Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzsplit Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem gsumzsplit 17560
 Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzsplit.b
gsumzsplit.0
gsumzsplit.p
gsumzsplit.z Cntz
gsumzsplit.g
gsumzsplit.a
gsumzsplit.f
gsumzsplit.c
gsumzsplit.w finSupp
gsumzsplit.i
gsumzsplit.u
Assertion
Ref Expression
gsumzsplit g g g

Proof of Theorem gsumzsplit
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzsplit.b . . 3
2 gsumzsplit.0 . . 3
3 gsumzsplit.p . . 3
4 gsumzsplit.z . . 3 Cntz
5 gsumzsplit.g . . 3
6 gsumzsplit.a . . 3
7 gsumzsplit.f . . . 4
8 fvex 5875 . . . . . 6
92, 8eqeltri 2525 . . . . 5
109a1i 11 . . . 4
11 gsumzsplit.w . . . 4 finSupp
127, 6, 10, 11fsuppmptif 7913 . . 3 finSupp
137, 6, 10, 11fsuppmptif 7913 . . 3 finSupp
141submacs 16612 . . . . 5 SubMnd ACS
15 acsmre 15558 . . . . 5 SubMnd ACS SubMnd Moore
165, 14, 153syl 18 . . . 4 SubMnd Moore
17 frn 5735 . . . . 5
187, 17syl 17 . . . 4
19 eqid 2451 . . . . 5 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
2019mrccl 15517 . . . 4 SubMnd Moore mrClsSubMnd SubMnd
2116, 18, 20syl2anc 667 . . 3 mrClsSubMnd SubMnd
22 gsumzsplit.c . . . . 5
23 eqid 2451 . . . . . 6 s mrClsSubMnd s mrClsSubMnd
244, 19, 23cntzspan 17482 . . . . 5 s mrClsSubMnd CMnd
255, 22, 24syl2anc 667 . . . 4 s mrClsSubMnd CMnd
2623, 4submcmn2 17479 . . . . 5 mrClsSubMnd SubMnd s mrClsSubMnd CMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
2721, 26syl 17 . . . 4 s mrClsSubMnd CMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
2825, 27mpbid 214 . . 3 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
2916, 19, 18mrcssidd 15531 . . . . . . 7 mrClsSubMnd
3029adantr 467 . . . . . 6 mrClsSubMnd
31 ffn 5728 . . . . . . . 8
327, 31syl 17 . . . . . . 7
33 fnfvelrn 6019 . . . . . . 7
3432, 33sylan 474 . . . . . 6
3530, 34sseldd 3433 . . . . 5 mrClsSubMnd
362subm0cl 16599 . . . . . . 7 mrClsSubMnd SubMnd mrClsSubMnd
3721, 36syl 17 . . . . . 6 mrClsSubMnd
3837adantr 467 . . . . 5 mrClsSubMnd
3935, 38ifcld 3924 . . . 4 mrClsSubMnd
40 eqid 2451 . . . 4
4139, 40fmptd 6046 . . 3 mrClsSubMnd
4235, 38ifcld 3924 . . . 4 mrClsSubMnd
43 eqid 2451 . . . 4
4442, 43fmptd 6046 . . 3 mrClsSubMnd
451, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13, 21, 28, 41, 44gsumzadd 17555 . 2 g g g
467feqmptd 5918 . . . . 5
47 iftrue 3887 . . . . . . . . . 10
4847adantl 468 . . . . . . . . 9
49 gsumzsplit.i . . . . . . . . . . . . . . 15
50 noel 3735 . . . . . . . . . . . . . . . 16
51 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5250, 51mtbiri 305 . . . . . . . . . . . . . . 15
5349, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
5453adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
55 elin 3617 . . . . . . . . . . . . 13
5654, 55sylnib 306 . . . . . . . . . . . 12
57 imnan 424 . . . . . . . . . . . 12
5856, 57sylibr 216 . . . . . . . . . . 11
5958imp 431 . . . . . . . . . 10
6059iffalsed 3892 . . . . . . . . 9
6148, 60oveq12d 6308 . . . . . . . 8
627ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10
631, 3, 2mndrid 16558 . . . . . . . . . . 11
645, 63sylan 474 . . . . . . . . . 10
6562, 64syldan 473 . . . . . . . . 9
6665adantr 467 . . . . . . . 8
6761, 66eqtrd 2485 . . . . . . 7
6858con2d 119 . . . . . . . . . . 11
6968imp 431 . . . . . . . . . 10
7069iffalsed 3892 . . . . . . . . 9
71 iftrue 3887 . . . . . . . . . 10
7271adantl 468 . . . . . . . . 9
7370, 72oveq12d 6308 . . . . . . . 8
741, 3, 2mndlid 16557 . . . . . . . . . . 11
755, 74sylan 474 . . . . . . . . . 10
7662, 75syldan 473 . . . . . . . . 9
7776adantr 467 . . . . . . . 8
7873, 77eqtrd 2485 . . . . . . 7
79 gsumzsplit.u . . . . . . . . . 10
8079eleq2d 2514 . . . . . . . . 9
81 elun 3574 . . . . . . . . 9
8280, 81syl6bb 265 . . . . . . . 8
8382biimpa 487 . . . . . . 7
8467, 78, 83mpjaodan 795 . . . . . 6
8584mpteq2dva 4489 . . . . 5
8646, 85eqtr4d 2488 . . . 4
871, 2mndidcl 16554 . . . . . . . 8
885, 87syl 17 . . . . . . 7
8988adantr 467 . . . . . 6
9062, 89ifcld 3924 . . . . 5
9162, 89ifcld 3924 . . . . 5
92 eqidd 2452 . . . . 5
93 eqidd 2452 . . . . 5
946, 90, 91, 92, 93offval2 6548 . . . 4
9586, 94eqtr4d 2488 . . 3
9695oveq2d 6306 . 2 g g
9746reseq1d 5104 . . . . . 6
98 ssun1 3597 . . . . . . . 8
9998, 79syl5sseqr 3481 . . . . . . 7
10047mpteq2ia 4485 . . . . . . . 8
101 resmpt 5154 . . . . . . . 8
102 resmpt 5154 . . . . . . . 8
103100, 101, 1023eqtr4a 2511 . . . . . . 7
10499, 103syl 17 . . . . . 6
10597, 104eqtr4d 2488 . . . . 5
106105oveq2d 6306 . . . 4 g g
10790, 40fmptd 6046 . . . . 5
108 frn 5735 . . . . . . 7 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
10941, 108syl 17 . . . . . 6 mrClsSubMnd
1104cntzidss 16991 . . . . . 6 mrClsSubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
11128, 109, 110syl2anc 667 . . . . 5
112 eldifn 3556 . . . . . . . 8
113112adantl 468 . . . . . . 7
114113iffalsed 3892 . . . . . 6
115114, 6suppss2 6949 . . . . 5 supp
1161, 2, 4, 5, 6, 107, 111, 115, 12gsumzres 17543 . . . 4 g g
117106, 116eqtrd 2485 . . 3 g g
11846reseq1d 5104 . . . . . 6
119 ssun2 3598 . . . . . . . 8
120119, 79syl5sseqr 3481 . . . . . . 7
12171mpteq2ia 4485 . . . . . . . 8
122 resmpt 5154 . . . . . . . 8
123 resmpt 5154 . . . . . . . 8
124121, 122, 1233eqtr4a 2511 . . . . . . 7
125120, 124syl 17 . . . . . 6
126118, 125eqtr4d 2488 . . . . 5
127126oveq2d 6306 . . . 4 g g
12891, 43fmptd 6046 . . . . 5
129 frn 5735 . . . . . . 7 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
13044, 129syl 17 . . . . . 6 mrClsSubMnd
1314cntzidss 16991 . . . . . 6 mrClsSubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
13228, 130, 131syl2anc 667 . . . . 5
133 eldifn 3556 . . . . . . . 8
134133adantl 468 . . . . . . 7
135134iffalsed 3892 . . . . . 6
136135, 6suppss2 6949 . . . . 5 supp
1371, 2, 4, 5, 6, 128, 132, 136, 13gsumzres 17543 . . . 4 g g
138127, 137eqtrd 2485 . . 3 g g
139117, 138oveq12d 6308 . 2 g g g g
14045, 96, 1393eqtr4d 2495 1 g g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  cvv 3045   cdif 3401   cun 3402   cin 3403   wss 3404  c0 3731  cif 3881   class class class wbr 4402   cmpt 4461   crn 4835   cres 4836   wfn 5577  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290   cof 6529   finSupp cfsupp 7883  cbs 15121   ↾s cress 15122   cplusg 15190  c0g 15338   g cgsu 15339  Moorecmre 15488  mrClscmrc 15489  ACScacs 15491  cmnd 16535  SubMndcsubmnd 16581  Cntzccntz 16969  CMndccmn 17430 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-cntz 16971  df-cmn 17432 This theorem is referenced by:  gsumsplit  17561  gsumzunsnd  17588  dpjidcl  17691
 Copyright terms: Public domain W3C validator