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Theorem gsumzaddlem 17258
Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumzadd.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumzadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumzadd.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
gsumzadd.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
gsumzadd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumzadd.fn  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
gsumzadd.hn  |-  ( ph  ->  H finSupp  .0.  )
gsumzaddlem.w  |-  W  =  ( ( F  u.  H ) supp  .0.  )
gsumzaddlem.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumzaddlem.h  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
gsumzaddlem.1  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
gsumzaddlem.2  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  ( Z `  ran  H ) )
gsumzaddlem.3  |-  ( ph  ->  ran  ( F  oF  .+  H )  C_  ( Z `  ran  ( F  oF  .+  H
) ) )
gsumzaddlem.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  k  e.  ( A  \  x
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )
Assertion
Ref Expression
gsumzaddlem  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,  .+    .0. , k, x    k, F, x    k, G, x    A, k, x    B, k, x    k, H, x    ph, k, x    x, V   
k, W, x    k, Z, x
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem gsumzaddlem
Dummy variables  f  n  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzadd.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
2 gsumzadd.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 gsumzadd.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
42, 3mndidcl 16262 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
51, 4syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .0.  e.  B )
6 gsumzadd.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  G )
72, 6, 3mndlid 16265 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  .0.  e.  B )  -> 
(  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
81, 5, 7syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
98adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
10 gsumzaddlem.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
11 gsumzadd.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
12 fvex 5859 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
133, 12eqeltri 2486 . . . . . . . . 9  |-  .0.  e.  _V
1413a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
15 gsumzaddlem.h . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
16 fex 6126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A --> B  /\  A  e.  V )  ->  H  e.  _V )
1715, 11, 16syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H  e.  _V )
1817suppun 6923 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_  ( ( F  u.  H ) supp  .0.  )
)
19 gsumzaddlem.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  ( ( F  u.  H ) supp  .0.  )
2018, 19syl6sseqr 3489 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_  W )
2110, 11, 14, 20gsumcllem 17236 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )
2221oveq2d 6294 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) ) )
233gsumz 16329 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
241, 11, 23syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
2524adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
2622, 25eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  .0.  )
27 fex 6126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V )  ->  F  e.  _V )
2810, 11, 27syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
2928suppun 6923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( H supp  .0.  )  C_  ( ( H  u.  F ) supp  .0.  )
)
30 uncom 3587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  u.  H )  =  ( H  u.  F
)
3130oveq1i 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  u.  H ) supp 
.0.  )  =  ( ( H  u.  F
) supp  .0.  )
3229, 31syl6sseqr 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H supp  .0.  )  C_  ( ( F  u.  H ) supp  .0.  )
)
3332, 19syl6sseqr 3489 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H supp  .0.  )  C_  W )
3415, 11, 14, 33gsumcllem 17236 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  H  =  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )
3534oveq2d 6294 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  H )  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) ) )
3635, 25eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  H )  =  .0.  )
3726, 36oveq12d 6296 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( G  gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) )  =  (  .0.  .+  .0.  ) )
3811adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  A  e.  V )
395ad2antrr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  .0.  e.  B )
4038, 39, 39, 21, 34offval2 6538 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( F  oF  .+  H )  =  ( x  e.  A  |->  (  .0.  .+  .0.  ) ) )
419mpteq2dv 4482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( x  e.  A  |->  (  .0.  .+  .0.  ) )  =  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )
4240, 41eqtrd 2443 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( F  oF  .+  H )  =  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )
4342oveq2d 6294 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) ) )
4443, 25eqtrd 2443 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  .0.  )
459, 37, 443eqtr4rd 2454 . . 3  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) )
4645ex 432 . 2  |-  ( ph  ->  ( W  =  (/)  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
471adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  G  e.  Mnd )
482, 6mndcl 16253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  z  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  ( z  .+  w
)  e.  B )
49483expb 1198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
z  .+  w )  e.  B )
5047, 49sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
z  .+  w )  e.  B )
5150caovclg 6448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
52 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( # `
 W )  e.  NN )
53 nnuz 11162 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5452, 53syl6eleq 2500 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( # `
 W )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
5510adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  F : A --> B )
56 f1of1 5798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  f :
( 1 ... ( # `
 W ) )
-1-1-> W )
5756ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> W )
58 suppssdm 6915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  u.  H ) supp 
.0.  )  C_  dom  ( F  u.  H
)
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  H ) supp  .0.  )  C_ 
dom  ( F  u.  H ) )
6019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  =  ( ( F  u.  H ) supp 
.0.  ) )
61 dmun 5030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( F  u.  H )  =  ( dom  F  u.  dom  H )
62 fdm 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
6310, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
64 fdm 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( H : A --> B  ->  dom  H  =  A )
6515, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  H  =  A )
6663, 65uneq12d 3598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( dom  F  u.  dom  H )  =  ( A  u.  A ) )
67 unidm 3586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  u.  A )  =  A
6866, 67syl6eq 2459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( dom  F  u.  dom  H )  =  A )
6961, 68syl5req 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  =  dom  ( F  u.  H )
)
7059, 60, 693sstr4d 3485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  C_  A )
7170adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  W  C_  A )
72 f1ss 5769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> W  /\  W  C_  A )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A )
7357, 71, 72syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A )
74 f1f 5764 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A  -> 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )
7573, 74syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )
76 fco 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> B  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  W ) ) --> B )
7755, 75, 76syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> B )
7877ffvelrnda 6009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  B )
7915adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  H : A --> B )
80 fco 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A --> B  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )  ->  ( H  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  W ) ) --> B )
8179, 75, 80syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( H  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> B )
8281ffvelrnda 6009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  k
)  e.  B )
83 ffn 5714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
8455, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  F  Fn  A )
85 ffn 5714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  ->  H  Fn  A )
8679, 85syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  H  Fn  A )
8711adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  A  e.  V )
88 ovex 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... ( # `  W
) )  e.  _V
8988a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
1 ... ( # `  W
) )  e.  _V )
90 inidm 3648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  A )  =  A
9184, 86, 75, 87, 87, 89, 90ofco 6542 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
( F  oF  .+  H )  o.  f )  =  ( ( F  o.  f
)  oF  .+  ( H  o.  f
) ) )
9291fveq1d 5851 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
( ( F  oF  .+  H )  o.  f ) `  k
)  =  ( ( ( F  o.  f
)  oF  .+  ( H  o.  f
) ) `  k
) )
9392adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( F  oF  .+  H
)  o.  f ) `
 k )  =  ( ( ( F  o.  f )  oF  .+  ( H  o.  f ) ) `
 k ) )
94 fnfco 5733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )  ->  ( F  o.  f )  Fn  (
1 ... ( # `  W
) ) )
9584, 75, 94syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( F  o.  f )  Fn  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
96 fnfco 5733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Fn  A  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )  ->  ( H  o.  f )  Fn  (
1 ... ( # `  W
) ) )
9786, 75, 96syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( H  o.  f )  Fn  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
98 inidm 3648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... ( # `  W ) )  i^i  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  =  ( 1 ... ( # `  W
) )
99 eqidd 2403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  k
)  =  ( ( F  o.  f ) `
 k ) )
100 eqidd 2403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  k
)  =  ( ( H  o.  f ) `
 k ) )
10195, 97, 89, 89, 98, 99, 100ofval 6530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( F  o.  f )  oF  .+  ( H  o.  f ) ) `
 k )  =  ( ( ( F  o.  f ) `  k )  .+  (
( H  o.  f
) `  k )
) )
10293, 101eqtrd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( F  oF  .+  H
)  o.  f ) `
 k )  =  ( ( ( F  o.  f ) `  k )  .+  (
( H  o.  f
) `  k )
) )
1031ad2antrr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  G  e.  Mnd )
104 elfzouz 11863 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
105104adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
106 elfzouz2 11873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= `  n ) )
107106adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  W )  e.  ( ZZ>= `  n
) )
108 fzss2 11778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  W )  e.  ( ZZ>= `  n )  ->  ( 1 ... n
)  C_  ( 1 ... ( # `  W
) ) )
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( 1 ... n
)  C_  ( 1 ... ( # `  W
) ) )
110109sselda 3442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  ( 1 ... ( # `  W ) ) )
11178adantlr 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  B )
112110, 111syldan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  k )  e.  B
)
1132, 6mndcl 16253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  k  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( k  .+  x
)  e.  B )
1141133expb 1198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( k  e.  B  /\  x  e.  B
) )  ->  (
k  .+  x )  e.  B )
115103, 114sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( k  e.  B  /\  x  e.  B
) )  ->  (
k  .+  x )  e.  B )
116105, 112, 115seqcl 12171 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
(  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  n )  e.  B
)
11782adantlr 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  k
)  e.  B )
118110, 117syldan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( H  o.  f ) `  k )  e.  B
)
119105, 118, 115seqcl 12171 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
(  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n )  e.  B
)
120 fzofzp1 11946 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
121 ffvelrn 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> B  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  B )
12277, 120, 121syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  B )
123 ffvelrn 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> B  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  B )
12481, 120, 123syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  B )
125 fvco3 5926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( F `
 ( f `  ( n  +  1
) ) ) )
12675, 120, 125syl2an 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( F `
 ( f `  ( n  +  1
) ) ) )
127 ffvelrn 6007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( f `  (
n  +  1 ) )  e.  A )
12875, 120, 127syl2an 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f `  (
n  +  1 ) )  e.  A )
129 fzp1disj 11793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... n )  i^i  { ( n  +  1 ) } )  =  (/)
130 disjsn 4032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... n
)  i^i  { (
n  +  1 ) } )  =  (/)  <->  -.  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... n ) )
131129, 130mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
n  +  1 )  e.  ( 1 ... n )
13273adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A )
133120adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )
134 f1elima 6152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) )  /\  (
1 ... n )  C_  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( (
f `  ( n  +  1 ) )  e.  ( f "
( 1 ... n
) )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... n
) ) )
135132, 133, 109, 134syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( f `  ( n  +  1
) )  e.  ( f " ( 1 ... n ) )  <-> 
( n  +  1 )  e.  ( 1 ... n ) ) )
136131, 135mtbiri 301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  -.  ( f `  (
n  +  1 ) )  e.  ( f
" ( 1 ... n ) ) )
137128, 136eldifd 3425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f `  (
n  +  1 ) )  e.  ( A 
\  ( f "
( 1 ... n
) ) ) )
138 gsumzaddlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  k  e.  ( A  \  x
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )
139138expr 613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  C_  A
)  ->  ( k  e.  ( A  \  x
)  ->  ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) ) )
140139ralrimiv 2816 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  C_  A
)  ->  A. k  e.  ( A  \  x
) ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) )
141140ex 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  x ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) ) )
142141alrimiv 1740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x ( x 
C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  x
) ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) ) )
143142ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  A. x ( x  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  x ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) ) )
144 imassrn 5168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f
" ( 1 ... n ) )  C_  ran  f
14575adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )
146 frn 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A  ->  ran  f  C_  A )
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  ran  f  C_  A )
148144, 147syl5ss 3453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f " (
1 ... n ) ) 
C_  A )
149 vex 3062 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  f  e. 
_V
150 imaexg 6721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " ( 1 ... n ) )  e.  _V )
151149, 150ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f
" ( 1 ... n ) )  e. 
_V
152 sseq1 3463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  (
x  C_  A  <->  ( f " ( 1 ... n ) )  C_  A ) )
153 difeq2 3555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  (
f " ( 1 ... n ) ) ) )
154 reseq2 5089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  ( H  |`  x )  =  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) )
155154oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  ( G  gsumg  ( H  |`  x
) )  =  ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) )
156155sneqd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  { ( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) }  =  { ( G  gsumg  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) } )
157156fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } )  =  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) } ) )
158157eleq2d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  (
( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } )  <->  ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
159153, 158raleqbidv 3018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  ( A. k  e.  ( A  \  x ) ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } )  <->  A. k  e.  ( A  \  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
160152, 159imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  (
( x  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  x ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )  <-> 
( ( f "
( 1 ... n
) )  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) ) )
161151, 160spcv 3150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  x ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )  ->  ( ( f
" ( 1 ... n ) )  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
162143, 148, 161sylc 59 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  A. k  e.  ( A  \  ( f "
( 1 ... n
) ) ) ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) } ) )
163 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  ( n  +  1
) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( f `  (
n  +  1 ) ) ) )
164163eleq1d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  ( n  +  1
) )  ->  (
( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } )  <->  ( F `  ( f `  (
n  +  1 ) ) )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
165164rspcv 3156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  ( n  +  1 ) )  e.  ( A  \ 
( f " (
1 ... n ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( A  \  ( f " (
1 ... n ) ) ) ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } )  ->  ( F `  ( f `  (
n  +  1 ) ) )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
166137, 162, 165sylc 59 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( F `  (
f `  ( n  +  1 ) ) )  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } ) )
167126, 166eqeltrd 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } ) )
168 gsumzadd.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  (Cntz `  G )
169151a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f " (
1 ... n ) )  e.  _V )
17015ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  H : A --> B )
171170, 148fssresd 5735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) : ( f
" ( 1 ... n ) ) --> B )
172 gsumzaddlem.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  ( Z `  ran  H ) )
173172ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  ran  H  C_  ( Z `  ran  H ) )
174 resss 5117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  C_  H
175 rnss 5052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) ) 
C_  H  ->  ran  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) 
C_  ran  H )
176174, 175ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  ( H  |`  ( f "
( 1 ... n
) ) )  C_  ran  H
177168cntzidss 16699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  H  C_  ( Z `  ran  H )  /\  ran  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  C_  ran  H )  ->  ran  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  C_  ( Z `  ran  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) )
178173, 176, 177sylancl 660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  ran  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) )  C_  ( Z `  ran  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) )
179105, 53syl6eleqr 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  n  e.  NN )
180 f1ores 5813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A  /\  ( 1 ... n
)  C_  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( f  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( f " (
1 ... n ) ) )
181132, 109, 180syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( f " (
1 ... n ) ) )
182 f1of1 5798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  |`  ( 1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( f " (
1 ... n ) )  ->  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) : ( 1 ... n )
-1-1-> ( f " (
1 ... n ) ) )
183181, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-> ( f
" ( 1 ... n ) ) )
184 suppssdm 6915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) ) supp 
.0.  )  C_  dom  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) )
185 dmres 5114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  ( H  |`  ( f "
( 1 ... n
) ) )  =  ( ( f "
( 1 ... n
) )  i^i  dom  H )
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  dom  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) )  =  ( ( f " ( 1 ... n ) )  i^i  dom  H )
)
187184, 186syl5sseq 3490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( f "
( 1 ... n
) )  i^i  dom  H ) )
188 inss1 3659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f " ( 1 ... n ) )  i^i  dom  H )  C_  ( f " (
1 ... n ) )
189 df-ima 4836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f
" ( 1 ... n ) )  =  ran  ( f  |`  ( 1 ... n
) )
190189a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f " (
1 ... n ) )  =  ran  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) )
191188, 190syl5sseq 3490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( f "
( 1 ... n
) )  i^i  dom  H )  C_  ran  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) )
192187, 191sstrd 3452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) supp  .0.  )  C_  ran  ( f  |`  (
1 ... n ) ) )
193 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) supp  .0.  )  =  ( (
( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) supp  .0.  )
1942, 3, 6, 168, 103, 169, 171, 178, 179, 183, 192, 193gsumval3 17235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) ) `
 n ) )
195189eqimss2i 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  (
f  |`  ( 1 ... n ) )  C_  ( f " (
1 ... n ) )
196 cores 5326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ran  ( f  |`  (
1 ... n ) ) 
C_  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  (
( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) )  =  ( H  o.  (
f  |`  ( 1 ... n ) ) ) )
197195, 196ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) )  =  ( H  o.  (
f  |`  ( 1 ... n ) ) )
198 resco 5327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( H  o.  f )  |`  ( 1 ... n
) )  =  ( H  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) )
199197, 198eqtr4i 2434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) )  =  ( ( H  o.  f )  |`  (
1 ... n ) )
200199fveq1i 5850 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) `  k )  =  ( ( ( H  o.  f )  |`  (
1 ... n ) ) `
 k )
201 fvres 5863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( H  o.  f )  |`  (
1 ... n ) ) `
 k )  =  ( ( H  o.  f ) `  k
) )
202200, 201syl5eq 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) `  k )  =  ( ( H  o.  f
) `  k )
)
203202adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) `  k )  =  ( ( H  o.  f
) `  k )
)
204105, 203seqfveq 12175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
(  seq 1 (  .+  ,  ( ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) ) `
 n )  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( H  o.  f ) ) `
 n ) )
205194, 204eqtr2d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
(  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n )  =  ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) )
206 fvex 5859 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  n
)  e.  _V
207206elsnc 3996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n )  e.  {
( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) }  <->  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  n
)  =  ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) )
208205, 207sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
(  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n )  e.  {
( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } )
2096, 168cntzi 16691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } )  /\  (  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n )  e.  {
( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } )  ->  ( ( ( F  o.  f ) `
 ( n  + 
1 ) )  .+  (  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n ) )  =  ( (  seq 1
(  .+  ,  ( H  o.  f )
) `  n )  .+  ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
210167, 208, 209syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( F  o.  f ) `  ( n  +  1
) )  .+  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  n
) )  =  ( (  seq 1 ( 
.+  ,  ( H  o.  f ) ) `
 n )  .+  ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
211210eqcomd 2410 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( (  seq 1
(  .+  ,  ( H  o.  f )
) `  n )  .+  ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  .+  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  n
) ) )
2122, 6, 103, 116, 119, 122, 124, 211mnd4g 16261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  n
)  .+  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  n
) )  .+  (
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( ( H  o.  f ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 n )  .+  ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) ) )  .+  (
(  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n )  .+  (
( H  o.  f
) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
21351, 51, 54, 78, 82, 102, 212seqcaopr3 12186 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (  seq 1 (  .+  , 
( ( F  oF  .+  H )  o.  f ) ) `  ( # `  W ) )  =  ( (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) )  .+  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
21450, 55, 79, 87, 87, 90off 6536 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( F  oF  .+  H
) : A --> B )
215 gsumzaddlem.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( F  oF  .+  H )  C_  ( Z `  ran  ( F  oF  .+  H
) ) )
216215adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  ( F  oF  .+  H )  C_  ( Z `  ran  ( F  oF  .+  H
) ) )
21747, 114sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  ( k  e.  B  /\  x  e.  B
) )  ->  (
k  .+  x )  e.  B )
218217, 55, 79, 87, 87, 90off 6536 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( F  oF  .+  H
) : A --> B )
219 eldifi 3565 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  \  ran  f )  ->  x  e.  A )
220 eqidd 2403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  =  ( F `
 x ) )
221 eqidd 2403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x
)  =  ( H `
 x ) )
22284, 86, 87, 87, 90, 220, 221ofval 6530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F  oF  .+  H ) `  x )  =  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) )
223219, 222sylan2 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  ( ( F  oF  .+  H
) `  x )  =  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) )
22418adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( F supp  .0.  )  C_  (
( F  u.  H
) supp  .0.  ) )
225 f1ofo 5806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  f :
( 1 ... ( # `
 W ) )
-onto-> W )
226 forn 5781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -onto-> W  ->  ran  f  =  W
)
227225, 226syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  ran  f  =  W )
228227, 19syl6eq 2459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  ran  f  =  ( ( F  u.  H ) supp  .0.  )
)
229228sseq2d 3470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  ( ( F supp  .0.  )  C_  ran  f 
<->  ( F supp  .0.  )  C_  ( ( F  u.  H ) supp  .0.  )
) )
230229ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
( F supp  .0.  )  C_ 
ran  f  <->  ( F supp  .0.  )  C_  ( ( F  u.  H ) supp  .0.  ) ) )
231224, 230mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( F supp  .0.  )  C_  ran  f )
23213a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  .0.  e.  _V )
23355, 231, 87, 232suppssr 6934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  ( F `  x )  =  .0.  )
23429adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( H supp  .0.  )  C_  (
( H  u.  F
) supp  .0.  ) )
235234, 31syl6sseqr 3489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( H supp  .0.  )  C_  (
( F  u.  H
) supp  .0.  ) )
236228sseq2d 3470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  ( ( H supp  .0.  )  C_  ran  f 
<->  ( H supp  .0.  )  C_  ( ( F  u.  H ) supp  .0.  )
) )
237236ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
( H supp  .0.  )  C_ 
ran  f  <->  ( H supp  .0.  )  C_  ( ( F  u.  H ) supp  .0.  ) ) )
238235, 237mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( H supp  .0.  )  C_  ran  f )
23979, 238, 87, 232suppssr 6934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  ( H `  x )  =  .0.  )
240233, 239oveq12d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) )  =  (  .0.  .+  .0.  ) )
2418ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
242223, 240, 2413eqtrd 2447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  ( ( F  oF  .+  H
) `  x )  =  .0.  )
243218, 242suppss 6933 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
( F  oF  .+  H ) supp  .0.  )  C_  ran  f )
244 ovex 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( F  oF  .+  H
)  e.  _V
245244, 149coex 6736 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  oF  .+  H )  o.  f
)  e.  _V
246 suppimacnv 6913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  oF  .+  H )  o.  f )  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  ->  ( ( ( F  oF  .+  H
)  o.  f ) supp 
.0.  )  =  ( `' ( ( F  oF  .+  H
)  o.  f )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )
247246eqcomd 2410 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  oF  .+  H )  o.  f )  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  ->  ( `' ( ( F  oF  .+  H )  o.  f
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( ( ( F  oF  .+  H )  o.  f ) supp  .0.  )
)
248245, 13, 247mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( `' ( ( F  oF  .+  H )  o.  f ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( ( ( F  oF  .+  H )  o.  f ) supp  .0.  )
2492, 3, 6, 168, 47, 87, 214, 216, 52, 73, 243, 248gsumval3 17235 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  (  seq 1
(  .+  ,  (
( F  oF  .+  H )  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )
250 gsumzaddlem.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
251250adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  F 
C_  ( Z `  ran  F ) )
252 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  o.  f ) supp 
.0.  )  =  ( ( F  o.  f
) supp  .0.  )
2532, 3, 6, 168, 47, 87, 55, 251, 52, 73, 231, 252gsumval3 17235 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )
254172adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  H 
C_  ( Z `  ran  H ) )
255 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  o.  f ) supp 
.0.  )  =  ( ( H  o.  f
) supp  .0.  )
2562, 3, 6, 168, 47, 87, 79, 254, 52, 73, 238, 255gsumval3 17235 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( G  gsumg  H )  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )
257253, 256oveq12d 6296 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
( G  gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) )  =  ( (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  f )
) `  ( # `  W
) )  .+  (  seq 1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
258213, 249, 2573eqtr4d 2453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
259258expr 613 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H
) )  =  ( ( G  gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
260259exlimdv 1745 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
261260expimpd 601 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  W )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
262 gsumzadd.fn . . . . 5  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
263 gsumzadd.hn . . . . 5  |-  ( ph  ->  H finSupp  .0.  )
264262, 263fsuppun 7882 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  H ) supp  .0.  )  e.  Fin )
26519, 264syl5eqel 2494 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
266 fz1f1o 13681 . . 3  |-  ( W  e.  Fin  ->  ( W  =  (/)  \/  (
( # `  W )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
267265, 266syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( W  =  (/)  \/  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
26846, 261, 267mpjaod 379 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367   A.wal 1403    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   A.wral 2754   _Vcvv 3059    \ cdif 3411    u. cun 3412    i^i cin 3413    C_ wss 3414   (/)c0 3738   {csn 3972   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   `'ccnv 4822   dom cdm 4823   ran crn 4824    |` cres 4825   "cima 4826    o. ccom 4827    Fn wfn 5564   -->wf 5565   -1-1->wf1 5566   -onto->wfo 5567   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    oFcof 6519   supp csupp 6902   Fincfn 7554   finSupp cfsupp 7863   1c1 9523    + caddc 9525   NNcn 10576   ZZ>=cuz 11127   ...cfz 11726  ..^cfzo 11854    seqcseq 12151   #chash 12452   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   0gc0g 15054    gsumg cgsu 15055   Mndcmnd 16243  Cntzccntz 16677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-hash 12453  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-cntz 16679
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