Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzmhm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem gsumzmhm 17648
 Description: Apply a group homomorphism to a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzmhm.b
gsumzmhm.z Cntz
gsumzmhm.g
gsumzmhm.h
gsumzmhm.a
gsumzmhm.k MndHom
gsumzmhm.f
gsumzmhm.c
gsumzmhm.0
gsumzmhm.w finSupp
Assertion
Ref Expression
gsumzmhm g g

Proof of Theorem gsumzmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzmhm.h . . . . . . 7
2 gsumzmhm.a . . . . . . 7
3 eqid 2471 . . . . . . . 8
43gsumz 16699 . . . . . . 7 g
51, 2, 4syl2anc 673 . . . . . 6 g
65adantr 472 . . . . 5 g
7 gsumzmhm.k . . . . . . 7 MndHom
8 gsumzmhm.0 . . . . . . . 8
98, 3mhm0 16668 . . . . . . 7 MndHom
107, 9syl 17 . . . . . 6
1110adantr 472 . . . . 5
126, 11eqtr4d 2508 . . . 4 g
13 gsumzmhm.g . . . . . . . . 9
14 gsumzmhm.b . . . . . . . . . 10
1514, 8mndidcl 16632 . . . . . . . . 9
1613, 15syl 17 . . . . . . . 8
1716ad2antrr 740 . . . . . . 7
18 gsumzmhm.f . . . . . . . 8
19 fvex 5889 . . . . . . . . . 10
208, 19eqeltri 2545 . . . . . . . . 9
2120a1i 11 . . . . . . . 8
22 fex 6155 . . . . . . . . . . 11
2318, 2, 22syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
24 suppimacnv 6944 . . . . . . . . . 10 supp
2523, 21, 24syl2anc 673 . . . . . . . . 9 supp
26 ssid 3437 . . . . . . . . 9
2725, 26syl6eqss 3468 . . . . . . . 8 supp
2818, 2, 21, 27gsumcllem 17620 . . . . . . 7
29 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
3014, 29mhmf 16665 . . . . . . . . . 10 MndHom
317, 30syl 17 . . . . . . . . 9
3231feqmptd 5932 . . . . . . . 8
3332adantr 472 . . . . . . 7
34 fveq2 5879 . . . . . . 7
3517, 28, 33, 34fmptco 6072 . . . . . 6
3610mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
3736adantr 472 . . . . . 6
3835, 37eqtrd 2505 . . . . 5
3938oveq2d 6324 . . . 4 g g
4028oveq2d 6324 . . . . . 6 g g
418gsumz 16699 . . . . . . . 8 g
4213, 2, 41syl2anc 673 . . . . . . 7 g
4342adantr 472 . . . . . 6 g
4440, 43eqtrd 2505 . . . . 5 g
4544fveq2d 5883 . . . 4 g
4612, 39, 453eqtr4d 2515 . . 3 g g
4746ex 441 . 2 g g
4813adantr 472 . . . . . . . 8
49 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
5014, 49mndcl 16623 . . . . . . . . 9
51503expb 1232 . . . . . . . 8
5248, 51sylan 479 . . . . . . 7
5318adantr 472 . . . . . . . . 9
54 f1of1 5827 . . . . . . . . . . . 12
5554ad2antll 743 . . . . . . . . . . 11
56 cnvimass 5194 . . . . . . . . . . . 12
57 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . 13
5853, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12
5956, 58syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . 11
60 f1ss 5797 . . . . . . . . . . 11
6155, 59, 60syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
62 f1f 5792 . . . . . . . . . 10
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9
64 fco 5751 . . . . . . . . 9
6553, 63, 64syl2anc 673 . . . . . . . 8
6665ffvelrnda 6037 . . . . . . 7
67 simprl 772 . . . . . . . 8
68 nnuz 11218 . . . . . . . 8
6967, 68syl6eleq 2559 . . . . . . 7
707adantr 472 . . . . . . . 8 MndHom
71 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
7214, 49, 71mhmlin 16667 . . . . . . . . 9 MndHom
73723expb 1232 . . . . . . . 8 MndHom
7470, 73sylan 479 . . . . . . 7
75 coass 5361 . . . . . . . . 9
7675fveq1i 5880 . . . . . . . 8
77 fvco3 5957 . . . . . . . . 9
7865, 77sylan 479 . . . . . . . 8
7976, 78syl5req 2518 . . . . . . 7
8052, 66, 69, 74, 79seqhomo 12298 . . . . . 6
81 gsumzmhm.z . . . . . . . 8 Cntz
822adantr 472 . . . . . . . 8
83 gsumzmhm.c . . . . . . . . 9
8483adantr 472 . . . . . . . 8
8527adantr 472 . . . . . . . . 9 supp
86 f1ofo 5835 . . . . . . . . . . 11
87 forn 5809 . . . . . . . . . . 11
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . 10
8988ad2antll 743 . . . . . . . . 9
9085, 89sseqtr4d 3455 . . . . . . . 8 supp
91 eqid 2471 . . . . . . . 8 supp supp
9214, 8, 49, 81, 48, 82, 53, 84, 67, 61, 90, 91gsumval3 17619 . . . . . . 7 g
9392fveq2d 5883 . . . . . 6 g
94 eqid 2471 . . . . . . 7 Cntz Cntz
951adantr 472 . . . . . . 7
9631adantr 472 . . . . . . . 8
97 fco 5751 . . . . . . . 8
9896, 53, 97syl2anc 673 . . . . . . 7
9981, 94cntzmhm2 17071 . . . . . . . . 9 MndHom Cntz
10070, 84, 99syl2anc 673 . . . . . . . 8 Cntz
101 rnco2 5349 . . . . . . . 8
102101fveq2i 5882 . . . . . . . 8 Cntz Cntz
103100, 101, 1023sstr4g 3459 . . . . . . 7 Cntz
104 eldifi 3544 . . . . . . . . . . 11
105 fvco3 5957 . . . . . . . . . . 11
10653, 104, 105syl2an 485 . . . . . . . . . 10
10720a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
10853, 85, 82, 107suppssr 6965 . . . . . . . . . . 11
109108fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
11010ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
111106, 109, 1103eqtrd 2509 . . . . . . . . 9
11298, 111suppss 6964 . . . . . . . 8 supp
113112, 89sseqtr4d 3455 . . . . . . 7 supp
114 eqid 2471 . . . . . . 7 supp supp
11529, 3, 71, 94, 95, 82, 98, 103, 67, 61, 113, 114gsumval3 17619 . . . . . 6 g
11680, 93, 1153eqtr4rd 2516 . . . . 5 g g
117116expr 626 . . . 4 g g
118117exlimdv 1787 . . 3 g g
119118expimpd 614 . 2 g g
120 gsumzmhm.w . . . . 5 finSupp
121120fsuppimpd 7908 . . . 4 supp
12225, 121eqeltrrd 2550 . . 3
123 fz1f1o 13853 . . 3
124122, 123syl 17 . 2
12547, 119, 124mpjaod 388 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 375   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  cvv 3031   cdif 3387   wss 3390  c0 3722  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840  cima 4842   ccom 4843  wf 5585  wf1 5586  wfo 5587  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308   supp csupp 6933  cfn 7587   finSupp cfsupp 7901  c1 9558  cn 10631  cuz 11182  cfz 11810   cseq 12251  chash 12553  cbs 15199   cplusg 15268  c0g 15416   g cgsu 15417  cmnd 16613   MndHom cmhm 16658  Cntzccntz 17047 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-cntz 17049 This theorem is referenced by:  gsummhm  17649  gsumzinv  17656
 Copyright terms: Public domain W3C validator