Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzaddlem Structured version   Visualization version   Unicode version

 Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzadd.g . . . . . 6
2 gsumzadd.b . . . . . . . 8
3 gsumzadd.0 . . . . . . . 8
42, 3mndidcl 16632 . . . . . . 7
51, 4syl 17 . . . . . 6
6 gsumzadd.p . . . . . . 7
72, 6, 3mndlid 16635 . . . . . 6
81, 5, 7syl2anc 673 . . . . 5
98adantr 472 . . . 4
10 gsumzaddlem.f . . . . . . . 8
11 gsumzadd.a . . . . . . . 8
12 fvex 5889 . . . . . . . . . 10
133, 12eqeltri 2545 . . . . . . . . 9
1413a1i 11 . . . . . . . 8
15 gsumzaddlem.h . . . . . . . . . . 11
16 fex 6155 . . . . . . . . . . 11
1715, 11, 16syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
1817suppun 6954 . . . . . . . . 9 supp supp
19 gsumzaddlem.w . . . . . . . . 9 supp
2018, 19syl6sseqr 3465 . . . . . . . 8 supp
2110, 11, 14, 20gsumcllem 17620 . . . . . . 7
2221oveq2d 6324 . . . . . 6 g g
233gsumz 16699 . . . . . . . 8 g
241, 11, 23syl2anc 673 . . . . . . 7 g
2524adantr 472 . . . . . 6 g
2622, 25eqtrd 2505 . . . . 5 g
27 fex 6155 . . . . . . . . . . . 12
2810, 11, 27syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
2928suppun 6954 . . . . . . . . . 10 supp supp
30 uncom 3569 . . . . . . . . . . 11
3130oveq1i 6318 . . . . . . . . . 10 supp supp
3229, 31syl6sseqr 3465 . . . . . . . . 9 supp supp
3332, 19syl6sseqr 3465 . . . . . . . 8 supp
3415, 11, 14, 33gsumcllem 17620 . . . . . . 7
3534oveq2d 6324 . . . . . 6 g g
3635, 25eqtrd 2505 . . . . 5 g
3726, 36oveq12d 6326 . . . 4 g g
3811adantr 472 . . . . . . . 8
395ad2antrr 740 . . . . . . . 8
4038, 39, 39, 21, 34offval2 6567 . . . . . . 7
419mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
4240, 41eqtrd 2505 . . . . . 6
4342oveq2d 6324 . . . . 5 g g
4443, 25eqtrd 2505 . . . 4 g
459, 37, 443eqtr4rd 2516 . . 3 g g g
4645ex 441 . 2 g g g
471adantr 472 . . . . . . . . 9
482, 6mndcl 16623 . . . . . . . . . 10
49483expb 1232 . . . . . . . . 9
5047, 49sylan 479 . . . . . . . 8
5150caovclg 6480 . . . . . . 7
52 simprl 772 . . . . . . . 8
53 nnuz 11218 . . . . . . . 8
5452, 53syl6eleq 2559 . . . . . . 7
5510adantr 472 . . . . . . . . 9
56 f1of1 5827 . . . . . . . . . . . 12
5756ad2antll 743 . . . . . . . . . . 11
58 suppssdm 6946 . . . . . . . . . . . . . 14 supp
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 supp
6019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 supp
61 dmun 5047 . . . . . . . . . . . . . 14
62 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6310, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
64 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6515, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6663, 65uneq12d 3580 . . . . . . . . . . . . . . 15
67 unidm 3568 . . . . . . . . . . . . . . 15
6866, 67syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14
6961, 68syl5req 2518 . . . . . . . . . . . . 13
7059, 60, 693sstr4d 3461 . . . . . . . . . . . 12
7170adantr 472 . . . . . . . . . . 11
72 f1ss 5797 . . . . . . . . . . 11
7357, 71, 72syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
74 f1f 5792 . . . . . . . . . 10
7573, 74syl 17 . . . . . . . . 9
76 fco 5751 . . . . . . . . 9
7755, 75, 76syl2anc 673 . . . . . . . 8
7877ffvelrnda 6037 . . . . . . 7
7915adantr 472 . . . . . . . . 9
80 fco 5751 . . . . . . . . 9
8179, 75, 80syl2anc 673 . . . . . . . 8
8281ffvelrnda 6037 . . . . . . 7
83 ffn 5739 . . . . . . . . . . . 12
8455, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11
85 ffn 5739 . . . . . . . . . . . 12
8679, 85syl 17 . . . . . . . . . . 11
8711adantr 472 . . . . . . . . . . 11
88 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12
8988a1i 11 . . . . . . . . . . 11
90 inidm 3632 . . . . . . . . . . 11
9184, 86, 75, 87, 87, 89, 90ofco 6570 . . . . . . . . . 10
9291fveq1d 5881 . . . . . . . . 9
9392adantr 472 . . . . . . . 8
94 fnfco 5760 . . . . . . . . . 10
9584, 75, 94syl2anc 673 . . . . . . . . 9
96 fnfco 5760 . . . . . . . . . 10
9786, 75, 96syl2anc 673 . . . . . . . . 9
98 inidm 3632 . . . . . . . . 9
99 eqidd 2472 . . . . . . . . 9
100 eqidd 2472 . . . . . . . . 9
10195, 97, 89, 89, 98, 99, 100ofval 6559 . . . . . . . 8
10293, 101eqtrd 2505 . . . . . . 7
1031ad2antrr 740 . . . . . . . 8 ..^
104 elfzouz 11951 . . . . . . . . . 10 ..^
105104adantl 473 . . . . . . . . 9 ..^
106 elfzouz2 11961 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
107106adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ..^
108 fzss2 11864 . . . . . . . . . . . 12
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . 11 ..^
110109sselda 3418 . . . . . . . . . 10 ..^
11178adantlr 729 . . . . . . . . . 10 ..^
112110, 111syldan 478 . . . . . . . . 9 ..^
1132, 6mndcl 16623 . . . . . . . . . . 11
1141133expb 1232 . . . . . . . . . 10
115103, 114sylan 479 . . . . . . . . 9 ..^
116105, 112, 115seqcl 12271 . . . . . . . 8 ..^
11782adantlr 729 . . . . . . . . . 10 ..^
118110, 117syldan 478 . . . . . . . . 9 ..^
119105, 118, 115seqcl 12271 . . . . . . . 8 ..^
120 fzofzp1 12037 . . . . . . . . 9 ..^
121 ffvelrn 6035 . . . . . . . . 9
12277, 120, 121syl2an 485 . . . . . . . 8 ..^
123 ffvelrn 6035 . . . . . . . . 9
12481, 120, 123syl2an 485 . . . . . . . 8 ..^
125 fvco3 5957 . . . . . . . . . . . 12
12675, 120, 125syl2an 485 . . . . . . . . . . 11 ..^
127 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . 14
12875, 120, 127syl2an 485 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
129 fzp1disj 11880 . . . . . . . . . . . . . . 15
130 disjsn 4023 . . . . . . . . . . . . . . 15
131129, 130mpbi 213 . . . . . . . . . . . . . 14
13273adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
133120adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
134 f1elima 6182 . . . . . . . . . . . . . . 15
135132, 133, 109, 134syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
136131, 135mtbiri 310 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
137128, 136eldifd 3401 . . . . . . . . . . . 12 ..^
138 gsumzaddlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 g
139138expr 626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 g
140139ralrimiv 2808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 g
141140ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15 g
142141alrimiv 1781 . . . . . . . . . . . . . 14 g
143142ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ g
144 imassrn 5185 . . . . . . . . . . . . . 14
14575adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
146 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . . 15
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
148144, 147syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
149 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15
150 imaexg 6749 . . . . . . . . . . . . . . 15
151149, 150ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
152 sseq1 3439 . . . . . . . . . . . . . . 15
153 difeq2 3534 . . . . . . . . . . . . . . . 16
154 reseq2 5106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
155154oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 g g
156155sneqd 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 g g
157156fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 g g
158157eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 g g
159153, 158raleqbidv 2987 . . . . . . . . . . . . . . 15 g g
160152, 159imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14 g g
161151, 160spcv 3126 . . . . . . . . . . . . 13 g g
162143, 148, 161sylc 61 . . . . . . . . . . . 12 ..^ g
163 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
164163eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13 g g
165164rspcv 3132 . . . . . . . . . . . 12 g g
166137, 162, 165sylc 61 . . . . . . . . . . 11 ..^ g
167126, 166eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10 ..^ g
168 gsumzadd.z . . . . . . . . . . . . 13 Cntz
169151a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
17015ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
171170, 148fssresd 5762 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
172 gsumzaddlem.2 . . . . . . . . . . . . . . 15
173172ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
174 resss 5134 . . . . . . . . . . . . . . 15
175 rnss 5069 . . . . . . . . . . . . . . 15
176174, 175ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
177168cntzidss 17069 . . . . . . . . . . . . . 14
178173, 176, 177sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
179105, 53syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
180 f1ores 5842 . . . . . . . . . . . . . . 15
181132, 109, 180syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
182 f1of1 5827 . . . . . . . . . . . . . 14
183181, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
184 suppssdm 6946 . . . . . . . . . . . . . . 15 supp
185 dmres 5131 . . . . . . . . . . . . . . . 16
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
187184, 186syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ supp
188 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . 15
189 df-ima 4852 . . . . . . . . . . . . . . . 16
190189a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
191188, 190syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
192187, 191sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ supp
193 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 supp supp
1942, 3, 6, 168, 103, 169, 171, 178, 179, 183, 192, 193gsumval3 17619 . . . . . . . . . . . 12 ..^ g
195189eqimss2i 3473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
196 cores 5345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
197195, 196ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
198 resco 5346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
199197, 198eqtr4i 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16
200199fveq1i 5880 . . . . . . . . . . . . . . 15
201 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . 15
202200, 201syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . 14
203202adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
204105, 203seqfveq 12275 . . . . . . . . . . . 12 ..^
205194, 204eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . 11 ..^ g
206 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12
207206elsnc 3984 . . . . . . . . . . 11 g g
208205, 207sylibr 217 . . . . . . . . . 10 ..^ g
2096, 168cntzi 17061 . . . . . . . . . 10 g g
210167, 208, 209syl2anc 673 . . . . . . . . 9 ..^
211210eqcomd 2477 . . . . . . . 8 ..^
2122, 6, 103, 116, 119, 122, 124, 211mnd4g 16631 . . . . . . 7 ..^
21351, 51, 54, 78, 82, 102, 212seqcaopr3 12286 . . . . . 6
21450, 55, 79, 87, 87, 90off 6565 . . . . . . 7
215 gsumzaddlem.3 . . . . . . . 8
216215adantr 472 . . . . . . 7
21747, 114sylan 479 . . . . . . . . 9
218217, 55, 79, 87, 87, 90off 6565 . . . . . . . 8
219 eldifi 3544 . . . . . . . . . 10
220 eqidd 2472 . . . . . . . . . . 11
221 eqidd 2472 . . . . . . . . . . 11
22284, 86, 87, 87, 90, 220, 221ofval 6559 . . . . . . . . . 10
223219, 222sylan2 482 . . . . . . . . 9
22418adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 supp supp
225 f1ofo 5835 . . . . . . . . . . . . . . . 16
226 forn 5809 . . . . . . . . . . . . . . . 16
227225, 226syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
228227, 19syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14 supp
229228sseq2d 3446 . . . . . . . . . . . . 13 supp supp supp
230229ad2antll 743 . . . . . . . . . . . 12 supp supp supp
231224, 230mpbird 240 . . . . . . . . . . 11 supp
23213a1i 11 . . . . . . . . . . 11
23355, 231, 87, 232suppssr 6965 . . . . . . . . . 10
23429adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 supp supp
235234, 31syl6sseqr 3465 . . . . . . . . . . . 12 supp supp
236228sseq2d 3446 . . . . . . . . . . . . 13 supp supp supp
237236ad2antll 743 . . . . . . . . . . . 12 supp supp supp
238235, 237mpbird 240 . . . . . . . . . . 11 supp
23979, 238, 87, 232suppssr 6965 . . . . . . . . . 10
240233, 239oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
2418ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
242223, 240, 2413eqtrd 2509 . . . . . . . 8
243218, 242suppss 6964 . . . . . . 7 supp
244 ovex 6336 . . . . . . . . 9
245244, 149coex 6764 . . . . . . . 8
246 suppimacnv 6944 . . . . . . . . 9 supp
247246eqcomd 2477 . . . . . . . 8 supp
248245, 13, 247mp2an 686 . . . . . . 7 supp
2492, 3, 6, 168, 47, 87, 214, 216, 52, 73, 243, 248gsumval3 17619 . . . . . 6 g
250 gsumzaddlem.1 . . . . . . . . 9
251250adantr 472 . . . . . . . 8
252 eqid 2471 . . . . . . . 8 supp supp
2532, 3, 6, 168, 47, 87, 55, 251, 52, 73, 231, 252gsumval3 17619 . . . . . . 7 g
254172adantr 472 . . . . . . . 8
255 eqid 2471 . . . . . . . 8 supp supp
2562, 3, 6, 168, 47, 87, 79, 254, 52, 73, 238, 255gsumval3 17619 . . . . . . 7 g
257253, 256oveq12d 6326 . . . . . 6 g g
258213, 249, 2573eqtr4d 2515 . . . . 5 g g g
259258expr 626 . . . 4 g g g
260259exlimdv 1787 . . 3 g g g
261260expimpd 614 . 2 g g g
262 gsumzadd.fn . . . . 5 finSupp
263 gsumzadd.hn . . . . 5 finSupp
264262, 263fsuppun 7920 . . . 4 supp
26519, 264syl5eqel 2553 . . 3
266 fz1f1o 13853 . . 3
267265, 266syl 17 . 2
26846, 261, 267mpjaod 388 1 g g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376  wal 1450   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  cima 4842   ccom 4843   wfn 5584  wf 5585  wf1 5586  wfo 5587  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308   cof 6548   supp csupp 6933  cfn 7587   finSupp cfsupp 7901  c1 9558   caddc 9560  cn 10631  cuz 11182  cfz 11810  ..^cfzo 11942   cseq 12251  chash 12553  cbs 15199   cplusg 15268  c0g 15416   g cgsu 15417  cmnd 16613  Cntzccntz 17047 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-cntz 17049 This theorem is referenced by:  gsumzadd  17633  dprdfadd  17731
 Copyright terms: Public domain W3C validator