Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzoppg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem gsumzoppg 17577
 Description: The opposite of a group sum is the same as the original. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzoppg.b
gsumzoppg.0
gsumzoppg.z Cntz
gsumzoppg.o oppg
gsumzoppg.g
gsumzoppg.a
gsumzoppg.f
gsumzoppg.c
gsumzoppg.n finSupp
Assertion
Ref Expression
gsumzoppg g g

Proof of Theorem gsumzoppg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzoppg.g . . . . . . . 8
2 gsumzoppg.o . . . . . . . . 9 oppg
32oppgmnd 17005 . . . . . . . 8
41, 3syl 17 . . . . . . 7
5 gsumzoppg.a . . . . . . 7
6 gsumzoppg.0 . . . . . . . . 9
72, 6oppgid 17007 . . . . . . . 8
87gsumz 16621 . . . . . . 7 g
94, 5, 8syl2anc 667 . . . . . 6 g
106gsumz 16621 . . . . . . 7 g
111, 5, 10syl2anc 667 . . . . . 6 g
129, 11eqtr4d 2488 . . . . 5 g g
1312adantr 467 . . . 4 g g
14 gsumzoppg.f . . . . . 6
15 fvex 5875 . . . . . . . 8
166, 15eqeltri 2525 . . . . . . 7
1716a1i 11 . . . . . 6
18 ssid 3451 . . . . . . 7
19 fex 6138 . . . . . . . . . 10
2014, 5, 19syl2anc 667 . . . . . . . . 9
21 suppimacnv 6925 . . . . . . . . 9 supp
2220, 16, 21sylancl 668 . . . . . . . 8 supp
2322sseq1d 3459 . . . . . . 7 supp
2418, 23mpbiri 237 . . . . . 6 supp
2514, 5, 17, 24gsumcllem 17542 . . . . 5
2625oveq2d 6306 . . . 4 g g
2725oveq2d 6306 . . . 4 g g
2813, 26, 273eqtr4d 2495 . . 3 g g
2928ex 436 . 2 g g
30 simprl 764 . . . . . . . 8
31 nnuz 11194 . . . . . . . 8
3230, 31syl6eleq 2539 . . . . . . 7
3314adantr 467 . . . . . . . . . . 11
34 ffn 5728 . . . . . . . . . . . 12
35 dffn4 5799 . . . . . . . . . . . 12
3634, 35sylib 200 . . . . . . . . . . 11
37 fof 5793 . . . . . . . . . . 11
3833, 36, 373syl 18 . . . . . . . . . 10
391adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
40 gsumzoppg.b . . . . . . . . . . . . 13
4140submacs 16612 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd ACS
42 acsmre 15558 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd ACS SubMnd Moore
4339, 41, 423syl 18 . . . . . . . . . . 11 SubMnd Moore
44 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
45 frn 5735 . . . . . . . . . . . 12
4633, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11
4743, 44, 46mrcssidd 15531 . . . . . . . . . 10 mrClsSubMnd
4838, 47fssd 5738 . . . . . . . . 9 mrClsSubMnd
49 f1of1 5813 . . . . . . . . . . . 12
5049ad2antll 735 . . . . . . . . . . 11
51 cnvimass 5188 . . . . . . . . . . . 12
52 fdm 5733 . . . . . . . . . . . . 13
5333, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12
5451, 53syl5sseq 3480 . . . . . . . . . . 11
55 f1ss 5784 . . . . . . . . . . 11
5650, 54, 55syl2anc 667 . . . . . . . . . 10
57 f1f 5779 . . . . . . . . . 10
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9
59 fco 5739 . . . . . . . . 9 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
6048, 58, 59syl2anc 667 . . . . . . . 8 mrClsSubMnd
6160ffvelrnda 6022 . . . . . . 7 mrClsSubMnd
6244mrccl 15517 . . . . . . . . . 10 SubMnd Moore mrClsSubMnd SubMnd
6343, 46, 62syl2anc 667 . . . . . . . . 9 mrClsSubMnd SubMnd
642oppgsubm 17013 . . . . . . . . 9 SubMnd SubMnd
6563, 64syl6eleq 2539 . . . . . . . 8 mrClsSubMnd SubMnd
66 eqid 2451 . . . . . . . . . 10
6766submcl 16600 . . . . . . . . 9 mrClsSubMnd SubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
68673expb 1209 . . . . . . . 8 mrClsSubMnd SubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
6965, 68sylan 474 . . . . . . 7 mrClsSubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
70 gsumzoppg.c . . . . . . . . . . . . . 14
7170adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
72 gsumzoppg.z . . . . . . . . . . . . . 14 Cntz
73 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . 14 s mrClsSubMnd s mrClsSubMnd
7472, 44, 73cntzspan 17482 . . . . . . . . . . . . 13 s mrClsSubMnd CMnd
7539, 71, 74syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12 s mrClsSubMnd CMnd
7673, 72submcmn2 17479 . . . . . . . . . . . . 13 mrClsSubMnd SubMnd s mrClsSubMnd CMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
7763, 76syl 17 . . . . . . . . . . . 12 s mrClsSubMnd CMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
7875, 77mpbid 214 . . . . . . . . . . 11 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
7978sselda 3432 . . . . . . . . . 10 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
80 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11
8180, 72cntzi 16983 . . . . . . . . . 10 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
8279, 81sylan 474 . . . . . . . . 9 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
8380, 2, 66oppgplus 17000 . . . . . . . . 9
8482, 83syl6reqr 2504 . . . . . . . 8 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
8584anasss 653 . . . . . . 7 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
8632, 61, 69, 85seqfeq4 12262 . . . . . 6
872, 40oppgbas 17002 . . . . . . 7
88 eqid 2451 . . . . . . 7 Cntz Cntz
8939, 3syl 17 . . . . . . 7
905adantr 467 . . . . . . 7
912, 72oppgcntz 17015 . . . . . . . 8 Cntz
9271, 91syl6sseq 3478 . . . . . . 7 Cntz
93 suppssdm 6927 . . . . . . . . . . . . . . 15 supp
9422, 93syl6eqssr 3483 . . . . . . . . . . . . . 14
9594adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13
96 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . . . 15
9796biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . 14
9897adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
9995, 98sseqtr4d 3469 . . . . . . . . . . . 12
10099ex 436 . . . . . . . . . . 11
10152, 100syl 17 . . . . . . . . . 10
10214, 101mpcom 37 . . . . . . . . 9
103102adantr 467 . . . . . . . 8
10450, 103, 55syl2anc 667 . . . . . . 7
10523adantr 467 . . . . . . . . 9 supp
10618, 105mpbiri 237 . . . . . . . 8 supp
107 f1ofo 5821 . . . . . . . . . . 11
108 forn 5796 . . . . . . . . . . 11
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . 10
110109sseq2d 3460 . . . . . . . . 9 supp supp
111110ad2antll 735 . . . . . . . 8 supp supp
112106, 111mpbird 236 . . . . . . 7 supp
113 eqid 2451 . . . . . . 7 supp supp
11487, 7, 66, 88, 89, 90, 33, 92, 30, 104, 112, 113gsumval3 17541 . . . . . 6 g
11524adantr 467 . . . . . . . 8 supp
116115, 111mpbird 236 . . . . . . 7 supp
11740, 6, 80, 72, 39, 90, 33, 71, 30, 104, 116, 113gsumval3 17541 . . . . . 6 g
11886, 114, 1173eqtr4d 2495 . . . . 5 g g
119118expr 620 . . . 4 g g
120119exlimdv 1779 . . 3 g g
121120expimpd 608 . 2 g g
122 gsumzoppg.n . . . . 5 finSupp
123122fsuppimpd 7890 . . . 4 supp
12422, 123eqeltrrd 2530 . . 3
125 fz1f1o 13776 . . 3
126124, 125syl 17 . 2
12729, 121, 126mpjaod 383 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   wceq 1444  wex 1663   wcel 1887  cvv 3045   cdif 3401   wss 3404  c0 3731  csn 3968   class class class wbr 4402   cmpt 4461  ccnv 4833   cdm 4834   crn 4835  cima 4837   ccom 4838   wfn 5577  wf 5578  wf1 5579  wfo 5580  wf1o 5581  cfv 5582  (class class class)co 6290   supp csupp 6914  cfn 7569   finSupp cfsupp 7883  c1 9540  cn 10609  cuz 11159  cfz 11784   cseq 12213  chash 12515  cbs 15121   ↾s cress 15122   cplusg 15190  c0g 15338   g cgsu 15339  Moorecmre 15488  mrClscmrc 15489  ACScacs 15491  cmnd 16535  SubMndcsubmnd 16581  Cntzccntz 16969  oppgcoppg 16996  CMndccmn 17430 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-cntz 16971  df-oppg 16997  df-cmn 17432 This theorem is referenced by:  gsumzinv  17578
 Copyright terms: Public domain W3C validator