Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzmhmOLD Structured version   Unicode version

Theorem gsumzmhmOLD 16937
 Description: Apply a group homomorphism to a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) Obsolete version of gsumzmhm 16936 as of 6-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzmhmOLD.b
gsumzmhmOLD.z Cntz
gsumzmhmOLD.g
gsumzmhmOLD.h
gsumzmhmOLD.a
gsumzmhmOLD.k MndHom
gsumzmhmOLD.f
gsumzmhmOLD.c
gsumzmhmOLD.0
gsumzmhmOLD.w
Assertion
Ref Expression
gsumzmhmOLD g g

Proof of Theorem gsumzmhmOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzmhmOLD.h . . . . . . 7
2 gsumzmhmOLD.a . . . . . . 7
3 eqid 2443 . . . . . . . 8
43gsumz 15984 . . . . . . 7 g
51, 2, 4syl2anc 661 . . . . . 6 g
65adantr 465 . . . . 5 g
7 gsumzmhmOLD.k . . . . . . 7 MndHom
8 gsumzmhmOLD.0 . . . . . . . 8
98, 3mhm0 15953 . . . . . . 7 MndHom
107, 9syl 16 . . . . . 6
1110adantr 465 . . . . 5
126, 11eqtr4d 2487 . . . 4 g
13 gsumzmhmOLD.g . . . . . . . . 9
14 gsumzmhmOLD.b . . . . . . . . . 10
1514, 8mndidcl 15917 . . . . . . . . 9
1613, 15syl 16 . . . . . . . 8
1716ad2antrr 725 . . . . . . 7
18 gsumzmhmOLD.f . . . . . . . 8
19 ssid 3508 . . . . . . . . 9
2019a1i 11 . . . . . . . 8
2118, 20gsumcllemOLD 16892 . . . . . . 7
22 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11
2314, 22mhmf 15950 . . . . . . . . . 10 MndHom
247, 23syl 16 . . . . . . . . 9
2524feqmptd 5911 . . . . . . . 8
2625adantr 465 . . . . . . 7
27 fveq2 5856 . . . . . . 7
2817, 21, 26, 27fmptco 6049 . . . . . 6
2910mpteq2dv 4524 . . . . . . 7
3029adantr 465 . . . . . 6
3128, 30eqtrd 2484 . . . . 5
3231oveq2d 6297 . . . 4 g g
3321oveq2d 6297 . . . . . 6 g g
348gsumz 15984 . . . . . . . 8 g
3513, 2, 34syl2anc 661 . . . . . . 7 g
3635adantr 465 . . . . . 6 g
3733, 36eqtrd 2484 . . . . 5 g
3837fveq2d 5860 . . . 4 g
3912, 32, 383eqtr4d 2494 . . 3 g g
4039ex 434 . 2 g g
4113adantr 465 . . . . . . . 8
42 eqid 2443 . . . . . . . . . 10
4314, 42mndcl 15908 . . . . . . . . 9
44433expb 1198 . . . . . . . 8
4541, 44sylan 471 . . . . . . 7
4618adantr 465 . . . . . . . . 9
47 f1of1 5805 . . . . . . . . . . . 12
4847ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11
49 cnvimass 5347 . . . . . . . . . . . 12
50 fdm 5725 . . . . . . . . . . . . 13
5146, 50syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5249, 51syl5sseq 3537 . . . . . . . . . . 11
53 f1ss 5776 . . . . . . . . . . 11
5448, 52, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
55 f1f 5771 . . . . . . . . . 10
5654, 55syl 16 . . . . . . . . 9
57 fco 5731 . . . . . . . . 9
5846, 56, 57syl2anc 661 . . . . . . . 8
5958ffvelrnda 6016 . . . . . . 7
60 simprl 756 . . . . . . . 8
61 nnuz 11127 . . . . . . . 8
6260, 61syl6eleq 2541 . . . . . . 7
637adantr 465 . . . . . . . 8 MndHom
64 eqid 2443 . . . . . . . . . 10
6514, 42, 64mhmlin 15952 . . . . . . . . 9 MndHom
66653expb 1198 . . . . . . . 8 MndHom
6763, 66sylan 471 . . . . . . 7
68 coass 5516 . . . . . . . . 9
6968fveq1i 5857 . . . . . . . 8
70 fvco3 5935 . . . . . . . . 9
7158, 70sylan 471 . . . . . . . 8
7269, 71syl5req 2497 . . . . . . 7
7345, 59, 62, 67, 72seqhomo 12136 . . . . . 6
74 gsumzmhmOLD.z . . . . . . . 8 Cntz
752adantr 465 . . . . . . . 8
76 gsumzmhmOLD.c . . . . . . . . 9
7776adantr 465 . . . . . . . 8
7819a1i 11 . . . . . . . . 9
79 f1ofo 5813 . . . . . . . . . . 11
80 forn 5788 . . . . . . . . . . 11
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . 10
8281ad2antll 728 . . . . . . . . 9
8378, 82sseqtr4d 3526 . . . . . . . 8
84 eqid 2443 . . . . . . . 8
8514, 8, 42, 74, 41, 75, 46, 77, 60, 54, 83, 84gsumval3OLD 16887 . . . . . . 7 g
8685fveq2d 5860 . . . . . 6 g
87 eqid 2443 . . . . . . 7 Cntz Cntz
881adantr 465 . . . . . . 7
8924adantr 465 . . . . . . . 8
90 fco 5731 . . . . . . . 8
9189, 46, 90syl2anc 661 . . . . . . 7
9274, 87cntzmhm2 16356 . . . . . . . . 9 MndHom Cntz
9363, 77, 92syl2anc 661 . . . . . . . 8 Cntz
94 rnco2 5504 . . . . . . . 8
9594fveq2i 5859 . . . . . . . 8 Cntz Cntz
9693, 94, 953sstr4g 3530 . . . . . . 7 Cntz
97 eldifi 3611 . . . . . . . . . . 11
98 fvco3 5935 . . . . . . . . . . 11
9946, 97, 98syl2an 477 . . . . . . . . . 10
10046, 78suppssrOLD 6006 . . . . . . . . . . 11
101100fveq2d 5860 . . . . . . . . . 10
10210ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
10399, 101, 1023eqtrd 2488 . . . . . . . . 9
10491, 103suppssOLD 6005 . . . . . . . 8
105104, 82sseqtr4d 3526 . . . . . . 7
106 eqid 2443 . . . . . . 7
10722, 3, 64, 87, 88, 75, 91, 96, 60, 54, 105, 106gsumval3OLD 16887 . . . . . 6 g
10873, 86, 1073eqtr4rd 2495 . . . . 5 g g
109108expr 615 . . . 4 g g
110109exlimdv 1711 . . 3 g g
111110expimpd 603 . 2 g g
112 gsumzmhmOLD.w . . 3
113 fz1f1o 13514 . . 3
114112, 113syl 16 . 2
11540, 111, 114mpjaod 381 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 368   wa 369   wceq 1383  wex 1599   wcel 1804  cvv 3095   cdif 3458   wss 3461  c0 3770  csn 4014   cmpt 4495  ccnv 4988   cdm 4989   crn 4990  cima 4992   ccom 4993  wf 5574  wf1 5575  wfo 5576  wf1o 5577  cfv 5578  (class class class)co 6281  cfn 7518  c1 9496  cn 10543  cuz 11092  cfz 11683   cseq 12089  chash 12387  cbs 14614   cplusg 14679  c0g 14819   g cgsu 14820  cmnd 15898   MndHom cmhm 15943  Cntzccntz 16332 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-hash 12388  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-mhm 15945  df-cntz 16334 This theorem is referenced by:  gsummhmOLD  16939  gsumzinvOLD  16949
 Copyright terms: Public domain W3C validator