Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzoppg Structured version   Unicode version

Theorem gsumzoppg 16770
 Description: The opposite of a group sum is the same as the original. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzoppg.b
gsumzoppg.0
gsumzoppg.z Cntz
gsumzoppg.o oppg
gsumzoppg.g
gsumzoppg.a
gsumzoppg.f
gsumzoppg.c
gsumzoppg.n finSupp
Assertion
Ref Expression
gsumzoppg g g

Proof of Theorem gsumzoppg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzoppg.g . . . . . . . 8
2 gsumzoppg.o . . . . . . . . 9 oppg
32oppgmnd 16194 . . . . . . . 8
41, 3syl 16 . . . . . . 7
5 gsumzoppg.a . . . . . . 7
6 gsumzoppg.0 . . . . . . . . 9
72, 6oppgid 16196 . . . . . . . 8
87gsumz 15833 . . . . . . 7 g
94, 5, 8syl2anc 661 . . . . . 6 g
106gsumz 15833 . . . . . . 7 g
111, 5, 10syl2anc 661 . . . . . 6 g
129, 11eqtr4d 2511 . . . . 5 g g
1312adantr 465 . . . 4 g g
14 gsumzoppg.f . . . . . 6
15 fvex 5876 . . . . . . . 8
166, 15eqeltri 2551 . . . . . . 7
1716a1i 11 . . . . . 6
18 ssid 3523 . . . . . . . 8
1918a1i 11 . . . . . . 7
2014, 5jca 532 . . . . . . . . . . 11
21 fex 6133 . . . . . . . . . . 11
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . 10
2322, 17jca 532 . . . . . . . . 9
24 suppimacnv 6912 . . . . . . . . 9 supp
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8 supp
2625sseq1d 3531 . . . . . . 7 supp
2719, 26mpbird 232 . . . . . 6 supp
2814, 5, 17, 27gsumcllem 16715 . . . . 5
2928oveq2d 6300 . . . 4 g g
3028oveq2d 6300 . . . 4 g g
3113, 29, 303eqtr4d 2518 . . 3 g g
3231ex 434 . 2 g g
33 simprl 755 . . . . . . . 8
34 nnuz 11117 . . . . . . . 8
3533, 34syl6eleq 2565 . . . . . . 7
3614adantr 465 . . . . . . . . . . 11
37 ffn 5731 . . . . . . . . . . . 12
38 dffn4 5801 . . . . . . . . . . . 12
3937, 38sylib 196 . . . . . . . . . . 11
40 fof 5795 . . . . . . . . . . 11
4136, 39, 403syl 20 . . . . . . . . . 10
421adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
43 gsumzoppg.b . . . . . . . . . . . . 13
4443submacs 15815 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd ACS
45 acsmre 14907 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd ACS SubMnd Moore
4642, 44, 453syl 20 . . . . . . . . . . 11 SubMnd Moore
47 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
48 frn 5737 . . . . . . . . . . . 12
4936, 48syl 16 . . . . . . . . . . 11
5046, 47, 49mrcssidd 14880 . . . . . . . . . 10 mrClsSubMnd
51 fss 5739 . . . . . . . . . 10 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
5241, 50, 51syl2anc 661 . . . . . . . . 9 mrClsSubMnd
53 f1of1 5815 . . . . . . . . . . . 12
5453ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11
55 cnvimass 5357 . . . . . . . . . . . 12
56 fdm 5735 . . . . . . . . . . . . 13
5736, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5855, 57syl5sseq 3552 . . . . . . . . . . 11
59 f1ss 5786 . . . . . . . . . . 11
6054, 58, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
61 f1f 5781 . . . . . . . . . 10
6260, 61syl 16 . . . . . . . . 9
63 fco 5741 . . . . . . . . 9 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
6452, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . . 8 mrClsSubMnd
6564ffvelrnda 6021 . . . . . . 7 mrClsSubMnd
6647mrccl 14866 . . . . . . . . . 10 SubMnd Moore mrClsSubMnd SubMnd
6746, 49, 66syl2anc 661 . . . . . . . . 9 mrClsSubMnd SubMnd
682oppgsubm 16202 . . . . . . . . 9 SubMnd SubMnd
6967, 68syl6eleq 2565 . . . . . . . 8 mrClsSubMnd SubMnd
70 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
7170submcl 15803 . . . . . . . . 9 mrClsSubMnd SubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
72713expb 1197 . . . . . . . 8 mrClsSubMnd SubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
7369, 72sylan 471 . . . . . . 7 mrClsSubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
74 gsumzoppg.c . . . . . . . . . . . . . 14
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
76 gsumzoppg.z . . . . . . . . . . . . . 14 Cntz
77 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14 s mrClsSubMnd s mrClsSubMnd
7876, 47, 77cntzspan 16653 . . . . . . . . . . . . 13 s mrClsSubMnd CMnd
7942, 75, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12 s mrClsSubMnd CMnd
8077, 76submcmn2 16650 . . . . . . . . . . . . 13 mrClsSubMnd SubMnd s mrClsSubMnd CMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
8167, 80syl 16 . . . . . . . . . . . 12 s mrClsSubMnd CMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
8279, 81mpbid 210 . . . . . . . . . . 11 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
8382sselda 3504 . . . . . . . . . 10 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
84 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11
8584, 76cntzi 16172 . . . . . . . . . 10 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
8683, 85sylan 471 . . . . . . . . 9 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
8784, 2, 70oppgplus 16189 . . . . . . . . 9
8886, 87syl6reqr 2527 . . . . . . . 8 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
8988anasss 647 . . . . . . 7 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
9035, 65, 73, 89seqfeq4 12124 . . . . . 6
912, 43oppgbas 16191 . . . . . . 7
92 eqid 2467 . . . . . . 7 Cntz Cntz
9342, 3syl 16 . . . . . . 7
945adantr 465 . . . . . . 7
952, 76oppgcntz 16204 . . . . . . . 8 Cntz
9675, 95syl6sseq 3550 . . . . . . 7 Cntz
97 suppssdm 6914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 supp
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 supp
9925eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 supp
10099sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . 15 supp
10198, 100mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14
102101adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
103 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104103biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15
105104adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
106105sseq2d 3532 . . . . . . . . . . . . 13
107102, 106mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12
108107ex 434 . . . . . . . . . . 11
10956, 108syl 16 . . . . . . . . . 10
11014, 109mpcom 36 . . . . . . . . 9
111110adantr 465 . . . . . . . 8
11254, 111, 59syl2anc 661 . . . . . . 7
11318a1i 11 . . . . . . . . 9
11426adantr 465 . . . . . . . . 9 supp
115113, 114mpbird 232 . . . . . . . 8 supp
116 f1ofo 5823 . . . . . . . . . . 11
117 forn 5798 . . . . . . . . . . 11
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . 10
119118sseq2d 3532 . . . . . . . . 9 supp supp
120119ad2antll 728 . . . . . . . 8 supp supp
121115, 120mpbird 232 . . . . . . 7 supp
122 eqid 2467 . . . . . . 7 supp supp
12391, 7, 70, 92, 93, 94, 36, 96, 33, 112, 121, 122gsumval3 16714 . . . . . 6 g
12427adantr 465 . . . . . . . 8 supp
125124, 120mpbird 232 . . . . . . 7 supp
12643, 6, 84, 76, 42, 94, 36, 75, 33, 112, 125, 122gsumval3 16714 . . . . . 6 g
12790, 123, 1263eqtr4d 2518 . . . . 5 g g
128127expr 615 . . . 4 g g
129128exlimdv 1700 . . 3 g g
130129expimpd 603 . 2 g g
131 gsumzoppg.n . . . . 5 finSupp
132131fsuppimpd 7836 . . . 4 supp
13325eleq1d 2536 . . . . . 6 supp
134133biimpd 207 . . . . 5 supp
135134com12 31 . . . 4 supp
136132, 135mpcom 36 . . 3
137 fz1f1o 13495 . . 3
138136, 137syl 16 . 2
13932, 130, 138mpjaod 381 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   wceq 1379  wex 1596   wcel 1767  cvv 3113   cdif 3473   wss 3476  c0 3785  csn 4027   class class class wbr 4447   cmpt 4505  ccnv 4998   cdm 4999   crn 5000  cima 5002   ccom 5003   wfn 5583  wf 5584  wf1 5585  wfo 5586  wf1o 5587  cfv 5588  (class class class)co 6284   supp csupp 6901  cfn 7516   finSupp cfsupp 7829  c1 9493  cn 10536  cuz 11082  cfz 11672   cseq 12075  chash 12373  cbs 14490   ↾s cress 14491   cplusg 14555  c0g 14695   g cgsu 14696  Moorecmre 14837  mrClscmrc 14838  ACScacs 14840  cmnd 15726  SubMndcsubmnd 15785  Cntzccntz 16158  oppgcoppg 16185  CMndccmn 16604 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-cntz 16160  df-oppg 16186  df-cmn 16606 This theorem is referenced by:  gsumzinv  16772
 Copyright terms: Public domain W3C validator