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Theorem gsumzaddlemOLD 17135
Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) Obsolete version of gsumzaddlem 17133 as of 5-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzaddOLD.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumzaddOLD.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumzaddOLD.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumzaddOLD.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
gsumzaddOLD.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
gsumzaddOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumzaddOLD.fn  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
gsumzaddOLD.hn  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
gsumzaddlemOLD.w  |-  W  =  ( `' ( F  u.  H ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
gsumzaddlemOLD.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumzaddlemOLD.h  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
gsumzaddlemOLD.1  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
gsumzaddlemOLD.2  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  ( Z `  ran  H ) )
gsumzaddlemOLD.3  |-  ( ph  ->  ran  ( F  oF  .+  H )  C_  ( Z `  ran  ( F  oF  .+  H
) ) )
gsumzaddlemOLD.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  k  e.  ( A  \  x
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )
Assertion
Ref Expression
gsumzaddlemOLD  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,  .+    .0. , k, x    k, F, x    k, G, x    A, k, x    B, k, x    k, H, x    ph, k, x    x, V   
k, W, x    k, Z, x
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem gsumzaddlemOLD
Dummy variables  f  n  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzaddOLD.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
2 gsumzaddOLD.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 gsumzaddOLD.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
42, 3mndidcl 16137 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
51, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .0.  e.  B )
6 gsumzaddOLD.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  G )
72, 6, 3mndlid 16140 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  .0.  e.  B )  -> 
(  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
81, 5, 7syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
98adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
10 gsumzaddlemOLD.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
11 ssun1 3653 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
12 gsumzaddlemOLD.w . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  ( `' ( F  u.  H ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
13 cnvun 5396 . . . . . . . . . . . 12  |-  `' ( F  u.  H )  =  ( `' F  u.  `' H )
1413imaeq1i 5322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( F  u.  H
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( ( `' F  u.  `' H ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )
15 imaundir 5404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F  u.  `' H ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
1612, 14, 153eqtri 2487 . . . . . . . . . 10  |-  W  =  ( ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
1711, 16sseqtr4i 3522 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  W
1817a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  W )
1910, 18gsumcllemOLD 17112 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )
2019oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) ) )
21 gsumzaddOLD.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
223gsumz 16204 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
231, 21, 22syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
2423adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
2520, 24eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  .0.  )
26 gsumzaddlemOLD.h . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
27 ssun2 3654 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' H " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
2827, 16sseqtr4i 3522 . . . . . . . . 9  |-  ( `' H " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  W
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  W )
3026, 29gsumcllemOLD 17112 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  H  =  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )
3130oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  H )  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) ) )
3231, 24eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  H )  =  .0.  )
3325, 32oveq12d 6288 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( G  gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) )  =  (  .0.  .+  .0.  ) )
3421adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  A  e.  V )
355ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  .0.  e.  B )
3634, 35, 35, 19, 30offval2 6529 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( F  oF  .+  H )  =  ( x  e.  A  |->  (  .0.  .+  .0.  ) ) )
379mpteq2dv 4526 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( x  e.  A  |->  (  .0.  .+  .0.  ) )  =  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )
3836, 37eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( F  oF  .+  H )  =  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )
3938oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) ) )
4039, 24eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  .0.  )
419, 33, 403eqtr4rd 2506 . . 3  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) )
4241ex 432 . 2  |-  ( ph  ->  ( W  =  (/)  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
431adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  G  e.  Mnd )
442, 6mndcl 16128 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  z  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  ( z  .+  w
)  e.  B )
45443expb 1195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
z  .+  w )  e.  B )
4643, 45sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
z  .+  w )  e.  B )
4746caovclg 6440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
48 simprl 754 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( # `
 W )  e.  NN )
49 nnuz 11117 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5048, 49syl6eleq 2552 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( # `
 W )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
5110adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  F : A --> B )
52 f1of1 5797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  f :
( 1 ... ( # `
 W ) )
-1-1-> W )
5352ad2antll 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> W )
54 cnvimass 5345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  dom  F
55 fdm 5717 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
5610, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
5754, 56syl5sseq 3537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A )
58 cnvimass 5345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' H " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  dom  H
59 fdm 5717 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H : A --> B  ->  dom  H  =  A )
6026, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  H  =  A )
6158, 60syl5sseq 3537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A )
6257, 61unssd 3666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) 
C_  A )
6316, 62syl5eqss 3533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  C_  A )
6463adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  W  C_  A )
65 f1ss 5768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> W  /\  W  C_  A )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A )
6653, 64, 65syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A )
67 f1f 5763 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A  -> 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )
69 fco 5723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> B  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  W ) ) --> B )
7051, 68, 69syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> B )
7170ffvelrnda 6007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  B )
7226adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  H : A --> B )
73 fco 5723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A --> B  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )  ->  ( H  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  W ) ) --> B )
7472, 68, 73syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( H  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> B )
7574ffvelrnda 6007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  k
)  e.  B )
76 ffn 5713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
7751, 76syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  F  Fn  A )
78 ffn 5713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  ->  H  Fn  A )
7972, 78syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  H  Fn  A )
8021adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  A  e.  V )
81 ovex 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... ( # `  W
) )  e.  _V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
1 ... ( # `  W
) )  e.  _V )
83 inidm 3693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  A )  =  A
8477, 79, 68, 80, 80, 82, 83ofco 6533 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
( F  oF  .+  H )  o.  f )  =  ( ( F  o.  f
)  oF  .+  ( H  o.  f
) ) )
8584fveq1d 5850 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
( ( F  oF  .+  H )  o.  f ) `  k
)  =  ( ( ( F  o.  f
)  oF  .+  ( H  o.  f
) ) `  k
) )
8685adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( F  oF  .+  H
)  o.  f ) `
 k )  =  ( ( ( F  o.  f )  oF  .+  ( H  o.  f ) ) `
 k ) )
87 fnfco 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )  ->  ( F  o.  f )  Fn  (
1 ... ( # `  W
) ) )
8877, 68, 87syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( F  o.  f )  Fn  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
89 fnfco 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Fn  A  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )  ->  ( H  o.  f )  Fn  (
1 ... ( # `  W
) ) )
9079, 68, 89syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( H  o.  f )  Fn  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
91 inidm 3693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... ( # `  W ) )  i^i  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  =  ( 1 ... ( # `  W
) )
92 eqidd 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  k
)  =  ( ( F  o.  f ) `
 k ) )
93 eqidd 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  k
)  =  ( ( H  o.  f ) `
 k ) )
9488, 90, 82, 82, 91, 92, 93ofval 6522 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( F  o.  f )  oF  .+  ( H  o.  f ) ) `
 k )  =  ( ( ( F  o.  f ) `  k )  .+  (
( H  o.  f
) `  k )
) )
9586, 94eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( F  oF  .+  H
)  o.  f ) `
 k )  =  ( ( ( F  o.  f ) `  k )  .+  (
( H  o.  f
) `  k )
) )
961ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  G  e.  Mnd )
97 elfzouz 11808 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9897adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
99 elfzouz2 11818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= `  n ) )
10099adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  W )  e.  ( ZZ>= `  n
) )
101 fzss2 11727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  W )  e.  ( ZZ>= `  n )  ->  ( 1 ... n
)  C_  ( 1 ... ( # `  W
) ) )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( 1 ... n
)  C_  ( 1 ... ( # `  W
) ) )
103102sselda 3489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  ( 1 ... ( # `  W ) ) )
10471adantlr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  B )
105103, 104syldan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  k )  e.  B
)
1062, 6mndcl 16128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  k  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( k  .+  x
)  e.  B )
1071063expb 1195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( k  e.  B  /\  x  e.  B
) )  ->  (
k  .+  x )  e.  B )
10896, 107sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( k  e.  B  /\  x  e.  B
) )  ->  (
k  .+  x )  e.  B )
10998, 105, 108seqcl 12109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
(  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  n )  e.  B
)
11075adantlr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  k
)  e.  B )
111103, 110syldan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( H  o.  f ) `  k )  e.  B
)
11298, 111, 108seqcl 12109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
(  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n )  e.  B
)
113 fzofzp1 11890 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
114 ffvelrn 6005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> B  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  B )
11570, 113, 114syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  B )
116 ffvelrn 6005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> B  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  B )
11774, 113, 116syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  B )
118 fvco3 5925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( F `
 ( f `  ( n  +  1
) ) ) )
11968, 113, 118syl2an 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( F `
 ( f `  ( n  +  1
) ) ) )
120 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( f `  (
n  +  1 ) )  e.  A )
12168, 113, 120syl2an 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f `  (
n  +  1 ) )  e.  A )
122 fzp1disj 11742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... n )  i^i  { ( n  +  1 ) } )  =  (/)
123 disjsn 4076 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... n
)  i^i  { (
n  +  1 ) } )  =  (/)  <->  -.  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... n ) )
124122, 123mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
n  +  1 )  e.  ( 1 ... n )
12566adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A )
126113adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )
127 f1elima 6146 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) )  /\  (
1 ... n )  C_  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( (
f `  ( n  +  1 ) )  e.  ( f "
( 1 ... n
) )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... n
) ) )
128125, 126, 102, 127syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( f `  ( n  +  1
) )  e.  ( f " ( 1 ... n ) )  <-> 
( n  +  1 )  e.  ( 1 ... n ) ) )
129124, 128mtbiri 301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  -.  ( f `  (
n  +  1 ) )  e.  ( f
" ( 1 ... n ) ) )
130121, 129eldifd 3472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f `  (
n  +  1 ) )  e.  ( A 
\  ( f "
( 1 ... n
) ) ) )
131 gsumzaddlemOLD.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  k  e.  ( A  \  x
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )
132131expr 613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  C_  A
)  ->  ( k  e.  ( A  \  x
)  ->  ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) ) )
133132ralrimiv 2866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  C_  A
)  ->  A. k  e.  ( A  \  x
) ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) )
134133ex 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  x ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) ) )
135134alrimiv 1724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x ( x 
C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  x
) ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) ) )
136135ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  A. x ( x  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  x ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) ) )
137 imassrn 5336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f
" ( 1 ... n ) )  C_  ran  f
13868adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )
139 frn 5719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A  ->  ran  f  C_  A )
140138, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  ran  f  C_  A )
141137, 140syl5ss 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f " (
1 ... n ) ) 
C_  A )
142 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  f  e. 
_V
143 imaexg 6710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " ( 1 ... n ) )  e.  _V )
144142, 143ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f
" ( 1 ... n ) )  e. 
_V
145 sseq1 3510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  (
x  C_  A  <->  ( f " ( 1 ... n ) )  C_  A ) )
146 difeq2 3602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  (
f " ( 1 ... n ) ) ) )
147 reseq2 5257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  ( H  |`  x )  =  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) )
148147oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  ( G  gsumg  ( H  |`  x
) )  =  ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) )
149148sneqd 4028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  { ( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) }  =  { ( G  gsumg  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) } )
150149fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } )  =  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) } ) )
151150eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  (
( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } )  <->  ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
152146, 151raleqbidv 3065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  ( A. k  e.  ( A  \  x ) ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } )  <->  A. k  e.  ( A  \  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
153145, 152imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  (
( x  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  x ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )  <-> 
( ( f "
( 1 ... n
) )  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) ) )
154144, 153spcv 3197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  x ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )  ->  ( ( f
" ( 1 ... n ) )  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
155136, 141, 154sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  A. k  e.  ( A  \  ( f "
( 1 ... n
) ) ) ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) } ) )
156 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  ( n  +  1
) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( f `  (
n  +  1 ) ) ) )
157156eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  ( n  +  1
) )  ->  (
( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } )  <->  ( F `  ( f `  (
n  +  1 ) ) )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
158157rspcv 3203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  ( n  +  1 ) )  e.  ( A  \ 
( f " (
1 ... n ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( A  \  ( f " (
1 ... n ) ) ) ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } )  ->  ( F `  ( f `  (
n  +  1 ) ) )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
159130, 155, 158sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( F `  (
f `  ( n  +  1 ) ) )  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } ) )
160119, 159eqeltrd 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } ) )
161 gsumzaddOLD.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  (Cntz `  G )
162144a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f " (
1 ... n ) )  e.  _V )
16326ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  H : A --> B )
164 fssres 5733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H : A --> B  /\  ( f " (
1 ... n ) ) 
C_  A )  -> 
( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) : ( f
" ( 1 ... n ) ) --> B )
165163, 141, 164syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) : ( f
" ( 1 ... n ) ) --> B )
166 gsumzaddlemOLD.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  ( Z `  ran  H ) )
167166ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  ran  H  C_  ( Z `  ran  H ) )
168 resss 5285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  C_  H
169 rnss 5220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) ) 
C_  H  ->  ran  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) 
C_  ran  H )
170168, 169ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  ( H  |`  ( f "
( 1 ... n
) ) )  C_  ran  H
171161cntzidss 16574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  H  C_  ( Z `  ran  H )  /\  ran  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  C_  ran  H )  ->  ran  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  C_  ( Z `  ran  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) )
172167, 170, 171sylancl 660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  ran  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) )  C_  ( Z `  ran  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) )
17398, 49syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  n  e.  NN )
174 f1ores 5812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A  /\  ( 1 ... n
)  C_  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( f  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( f " (
1 ... n ) ) )
175125, 102, 174syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( f " (
1 ... n ) ) )
176 f1of1 5797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  |`  ( 1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( f " (
1 ... n ) )  ->  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) : ( 1 ... n )
-1-1-> ( f " (
1 ... n ) ) )
177175, 176syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-> ( f
" ( 1 ... n ) ) )
178 cnvimass 5345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  dom  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) )
179 dmres 5282 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  ( H  |`  ( f "
( 1 ... n
) ) )  =  ( ( f "
( 1 ... n
) )  i^i  dom  H )
180178, 179sseqtri 3521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (
( f " (
1 ... n ) )  i^i  dom  H )
181 inss1 3704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f " ( 1 ... n ) )  i^i  dom  H )  C_  ( f " (
1 ... n ) )
182 df-ima 5001 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f
" ( 1 ... n ) )  =  ran  ( f  |`  ( 1 ... n
) )
183181, 182sseqtri 3521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f " ( 1 ... n ) )  i^i  dom  H )  C_ 
ran  ( f  |`  ( 1 ... n
) )
184180, 183sstri 3498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ran  ( f  |`  (
1 ... n ) )
185184a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( `' ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ran  ( f  |`  (
1 ... n ) ) )
186 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  =  ( `' ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
1872, 3, 6, 161, 96, 162, 165, 172, 173, 177, 185, 186gsumval3OLD 17107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) ) `
 n ) )
188182eqimss2i 3544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  (
f  |`  ( 1 ... n ) )  C_  ( f " (
1 ... n ) )
189 cores 5493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ran  ( f  |`  (
1 ... n ) ) 
C_  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  (
( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) )  =  ( H  o.  (
f  |`  ( 1 ... n ) ) ) )
190188, 189ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) )  =  ( H  o.  (
f  |`  ( 1 ... n ) ) )
191 resco 5494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( H  o.  f )  |`  ( 1 ... n
) )  =  ( H  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) )
192190, 191eqtr4i 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) )  =  ( ( H  o.  f )  |`  (
1 ... n ) )
193192fveq1i 5849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) `  k )  =  ( ( ( H  o.  f )  |`  (
1 ... n ) ) `
 k )
194 fvres 5862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( H  o.  f )  |`  (
1 ... n ) ) `
 k )  =  ( ( H  o.  f ) `  k
) )
195193, 194syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) `  k )  =  ( ( H  o.  f
) `  k )
)
196195adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) `  k )  =  ( ( H  o.  f
) `  k )
)
19798, 196seqfveq 12113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
(  seq 1 (  .+  ,  ( ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) ) `
 n )  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( H  o.  f ) ) `
 n ) )
198187, 197eqtr2d 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
(  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n )  =  ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) )
199 fvex 5858 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  n
)  e.  _V
200199elsnc 4040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n )  e.  {
( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) }  <->  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  n
)  =  ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) )
201198, 200sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
(  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n )  e.  {
( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } )
2026, 161cntzi 16566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } )  /\  (  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n )  e.  {
( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } )  ->  ( ( ( F  o.  f ) `
 ( n  + 
1 ) )  .+  (  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n ) )  =  ( (  seq 1
(  .+  ,  ( H  o.  f )
) `  n )  .+  ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
203160, 201, 202syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( F  o.  f ) `  ( n  +  1
) )  .+  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  n
) )  =  ( (  seq 1 ( 
.+  ,  ( H  o.  f ) ) `
 n )  .+  ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
204203eqcomd 2462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( (  seq 1
(  .+  ,  ( H  o.  f )
) `  n )  .+  ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  .+  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  n
) ) )
2052, 6, 96, 109, 112, 115, 117, 204mnd4g 16136 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  n
)  .+  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  n
) )  .+  (
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( ( H  o.  f ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 n )  .+  ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) ) )  .+  (
(  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n )  .+  (
( H  o.  f
) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
20647, 47, 50, 71, 75, 95, 205seqcaopr3 12124 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (  seq 1 (  .+  , 
( ( F  oF  .+  H )  o.  f ) ) `  ( # `  W ) )  =  ( (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) )  .+  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
20746, 51, 72, 80, 80, 83off 6527 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( F  oF  .+  H
) : A --> B )
208 gsumzaddlemOLD.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( F  oF  .+  H )  C_  ( Z `  ran  ( F  oF  .+  H
) ) )
209208adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  ( F  oF  .+  H )  C_  ( Z `  ran  ( F  oF  .+  H
) ) )
210 eldifi 3612 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  \  ran  f )  ->  x  e.  A )
211 eqidd 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  =  ( F `
 x ) )
212 eqidd 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x
)  =  ( H `
 x ) )
21377, 79, 80, 80, 83, 211, 212ofval 6522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F  oF  .+  H ) `  x )  =  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) )
214210, 213sylan2 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  ( ( F  oF  .+  H
) `  x )  =  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) )
215 f1ofo 5805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  f :
( 1 ... ( # `
 W ) )
-onto-> W )
216 forn 5780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -onto-> W  ->  ran  f  =  W
)
217215, 216syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  ran  f  =  W )
218217ad2antll 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  f  =  W )
21917, 218syl5sseqr 3538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ran  f )
22051, 219suppssrOLD 5997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  ( F `  x )  =  .0.  )
22128, 218syl5sseqr 3538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( `' H " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ran  f )
22272, 221suppssrOLD 5997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  ( H `  x )  =  .0.  )
223220, 222oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) )  =  (  .0.  .+  .0.  ) )
2248ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
225214, 223, 2243eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  ( ( F  oF  .+  H
) `  x )  =  .0.  )
226207, 225suppssOLD 5996 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( `' ( F  oF  .+  H ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ran  f )
227 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( `' ( ( F  oF  .+  H )  o.  f ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( ( F  oF  .+  H
)  o.  f )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )
2282, 3, 6, 161, 43, 80, 207, 209, 48, 66, 226, 227gsumval3OLD 17107 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  (  seq 1
(  .+  ,  (
( F  oF  .+  H )  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )
229 gsumzaddlemOLD.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
230229adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  F 
C_  ( Z `  ran  F ) )
231 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( F  o.  f
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( F  o.  f ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )
2322, 3, 6, 161, 43, 80, 51, 230, 48, 66, 219, 231gsumval3OLD 17107 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )
233166adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  H 
C_  ( Z `  ran  H ) )
234 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( H  o.  f
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( H  o.  f ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )
2352, 3, 6, 161, 43, 80, 72, 233, 48, 66, 221, 234gsumval3OLD 17107 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( G  gsumg  H )  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )
236232, 235oveq12d 6288 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
( G  gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) )  =  ( (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  f )
) `  ( # `  W
) )  .+  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
237206, 228, 2363eqtr4d 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
238237expr 613 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H
) )  =  ( ( G  gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
239238exlimdv 1729 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
240239expimpd 601 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  W )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
241 gsumzaddOLD.fn . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
242 gsumzaddOLD.hn . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
243 unfi 7779 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' H " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )  -> 
( ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin )
244241, 242, 243syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin )
24516, 244syl5eqel 2546 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
246 fz1f1o 13614 . . 3  |-  ( W  e.  Fin  ->  ( W  =  (/)  \/  (
( # `  W )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
247245, 246syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( W  =  (/)  \/  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
24842, 240, 247mpjaod 379 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367   A.wal 1396    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989    |` cres 4990   "cima 4991    o. ccom 4992    Fn wfn 5565   -->wf 5566   -1-1->wf1 5567   -onto->wfo 5568   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    oFcof 6511   Fincfn 7509   1c1 9482    + caddc 9484   NNcn 10531   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799    seqcseq 12089   #chash 12387   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   0gc0g 14929    gsumg cgsu 14930   Mndcmnd 16118  Cntzccntz 16552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-cntz 16554
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