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Theorem gsumzaddlemOLD 16403
Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) Obsolete version of gsumzaddlem 16401 as of 5-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzaddOLD.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumzaddOLD.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumzaddOLD.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumzaddOLD.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
gsumzaddOLD.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
gsumzaddOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumzaddOLD.fn  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
gsumzaddOLD.hn  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
gsumzaddlemOLD.w  |-  W  =  ( `' ( F  u.  H ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
gsumzaddlemOLD.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumzaddlemOLD.h  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
gsumzaddlemOLD.1  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
gsumzaddlemOLD.2  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  ( Z `  ran  H ) )
gsumzaddlemOLD.3  |-  ( ph  ->  ran  ( F  oF  .+  H )  C_  ( Z `  ran  ( F  oF  .+  H
) ) )
gsumzaddlemOLD.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  k  e.  ( A  \  x
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )
Assertion
Ref Expression
gsumzaddlemOLD  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,  .+    .0. , k, x    k, F, x    k, G, x    A, k, x    B, k, x    k, H, x    ph, k, x    x, V   
k, W, x    k, Z, x
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem gsumzaddlemOLD
Dummy variables  f  n  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzaddOLD.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
2 gsumzaddOLD.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 gsumzaddOLD.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
42, 3mndidcl 15435 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
51, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .0.  e.  B )
6 gsumzaddOLD.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  G )
72, 6, 3mndlid 15437 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  .0.  e.  B )  -> 
(  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
81, 5, 7syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
98adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
10 gsumzaddlemOLD.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
11 ssun1 3516 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
12 gsumzaddlemOLD.w . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  ( `' ( F  u.  H ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
13 cnvun 5239 . . . . . . . . . . . 12  |-  `' ( F  u.  H )  =  ( `' F  u.  `' H )
1413imaeq1i 5163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( F  u.  H
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( ( `' F  u.  `' H ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )
15 imaundir 5247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F  u.  `' H ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
1612, 14, 153eqtri 2465 . . . . . . . . . 10  |-  W  =  ( ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
1711, 16sseqtr4i 3386 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  W
1817a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  W )
1910, 18gsumcllemOLD 16380 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )
2019oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) ) )
21 gsumzaddOLD.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
223gsumz 15504 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
231, 21, 22syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
2423adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
2520, 24eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  .0.  )
26 gsumzaddlemOLD.h . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
27 ssun2 3517 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' H " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
2827, 16sseqtr4i 3386 . . . . . . . . 9  |-  ( `' H " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  W
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  W )
3026, 29gsumcllemOLD 16380 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  H  =  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )
3130oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  H )  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) ) )
3231, 24eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  H )  =  .0.  )
3325, 32oveq12d 6108 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( G  gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) )  =  (  .0.  .+  .0.  ) )
3421adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  A  e.  V )
355ad2antrr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  .0.  e.  B )
3634, 35, 35, 19, 30offval2 6335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( F  oF  .+  H )  =  ( x  e.  A  |->  (  .0.  .+  .0.  ) ) )
379mpteq2dv 4376 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( x  e.  A  |->  (  .0.  .+  .0.  ) )  =  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )
3836, 37eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( F  oF  .+  H )  =  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )
3938oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) ) )
4039, 24eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  .0.  )
419, 33, 403eqtr4rd 2484 . . 3  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) )
4241ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( W  =  (/)  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
431adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  G  e.  Mnd )
442, 6mndcl 15416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  z  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  ( z  .+  w
)  e.  B )
45443expb 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
z  .+  w )  e.  B )
4643, 45sylan 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
z  .+  w )  e.  B )
4746caovclg 6254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
48 simprl 750 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( # `
 W )  e.  NN )
49 nnuz 10892 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5048, 49syl6eleq 2531 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( # `
 W )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
5110adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  F : A --> B )
52 f1of1 5637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  f :
( 1 ... ( # `
 W ) )
-1-1-> W )
5352ad2antll 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> W )
54 cnvimass 5186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  dom  F
55 fdm 5560 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
5610, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
5754, 56syl5sseq 3401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A )
58 cnvimass 5186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' H " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  dom  H
59 fdm 5560 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H : A --> B  ->  dom  H  =  A )
6026, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  H  =  A )
6158, 60syl5sseq 3401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A )
6257, 61unssd 3529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) 
C_  A )
6316, 62syl5eqss 3397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  C_  A )
6463adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  W  C_  A )
65 f1ss 5608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> W  /\  W  C_  A )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A )
6653, 64, 65syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A )
67 f1f 5603 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A  -> 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )
69 fco 5565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> B  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  W ) ) --> B )
7051, 68, 69syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> B )
7170ffvelrnda 5840 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  B )
7226adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  H : A --> B )
73 fco 5565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A --> B  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )  ->  ( H  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  W ) ) --> B )
7472, 68, 73syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( H  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> B )
7574ffvelrnda 5840 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  k
)  e.  B )
76 ffn 5556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
7751, 76syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  F  Fn  A )
78 ffn 5556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  ->  H  Fn  A )
7972, 78syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  H  Fn  A )
8021adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  A  e.  V )
81 ovex 6115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... ( # `  W
) )  e.  _V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
1 ... ( # `  W
) )  e.  _V )
83 inidm 3556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  A )  =  A
8477, 79, 68, 80, 80, 82, 83ofco 6339 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
( F  oF  .+  H )  o.  f )  =  ( ( F  o.  f
)  oF  .+  ( H  o.  f
) ) )
8584fveq1d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
( ( F  oF  .+  H )  o.  f ) `  k
)  =  ( ( ( F  o.  f
)  oF  .+  ( H  o.  f
) ) `  k
) )
8685adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( F  oF  .+  H
)  o.  f ) `
 k )  =  ( ( ( F  o.  f )  oF  .+  ( H  o.  f ) ) `
 k ) )
87 fnfco 5574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )  ->  ( F  o.  f )  Fn  (
1 ... ( # `  W
) ) )
8877, 68, 87syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( F  o.  f )  Fn  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
89 fnfco 5574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Fn  A  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )  ->  ( H  o.  f )  Fn  (
1 ... ( # `  W
) ) )
9079, 68, 89syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( H  o.  f )  Fn  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
91 inidm 3556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... ( # `  W ) )  i^i  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  =  ( 1 ... ( # `  W
) )
92 eqidd 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  k
)  =  ( ( F  o.  f ) `
 k ) )
93 eqidd 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  k
)  =  ( ( H  o.  f ) `
 k ) )
9488, 90, 82, 82, 91, 92, 93ofval 6328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( F  o.  f )  oF  .+  ( H  o.  f ) ) `
 k )  =  ( ( ( F  o.  f ) `  k )  .+  (
( H  o.  f
) `  k )
) )
9586, 94eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( F  oF  .+  H
)  o.  f ) `
 k )  =  ( ( ( F  o.  f ) `  k )  .+  (
( H  o.  f
) `  k )
) )
961ad2antrr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  G  e.  Mnd )
97 elfzouz 11553 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9897adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
99 elfzouz2 11562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= `  n ) )
10099adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  W )  e.  ( ZZ>= `  n
) )
101 fzss2 11494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  W )  e.  ( ZZ>= `  n )  ->  ( 1 ... n
)  C_  ( 1 ... ( # `  W
) ) )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( 1 ... n
)  C_  ( 1 ... ( # `  W
) ) )
103102sselda 3353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  ( 1 ... ( # `  W ) ) )
10471adantlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  B )
105103, 104syldan 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  k )  e.  B
)
1062, 6mndcl 15416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  k  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( k  .+  x
)  e.  B )
1071063expb 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( k  e.  B  /\  x  e.  B
) )  ->  (
k  .+  x )  e.  B )
10896, 107sylan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( k  e.  B  /\  x  e.  B
) )  ->  (
k  .+  x )  e.  B )
10998, 105, 108seqcl 11822 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
(  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  n )  e.  B
)
11075adantlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  k
)  e.  B )
111103, 110syldan 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( H  o.  f ) `  k )  e.  B
)
11298, 111, 108seqcl 11822 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
(  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n )  e.  B
)
113 fzofzp1 11620 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
114 ffvelrn 5838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> B  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  B )
11570, 113, 114syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  B )
116 ffvelrn 5838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> B  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  B )
11774, 113, 116syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  B )
118 fvco3 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( F `
 ( f `  ( n  +  1
) ) ) )
11968, 113, 118syl2an 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( F `
 ( f `  ( n  +  1
) ) ) )
120 ffvelrn 5838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( f `  (
n  +  1 ) )  e.  A )
12168, 113, 120syl2an 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f `  (
n  +  1 ) )  e.  A )
122 fzp1disj 11511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... n )  i^i  { ( n  +  1 ) } )  =  (/)
123 disjsn 3933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... n
)  i^i  { (
n  +  1 ) } )  =  (/)  <->  -.  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... n ) )
124122, 123mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
n  +  1 )  e.  ( 1 ... n )
12566adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A )
126113adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )
127 f1elima 5973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) )  /\  (
1 ... n )  C_  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( (
f `  ( n  +  1 ) )  e.  ( f "
( 1 ... n
) )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... n
) ) )
128125, 126, 102, 127syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( f `  ( n  +  1
) )  e.  ( f " ( 1 ... n ) )  <-> 
( n  +  1 )  e.  ( 1 ... n ) ) )
129124, 128mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  -.  ( f `  (
n  +  1 ) )  e.  ( f
" ( 1 ... n ) ) )
130121, 129eldifd 3336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f `  (
n  +  1 ) )  e.  ( A 
\  ( f "
( 1 ... n
) ) ) )
131 gsumzaddlemOLD.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  k  e.  ( A  \  x
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )
132131expr 612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  C_  A
)  ->  ( k  e.  ( A  \  x
)  ->  ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) ) )
133132ralrimiv 2796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  C_  A
)  ->  A. k  e.  ( A  \  x
) ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) )
134133ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  x ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) ) )
135134alrimiv 1690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x ( x 
C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  x
) ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) ) )
136135ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  A. x ( x  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  x ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) ) )
137 imassrn 5177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f
" ( 1 ... n ) )  C_  ran  f
13868adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )
139 frn 5562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A  ->  ran  f  C_  A )
140138, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  ran  f  C_  A )
141137, 140syl5ss 3364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f " (
1 ... n ) ) 
C_  A )
142 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  f  e. 
_V
143 imaexg 6514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " ( 1 ... n ) )  e.  _V )
144142, 143ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f
" ( 1 ... n ) )  e. 
_V
145 sseq1 3374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  (
x  C_  A  <->  ( f " ( 1 ... n ) )  C_  A ) )
146 difeq2 3465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  (
f " ( 1 ... n ) ) ) )
147 reseq2 5101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  ( H  |`  x )  =  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) )
148147oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  ( G  gsumg  ( H  |`  x
) )  =  ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) )
149148sneqd 3886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  { ( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) }  =  { ( G  gsumg  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) } )
150149fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } )  =  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) } ) )
151150eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  (
( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } )  <->  ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
152146, 151raleqbidv 2929 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  ( A. k  e.  ( A  \  x ) ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } )  <->  A. k  e.  ( A  \  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
153145, 152imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  (
( x  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  x ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )  <-> 
( ( f "
( 1 ... n
) )  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) ) )
154144, 153spcv 3060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  x ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )  ->  ( ( f
" ( 1 ... n ) )  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
155136, 141, 154sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  A. k  e.  ( A  \  ( f "
( 1 ... n
) ) ) ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) } ) )
156 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  ( n  +  1
) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( f `  (
n  +  1 ) ) ) )
157156eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  ( n  +  1
) )  ->  (
( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } )  <->  ( F `  ( f `  (
n  +  1 ) ) )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
158157rspcv 3066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  ( n  +  1 ) )  e.  ( A  \ 
( f " (
1 ... n ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( A  \  ( f " (
1 ... n ) ) ) ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } )  ->  ( F `  ( f `  (
n  +  1 ) ) )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
159130, 155, 158sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( F `  (
f `  ( n  +  1 ) ) )  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } ) )
160119, 159eqeltrd 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } ) )
161 gsumzaddOLD.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  (Cntz `  G )
162144a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f " (
1 ... n ) )  e.  _V )
16326ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  H : A --> B )
164 fssres 5575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H : A --> B  /\  ( f " (
1 ... n ) ) 
C_  A )  -> 
( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) : ( f
" ( 1 ... n ) ) --> B )
165163, 141, 164syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) : ( f
" ( 1 ... n ) ) --> B )
166 gsumzaddlemOLD.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  ( Z `  ran  H ) )
167166ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  ran  H  C_  ( Z `  ran  H ) )
168 resss 5131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  C_  H
169 rnss 5064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) ) 
C_  H  ->  ran  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) 
C_  ran  H )
170168, 169ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  ( H  |`  ( f "
( 1 ... n
) ) )  C_  ran  H
171161cntzidss 15848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  H  C_  ( Z `  ran  H )  /\  ran  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  C_  ran  H )  ->  ran  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  C_  ( Z `  ran  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) )
172167, 170, 171sylancl 657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  ran  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) )  C_  ( Z `  ran  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) )
17398, 49syl6eleqr 2532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  n  e.  NN )
174 f1ores 5652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A  /\  ( 1 ... n
)  C_  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( f  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( f " (
1 ... n ) ) )
175125, 102, 174syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( f " (
1 ... n ) ) )
176 f1of1 5637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  |`  ( 1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( f " (
1 ... n ) )  ->  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) : ( 1 ... n )
-1-1-> ( f " (
1 ... n ) ) )
177175, 176syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-> ( f
" ( 1 ... n ) ) )
178 cnvimass 5186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  dom  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) )
179 dmres 5128 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  ( H  |`  ( f "
( 1 ... n
) ) )  =  ( ( f "
( 1 ... n
) )  i^i  dom  H )
180178, 179sseqtri 3385 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (
( f " (
1 ... n ) )  i^i  dom  H )
181 inss1 3567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f " ( 1 ... n ) )  i^i  dom  H )  C_  ( f " (
1 ... n ) )
182 df-ima 4849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f
" ( 1 ... n ) )  =  ran  ( f  |`  ( 1 ... n
) )
183181, 182sseqtri 3385 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f " ( 1 ... n ) )  i^i  dom  H )  C_ 
ran  ( f  |`  ( 1 ... n
) )
184180, 183sstri 3362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ran  ( f  |`  (
1 ... n ) )
185184a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( `' ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ran  ( f  |`  (
1 ... n ) ) )
186 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  =  ( `' ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
1872, 3, 6, 161, 96, 162, 165, 172, 173, 177, 185, 186gsumval3OLD 16375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) ) `
 n ) )
188182eqimss2i 3408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  (
f  |`  ( 1 ... n ) )  C_  ( f " (
1 ... n ) )
189 cores 5338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ran  ( f  |`  (
1 ... n ) ) 
C_  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  (
( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) )  =  ( H  o.  (
f  |`  ( 1 ... n ) ) ) )
190188, 189ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) )  =  ( H  o.  (
f  |`  ( 1 ... n ) ) )
191 resco 5339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( H  o.  f )  |`  ( 1 ... n
) )  =  ( H  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) )
192190, 191eqtr4i 2464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) )  =  ( ( H  o.  f )  |`  (
1 ... n ) )
193192fveq1i 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) `  k )  =  ( ( ( H  o.  f )  |`  (
1 ... n ) ) `
 k )
194 fvres 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( H  o.  f )  |`  (
1 ... n ) ) `
 k )  =  ( ( H  o.  f ) `  k
) )
195193, 194syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) `  k )  =  ( ( H  o.  f
) `  k )
)
196195adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) `  k )  =  ( ( H  o.  f
) `  k )
)
19798, 196seqfveq 11826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
(  seq 1 (  .+  ,  ( ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) ) `
 n )  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( H  o.  f ) ) `
 n ) )
198187, 197eqtr2d 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
(  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n )  =  ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) )
199 fvex 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  n
)  e.  _V
200199elsnc 3898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n )  e.  {
( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) }  <->  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  n
)  =  ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) )
201198, 200sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
(  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n )  e.  {
( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } )
2026, 161cntzi 15840 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } )  /\  (  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n )  e.  {
( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } )  ->  ( ( ( F  o.  f ) `
 ( n  + 
1 ) )  .+  (  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n ) )  =  ( (  seq 1
(  .+  ,  ( H  o.  f )
) `  n )  .+  ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
203160, 201, 202syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( F  o.  f ) `  ( n  +  1
) )  .+  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  n
) )  =  ( (  seq 1 ( 
.+  ,  ( H  o.  f ) ) `
 n )  .+  ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
204203eqcomd 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( (  seq 1
(  .+  ,  ( H  o.  f )
) `  n )  .+  ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  .+  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  n
) ) )
2052, 6, 96, 109, 112, 115, 117, 204mnd4g 15422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  n
)  .+  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  n
) )  .+  (
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( ( H  o.  f ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 n )  .+  ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) ) )  .+  (
(  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n )  .+  (
( H  o.  f
) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
20647, 47, 50, 71, 75, 95, 205seqcaopr3 11837 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (  seq 1 (  .+  , 
( ( F  oF  .+  H )  o.  f ) ) `  ( # `  W ) )  =  ( (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) )  .+  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
20746, 51, 72, 80, 80, 83off 6333 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( F  oF  .+  H
) : A --> B )
208 gsumzaddlemOLD.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( F  oF  .+  H )  C_  ( Z `  ran  ( F  oF  .+  H
) ) )
209208adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  ( F  oF  .+  H )  C_  ( Z `  ran  ( F  oF  .+  H
) ) )
210 eldifi 3475 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  \  ran  f )  ->  x  e.  A )
211 eqidd 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  =  ( F `
 x ) )
212 eqidd 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x
)  =  ( H `
 x ) )
21377, 79, 80, 80, 83, 211, 212ofval 6328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F  oF  .+  H ) `  x )  =  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) )
214210, 213sylan2 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  ( ( F  oF  .+  H
) `  x )  =  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) )
215 f1ofo 5645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  f :
( 1 ... ( # `
 W ) )
-onto-> W )
216 forn 5620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -onto-> W  ->  ran  f  =  W
)
217215, 216syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  ran  f  =  W )
218217ad2antll 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  f  =  W )
21917, 218syl5sseqr 3402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ran  f )
22051, 219suppssrOLD 5834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  ( F `  x )  =  .0.  )
22128, 218syl5sseqr 3402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( `' H " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ran  f )
22272, 221suppssrOLD 5834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  ( H `  x )  =  .0.  )
223220, 222oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) )  =  (  .0.  .+  .0.  ) )
2248ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
225214, 223, 2243eqtrd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  ( ( F  oF  .+  H
) `  x )  =  .0.  )
226207, 225suppssOLD 5833 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( `' ( F  oF  .+  H ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ran  f )
227 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( `' ( ( F  oF  .+  H )  o.  f ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( ( F  oF  .+  H
)  o.  f )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )
2282, 3, 6, 161, 43, 80, 207, 209, 48, 66, 226, 227gsumval3OLD 16375 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  (  seq 1
(  .+  ,  (
( F  oF  .+  H )  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )
229 gsumzaddlemOLD.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
230229adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  F 
C_  ( Z `  ran  F ) )
231 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( F  o.  f
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( F  o.  f ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )
2322, 3, 6, 161, 43, 80, 51, 230, 48, 66, 219, 231gsumval3OLD 16375 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )
233166adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  H 
C_  ( Z `  ran  H ) )
234 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( H  o.  f
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( H  o.  f ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )
2352, 3, 6, 161, 43, 80, 72, 233, 48, 66, 221, 234gsumval3OLD 16375 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( G  gsumg  H )  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )
236232, 235oveq12d 6108 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
( G  gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) )  =  ( (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  f )
) `  ( # `  W
) )  .+  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
237206, 228, 2363eqtr4d 2483 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
238237expr 612 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H
) )  =  ( ( G  gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
239238exlimdv 1695 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
240239expimpd 600 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  W )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
241 gsumzaddOLD.fn . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
242 gsumzaddOLD.hn . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
243 unfi 7575 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' H " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )  -> 
( ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin )
244241, 242, 243syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin )
24516, 244syl5eqel 2525 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
246 fz1f1o 13183 . . 3  |-  ( W  e.  Fin  ->  ( W  =  (/)  \/  (
( # `  W )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
247245, 246syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( W  =  (/)  \/  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
24842, 240, 247mpjaod 381 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369   A.wal 1362    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   ran crn 4837    |` cres 4838   "cima 4839    o. ccom 4840    Fn wfn 5410   -->wf 5411   -1-1->wf1 5412   -onto->wfo 5413   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    oFcof 6317   Fincfn 7306   1c1 9279    + caddc 9281   NNcn 10318   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433  ..^cfzo 11544    seqcseq 11802   #chash 12099   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   0gc0g 14374    gsumg cgsu 14375   Mndcmnd 15405  Cntzccntz 15826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mnd 15411  df-cntz 15828
This theorem is referenced by:  gsumzaddOLD  16404  dprdfaddOLD  16507
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