 5 SubMnd ACS SubMnd Moore
265, 24, 253syl 20 . . . 4 SubMnd Moore
27 frn 5743 . . . . 5
288, 27syl 16 . . . 4
29 eqid 2457 . . . . 5 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
3029mrccl 15028 . . . 4 SubMnd Moore mrClsSubMnd SubMnd
3126, 28, 30syl2anc 661 . . 3 mrClsSubMnd SubMnd
32 gsumzsplitOLD.c . . . . 5
33 eqid 2457 . . . . . 6 s mrClsSubMnd s mrClsSubMnd
344, 29, 33cntzspan 16977 . . . . 5 s mrClsSubMnd CMnd
355, 32, 34syl2anc 661 . . . 4 s mrClsSubMnd CMnd
3633, 4submcmn2 16974 . . . . 5 mrClsSubMnd SubMnd s mrClsSubMnd CMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
3731, 36syl 16 . . . 4 s mrClsSubMnd CMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
3835, 37mpbid 210 . . 3 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
3926, 29, 28mrcssidd 15042 . . . . . . 7 mrClsSubMnd
4039adantr 465 . . . . . 6 mrClsSubMnd
41 ffn 5737 . . . . . . . 8
428, 41syl 16 . . . . . . 7
43 fnfvelrn 6029 . . . . . . 7
4442, 43sylan 471 . . . . . 6
4540, 44sseldd 3500 . . . . 5 mrClsSubMnd
462subm0cl 16110 . . . . . . 7 mrClsSubMnd SubMnd mrClsSubMnd
4731, 46syl 16 . . . . . 6 mrClsSubMnd
4847adantr 465 . . . . 5 mrClsSubMnd
49 ifcl 3986 . . . . 5 mrClsSubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
5045, 48, 49syl2anc 661 . . . 4 mrClsSubMnd
51 eqid 2457 . . . 4
5250, 51fmptd 6056 . . 3 mrClsSubMnd
53 ifcl 3986 . . . . 5 mrClsSubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
5445, 48, 53syl2anc 661 . . . 4 mrClsSubMnd
55 eqid 2457 . . . 4
5654, 55fmptd 6056 . . 3 mrClsSubMnd
571, 2, 3, 4, 5, 6, 17, 23, 31, 38, 52, 56gsumzaddOLD 17064 . 2 g g g
588feqmptd 5926 . . . . 5
59 iftrue 3950 . . . . . . . . . 10
6059adantl 466 . . . . . . . . 9
61 gsumzsplitOLD.i . . . . . . . . . . . . . . 15
62 noel 3797 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6462, 63mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . 15
6561, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
67 elin 3683 . . . . . . . . . . . . 13
6866, 67sylnib 304 . . . . . . . . . . . 12
69 imnan 422 . . . . . . . . . . . 12
7068, 69sylibr 212 . . . . . . . . . . 11
7170imp 429 . . . . . . . . . 10
72 iffalse 3953 . . . . . . . . . 10
7371, 72syl 16 . . . . . . . . 9
7460, 73oveq12d 6314 . . . . . . . 8
758ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10
761, 3, 2mndrid 16069 . . . . . . . . . . 11
775, 76sylan 471 . . . . . . . . . 10
7875, 77syldan 470 . . . . . . . . 9
7978adantr 465 . . . . . . . 8
8074, 79eqtrd 2498 . . . . . . 7
8170con2d 115 . . . . . . . . . . 11
8281imp 429 . . . . . . . . . 10
83 iffalse 3953 . . . . . . . . . 10
8482, 83syl 16 . . . . . . . . 9
85 iftrue 3950 . . . . . . . . . 10
8685adantl 466 . . . . . . . . 9
8784, 86oveq12d 6314 . . . . . . . 8
881, 3, 2mndlid 16068 . . . . . . . . . . 11
895, 88sylan 471 . . . . . . . . . 10
9075, 89syldan 470 . . . . . . . . 9
9190adantr 465 . . . . . . . 8
9287, 91eqtrd 2498 . . . . . . 7
93 gsumzsplitOLD.u . . . . . . . . . 10
9493eleq2d 2527 . . . . . . . . 9
95 elun 3641 . . . . . . . . 9
9694, 95syl6bb 261 . . . . . . . 8
9796biimpa 484 . . . . . . 7
9880, 92, 97mpjaodan 786 . . . . . 6
9998mpteq2dva 4543 . . . . 5
10058, 99eqtr4d 2501 . . . 4
1011, 2mndidcl 16065 . . . . . . . 8
1025, 101syl 16 . . . . . . 7
103102adantr 465 . . . . . 6
104 ifcl 3986 . . . . . 6
10575, 103, 104syl2anc 661 . . . . 5
106 ifcl 3986 . . . . . 6
10775, 103, 106syl2anc 661 . . . . 5
108 eqidd 2458 . . . . 5
109 eqidd 2458 . . . . 5
1106, 105, 107, 108, 109offval2 6555 . . . 4
111100, 110eqtr4d 2501 . . 3
112111oveq2d 6312 . 2 g g
11358reseq1d 5282 . . . . . 6
114 ssun1 3663 . . . . . . . 8
115114, 93syl5sseqr 3548 . . . . . . 7
11659mpteq2ia 4539 . . . . . . . 8
117 resmpt 5333 . . . . . . . 8
118 resmpt 5333 . . . . . . . 8
119116, 117, 1183eqtr4a 2524 . . . . . . 7
120115, 119syl 16 . . . . . 6
121113, 120eqtr4d 2501 . . . . 5
122121oveq2d 6312 . . . 4 g g
123105, 51fmptd 6056 . . . . 5
124 frn 5743 . . . . . . 7 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
12552, 124syl 16 . . . . . 6 mrClsSubMnd
1264cntzidss 16502 . . . . . 6 mrClsSubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
12738, 125, 126syl2anc 661 . . . . 5
128 eldifn 3623 . . . . . . . 8
129128adantl 466 . . . . . . 7
130129, 83syl 16 . . . . . 6
131130suppss2OLD 6529 . . . . 5
1321, 2, 4, 5, 6, 123, 127, 131, 17gsumzresOLD 17045 . . . 4 g g
133122, 132eqtrd 2498 . . 3 g g
13458reseq1d 5282 . . . . . 6
135 ssun2 3664 . . . . . . . 8
136135, 93syl5sseqr 3548 . . . . . . 7
13785mpteq2ia 4539 . . . . . . . 8
138 resmpt 5333 . . . . . . . 8
139 resmpt 5333 . . . . . . . 8
140137, 138, 1393eqtr4a 2524 . . . . . . 7
141136, 140syl 16 . . . . . 6
142134, 141eqtr4d 2501 . . . . 5
143142oveq2d 6312 . . . 4 g g
144107, 55fmptd 6056 . . . . 5
145 frn 5743 . . . . . . 7 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
14656, 145syl 16 . . . . . 6 mrClsSubMnd
1474cntzidss 16502 . . . . . 6 mrClsSubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
14838, 146, 147syl2anc 661 . . . . 5
149 eldifn 3623 . . . . . . . 8
150149adantl 466 . . . . . . 7
151150, 72syl 16 . . . . . 6
152151suppss2OLD 6529 . . . . 5
1531, 2, 4, 5, 6, 144, 148, 152, 23gsumzresOLD 17045 . . . 4 g g
154143, 153eqtrd 2498 . . 3 g g
155133, 154oveq12d 6314 . 2 g g g g
15657, 112, 1553eqtr4d 2508 1 g g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  cvv 3109   cdif 3468   cun 3469   cin 3470   wss 3471  c0 3793  cif 3944  csn 4032   cmpt 4515  ccnv 5007   crn 5009   cres 5010  cima 5011   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296   cof 6537  cfn 7535  cbs 14644   ↾s cress 14645   cplusg 14712  c0g 14857   g cgsu 14858  Moorecmre 14999  mrClscmrc 15000  ACScacs 15002  cmnd 16046  SubMndcsubmnd 16092  Cntzccntz 16480  CMndccmn 16925 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-cntz 16482  df-cmn 16927 This theorem is referenced by:  gsumsplitOLD  17074  dpjidclOLD  17241
 Copyright terms: Public domain W3C validator