Theorem gsumzaddlem 15481

Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzadd.b	|- B = ( Base ` G )
gsumzadd.0	|- .0. = ( 0g ` G )
gsumzadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsumzadd.z	|- Z = (Cntz ` G )
gsumzadd.g	|- ( ph -> G e. Mnd )
gsumzadd.a	|- ( ph -> A e. V )
gsumzadd.fn	|- ( ph -> ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin )
gsumzadd.hn	|- ( ph -> ( `' H " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin )
gsumzaddlem.w	|- W = ( `' ( F u. H ) " ( _V \ { .0. } ) )
gsumzaddlem.f	|- ( ph -> F : A --> B )
gsumzaddlem.h	|- ( ph -> H : A --> B )
gsumzaddlem.1	|- ( ph -> ran F C_ ( Z ` ran F ) )
gsumzaddlem.2	|- ( ph -> ran H C_ ( Z ` ran H ) )
gsumzaddlem.3	|- ( ph -> ran ( F o F .+ H ) C_ ( Z ` ran ( F o F .+ H ) ) )
gsumzaddlem.4	|- ( ( ph /\ ( x C_ A /\ k e. ( A \ x ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` x ) ) } ) )

Assertion

Ref	Expression
gsumzaddlem	|- ( ph -> ( G gsumg ( F o F .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )

Distinct variable groups:   x, k, .+   .0. , k, x   k, F, x   k, G, x   A, k, x   B, k, x   k, H, x   ph, k, x   x, V   k, W, x   k, Z, x

Allowed substitution hint:   V( k)

Proof of Theorem gsumzaddlem

Dummy variables f n w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzadd.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. Mnd )
2		gsumzadd.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
3		gsumzadd.0	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` G )
4	2, 3	mndidcl 14669	. . . . . . 7 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> .0. e. B )
6		gsumzadd.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
7	2, 6, 3	mndlid 14671	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ .0. e. B ) -> ( .0. .+ .0. ) = .0. )
8	1, 5, 7	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ph -> ( .0. .+ .0. ) = .0. )
9	8	adantr 452	. . . 4 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> ( .0. .+ .0. ) = .0. )
10		gsumzaddlem.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : A --> B )
11		ssun1 3470	. . . . . . . . . 10 |- ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) C_ ( ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) u. ( `' H " ( _V \ { .0. } ) ) )
12		gsumzaddlem.w	. . . . . . . . . . 11 |- W = ( `' ( F u. H ) " ( _V \ { .0. } ) )
13		cnvun 5236	. . . . . . . . . . . 12 |- `' ( F u. H ) = ( `' F u. `' H )
14	13	imaeq1i 5159	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' ( F u. H ) " ( _V \ { .0. } ) ) = ( ( `' F u. `' H ) " ( _V \ { .0. } ) )
15		imaundir 5244	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' F u. `' H ) " ( _V \ { .0. } ) ) = ( ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) u. ( `' H " ( _V \ { .0. } ) ) )
16	12, 14, 15	3eqtri 2428	. . . . . . . . . 10 |- W = ( ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) u. ( `' H " ( _V \ { .0. } ) ) )
17	11, 16	sseqtr4i 3341	. . . . . . . . 9 |- ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) C_ W
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) C_ W )
19	10, 18	gsumcllem 15471	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> F = ( x e. A |-> .0. ) )
20	19	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( x e. A |-> .0. ) ) )
21		gsumzadd.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. V )
22	3	gsumz 14736	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> ( G gsumg ( x e. A |-> .0. ) ) = .0. )
23	1, 21, 22	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. A |-> .0. ) ) = .0. )
24	23	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> ( G gsumg ( x e. A |-> .0. ) ) = .0. )
25	20, 24	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> ( G gsumg F ) = .0. )
26		gsumzaddlem.h	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H : A --> B )
27		ssun2 3471	. . . . . . . . . 10 |- ( `' H " ( _V \ { .0. } ) ) C_ ( ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) u. ( `' H " ( _V \ { .0. } ) ) )
28	27, 16	sseqtr4i 3341	. . . . . . . . 9 |- ( `' H " ( _V \ { .0. } ) ) C_ W
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' H " ( _V \ { .0. } ) ) C_ W )
30	26, 29	gsumcllem 15471	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> H = ( x e. A |-> .0. ) )
31	30	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> ( G gsumg H ) = ( G gsumg ( x e. A |-> .0. ) ) )
32	31, 24	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> ( G gsumg H ) = .0. )
33	25, 32	oveq12d 6058	. . . 4 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) = ( .0. .+ .0. ) )
34	21	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> A e. V )
35	5	ad2antrr 707	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. A ) -> .0. e. B )
36	34, 35, 35, 19, 30	offval2 6281	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> ( F o F .+ H ) = ( x e. A |-> ( .0. .+ .0. ) ) )
37	9	mpteq2dv 4256	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> ( x e. A |-> ( .0. .+ .0. ) ) = ( x e. A |-> .0. ) )
38	36, 37	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> ( F o F .+ H ) = ( x e. A |-> .0. ) )
39	38	oveq2d 6056	. . . . 5 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> ( G gsumg ( F o F .+ H ) ) = ( G gsumg ( x e. A |-> .0. ) ) )
40	39, 24	eqtrd 2436	. . . 4 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> ( G gsumg ( F o F .+ H ) ) = .0. )
41	9, 33, 40	3eqtr4rd 2447	. . 3 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> ( G gsumg ( F o F .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )
42	41	ex 424	. 2 |- ( ph -> ( W = (/) -> ( G gsumg ( F o F .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) ) )
43	1	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> G e. Mnd )
44	2, 6	mndcl 14650	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ z e. B /\ w e. B ) -> ( z .+ w ) e. B )
45	44	3expb 1154	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Mnd /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( z .+ w ) e. B )
46	43, 45	sylan 458	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( z .+ w ) e. B )
47	46	caovclg 6198	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
48		simprl 733	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( # ` W ) e. NN )
49		nnuz 10477	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
50	48, 49	syl6eleq 2494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
51	10	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> F : A --> B )
52		f1of1 5632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W -> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-> W )
53	52	ad2antll 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-> W )
54		cnvimass 5183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) C_ dom F
55		fdm 5554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
56	10, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom F = A )
57	54, 56	syl5sseq 3356	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) C_ A )
58		cnvimass 5183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' H " ( _V \ { .0. } ) ) C_ dom H
59		fdm 5554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( H : A --> B -> dom H = A )
60	26, 59	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom H = A )
61	58, 60	syl5sseq 3356	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( `' H " ( _V \ { .0. } ) ) C_ A )
62	57, 61	unssd 3483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) u. ( `' H " ( _V \ { .0. } ) ) ) C_ A )
63	16, 62	syl5eqss 3352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> W C_ A )
64	63	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> W C_ A )
65		f1ss 5603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-> W /\ W C_ A ) -> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-> A )
66	53, 64, 65	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-> A )
67		f1f 5598	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-> A -> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> A )
68	66, 67	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> A )
69		fco 5559	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> B /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> A ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> B )
70	51, 68, 69	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> B )
71	70	ffvelrnda 5829	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` k ) e. B )
72	26	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> H : A --> B )
73		fco 5559	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A --> B /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> A ) -> ( H o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> B )
74	72, 68, 73	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( H o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> B )
75	74	ffvelrnda 5829	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( H o. f ) ` k ) e. B )
76		ffn 5550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
77	51, 76	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> F Fn A )
78		ffn 5550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A --> B -> H Fn A )
79	72, 78	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> H Fn A )
80	21	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> A e. V )
81		ovex 6065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... ( # ` W ) ) e. _V
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( 1 ... ( # ` W ) ) e. _V )
83		inidm 3510	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i A ) = A
84	77, 79, 68, 80, 80, 82, 83	ofco 6283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( ( F o F .+ H ) o. f ) = ( ( F o. f ) o F .+ ( H o. f ) ) )
85	84	fveq1d 5689	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( ( ( F o F .+ H ) o. f ) ` k ) = ( ( ( F o. f ) o F .+ ( H o. f ) ) ` k ) )
86	85	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( ( F o F .+ H ) o. f ) ` k ) = ( ( ( F o. f ) o F .+ ( H o. f ) ) ` k ) )
87		fnfco 5568	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn A /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> A ) -> ( F o. f ) Fn ( 1 ... ( # ` W ) ) )
88	77, 68, 87	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( F o. f ) Fn ( 1 ... ( # ` W ) ) )
89		fnfco 5568	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Fn A /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> A ) -> ( H o. f ) Fn ( 1 ... ( # ` W ) ) )
90	79, 68, 89	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( H o. f ) Fn ( 1 ... ( # ` W ) ) )
91		inidm 3510	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... ( # ` W ) ) i^i ( 1 ... ( # ` W ) ) ) = ( 1 ... ( # ` W ) )
92		eqidd 2405	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` k ) = ( ( F o. f ) ` k ) )
93		eqidd 2405	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( H o. f ) ` k ) = ( ( H o. f ) ` k ) )
94	88, 90, 82, 82, 91, 92, 93	ofval 6273	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( ( F o. f ) o F .+ ( H o. f ) ) ` k ) = ( ( ( F o. f ) ` k ) .+ ( ( H o. f ) ` k ) ) )
95	86, 94	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( ( F o F .+ H ) o. f ) ` k ) = ( ( ( F o. f ) ` k ) .+ ( ( H o. f ) ` k ) ) )
96	1	ad2antrr 707	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> G e. Mnd )
97		elfzouz 11099	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
98	97	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
99		elfzouz2 11108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) -> ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` n ) )
100	99	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` n ) )
101		fzss2 11048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` n ) -> ( 1 ... n ) C_ ( 1 ... ( # ` W ) ) )
102	100, 101	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( 1 ... n ) C_ ( 1 ... ( # ` W ) ) )
103	102	sselda 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) )
104	71	adantlr 696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` k ) e. B )
105	103, 104	syldan 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( F o. f ) ` k ) e. B )
106	2, 6	mndcl 14650	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Mnd /\ k e. B /\ x e. B ) -> ( k .+ x ) e. B )
107	106	3expb 1154	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ ( k e. B /\ x e. B ) ) -> ( k .+ x ) e. B )
108	96, 107	sylan 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ ( k e. B /\ x e. B ) ) -> ( k .+ x ) e. B )
109	98, 105, 108	seqcl 11298	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` n ) e. B )
110	75	adantlr 696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( H o. f ) ` k ) e. B )
111	103, 110	syldan 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( H o. f ) ` k ) e. B )
112	98, 111, 108	seqcl 11298	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( H o. f ) ) ` n ) e. B )
113		fzofzp1 11144	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) -> ( n + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) )
114		ffvelrn 5827	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> B /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` ( n + 1 ) ) e. B )
115	70, 113, 114	syl2an 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` ( n + 1 ) ) e. B )
116		ffvelrn 5827	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> B /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( H o. f ) ` ( n + 1 ) ) e. B )
117	74, 113, 116	syl2an 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( H o. f ) ` ( n + 1 ) ) e. B )
118		fvco3 5759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> A /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` ( n + 1 ) ) = ( F ` ( f ` ( n + 1 ) ) ) )
119	68, 113, 118	syl2an 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` ( n + 1 ) ) = ( F ` ( f ` ( n + 1 ) ) ) )
120		ffvelrn 5827	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> A /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( f ` ( n + 1 ) ) e. A )
121	68, 113, 120	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( f ` ( n + 1 ) ) e. A )
122		fzp1disj 11061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 ... n ) i^i { ( n + 1 ) } ) = (/)
123		disjsn 3828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 ... n ) i^i { ( n + 1 ) } ) = (/) <-> -. ( n + 1 ) e. ( 1 ... n ) )
124	122, 123	mpbi 200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. ( n + 1 ) e. ( 1 ... n )
125	66	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-> A )
126	113	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) )
127		f1elima 5968	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-> A /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) /\ ( 1 ... n ) C_ ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( f ` ( n + 1 ) ) e. ( f " ( 1 ... n ) ) <-> ( n + 1 ) e. ( 1 ... n ) ) )
128	125, 126, 102, 127	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( f ` ( n + 1 ) ) e. ( f " ( 1 ... n ) ) <-> ( n + 1 ) e. ( 1 ... n ) ) )
129	124, 128	mtbiri 295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> -. ( f ` ( n + 1 ) ) e. ( f " ( 1 ... n ) ) )
130	121, 129	eldifd 3291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( f ` ( n + 1 ) ) e. ( A \ ( f " ( 1 ... n ) ) ) )
131		gsumzaddlem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( x C_ A /\ k e. ( A \ x ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` x ) ) } ) )
132	131	expr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x C_ A ) -> ( k e. ( A \ x ) -> ( F ` k ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` x ) ) } ) ) )
133	132	ralrimiv 2748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x C_ A ) -> A. k e. ( A \ x ) ( F ` k ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` x ) ) } ) )
134	133	ex 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x C_ A -> A. k e. ( A \ x ) ( F ` k ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` x ) ) } ) ) )
135	134	alrimiv 1638	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x ( x C_ A -> A. k e. ( A \ x ) ( F ` k ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` x ) ) } ) ) )
136	135	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> A. x ( x C_ A -> A. k e. ( A \ x ) ( F ` k ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` x ) ) } ) ) )
137		imassrn 5175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f " ( 1 ... n ) ) C_ ran f
138	68	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> A )
139		frn 5556	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> A -> ran f C_ A )
140	138, 139	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ran f C_ A )
141	137, 140	syl5ss 3319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( f " ( 1 ... n ) ) C_ A )
142		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- f e. _V
143		imaexg 5176	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. _V -> ( f " ( 1 ... n ) ) e. _V )
144	142, 143	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f " ( 1 ... n ) ) e. _V
145		sseq1 3329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( f " ( 1 ... n ) ) -> ( x C_ A <-> ( f " ( 1 ... n ) ) C_ A ) )
146		difeq2 3419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( f " ( 1 ... n ) ) -> ( A \ x ) = ( A \ ( f " ( 1 ... n ) ) ) )
147		reseq2 5100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( f " ( 1 ... n ) ) -> ( H |` x ) = ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) )
148	147	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = ( f " ( 1 ... n ) ) -> ( G gsumg ( H |` x ) ) = ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) )
149	148	sneqd 3787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( f " ( 1 ... n ) ) -> { ( G gsumg ( H |` x ) ) } = { ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) } )
150	149	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( f " ( 1 ... n ) ) -> ( Z ` { ( G gsumg ( H |` x ) ) } ) = ( Z ` { ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) )
151	150	eleq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( f " ( 1 ... n ) ) -> ( ( F ` k ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` x ) ) } ) <-> ( F ` k ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
152	146, 151	raleqbidv 2876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( f " ( 1 ... n ) ) -> ( A. k e. ( A \ x ) ( F ` k ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` x ) ) } ) <-> A. k e. ( A \ ( f " ( 1 ... n ) ) ) ( F ` k ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
153	145, 152	imbi12d 312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( f " ( 1 ... n ) ) -> ( ( x C_ A -> A. k e. ( A \ x ) ( F ` k ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` x ) ) } ) ) <-> ( ( f " ( 1 ... n ) ) C_ A -> A. k e. ( A \ ( f " ( 1 ... n ) ) ) ( F ` k ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) ) )
154	144, 153	spcv 3002	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x ( x C_ A -> A. k e. ( A \ x ) ( F ` k ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` x ) ) } ) ) -> ( ( f " ( 1 ... n ) ) C_ A -> A. k e. ( A \ ( f " ( 1 ... n ) ) ) ( F ` k ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
155	136, 141, 154	sylc 58	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> A. k e. ( A \ ( f " ( 1 ... n ) ) ) ( F ` k ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) )
156		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( f ` ( n + 1 ) ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( f ` ( n + 1 ) ) ) )
157	156	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( f ` ( n + 1 ) ) -> ( ( F ` k ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) <-> ( F ` ( f ` ( n + 1 ) ) ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
158	157	rspcv 3008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` ( n + 1 ) ) e. ( A \ ( f " ( 1 ... n ) ) ) -> ( A. k e. ( A \ ( f " ( 1 ... n ) ) ) ( F ` k ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) -> ( F ` ( f ` ( n + 1 ) ) ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
159	130, 155, 158	sylc 58	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( F ` ( f ` ( n + 1 ) ) ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) )
160	119, 159	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` ( n + 1 ) ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) )
161		gsumzadd.z	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = (Cntz ` G )
162	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( f " ( 1 ... n ) ) e. _V )
163	26	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> H : A --> B )
164		fssres 5569	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H : A --> B /\ ( f " ( 1 ... n ) ) C_ A ) -> ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) : ( f " ( 1 ... n ) ) --> B )
165	163, 141, 164	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) : ( f " ( 1 ... n ) ) --> B )
166		gsumzaddlem.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ran H C_ ( Z ` ran H ) )
167	166	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ran H C_ ( Z ` ran H ) )
168		resss 5129	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) C_ H
169		rnss 5057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) C_ H -> ran ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) C_ ran H )
170	168, 169	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) C_ ran H
171	161	cntzidss 15091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ran H C_ ( Z ` ran H ) /\ ran ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) C_ ran H ) -> ran ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) C_ ( Z ` ran ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) )
172	167, 170, 171	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ran ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) C_ ( Z ` ran ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) )
173	98, 49	syl6eleqr 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> n e. NN )
174		f1ores 5648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-> A /\ ( 1 ... n ) C_ ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( f |` ( 1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( f " ( 1 ... n ) ) )
175	125, 102, 174	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( f |` ( 1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( f " ( 1 ... n ) ) )
176		f1of1 5632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f |` ( 1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( f " ( 1 ... n ) ) -> ( f |` ( 1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-> ( f " ( 1 ... n ) ) )
177	175, 176	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( f |` ( 1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-> ( f " ( 1 ... n ) ) )
178		cnvimass 5183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( `' ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) " ( _V \ { .0. } ) ) C_ dom ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) )
179		dmres 5126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) = ( ( f " ( 1 ... n ) ) i^i dom H )
180	178, 179	sseqtri 3340	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) " ( _V \ { .0. } ) ) C_ ( ( f " ( 1 ... n ) ) i^i dom H )
181		inss1 3521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f " ( 1 ... n ) ) i^i dom H ) C_ ( f " ( 1 ... n ) )
182		df-ima 4850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f " ( 1 ... n ) ) = ran ( f |` ( 1 ... n ) )
183	181, 182	sseqtri 3340	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f " ( 1 ... n ) ) i^i dom H ) C_ ran ( f |` ( 1 ... n ) )
184	180, 183	sstri 3317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) " ( _V \ { .0. } ) ) C_ ran ( f |` ( 1 ... n ) )
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( `' ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) " ( _V \ { .0. } ) ) C_ ran ( f |` ( 1 ... n ) ) )
186		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' ( ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) o. ( f |` ( 1 ... n ) ) ) " ( _V \ { .0. } ) ) = ( `' ( ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) o. ( f |` ( 1 ... n ) ) ) " ( _V \ { .0. } ) )
187	2, 3, 6, 161, 96, 162, 165, 172, 173, 177, 185, 186	gsumval3 15469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) o. ( f |` ( 1 ... n ) ) ) ) ` n ) )
188	182	eqimss2i 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ran ( f |` ( 1 ... n ) ) C_ ( f " ( 1 ... n ) )
189		cores 5332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ran ( f |` ( 1 ... n ) ) C_ ( f " ( 1 ... n ) ) -> ( ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) o. ( f |` ( 1 ... n ) ) ) = ( H o. ( f |` ( 1 ... n ) ) ) )
190	188, 189	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) o. ( f |` ( 1 ... n ) ) ) = ( H o. ( f |` ( 1 ... n ) ) )
191		resco 5333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( H o. f ) |` ( 1 ... n ) ) = ( H o. ( f |` ( 1 ... n ) ) )
192	190, 191	eqtr4i 2427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) o. ( f |` ( 1 ... n ) ) ) = ( ( H o. f ) |` ( 1 ... n ) )
193	192	fveq1i 5688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) o. ( f |` ( 1 ... n ) ) ) ` k ) = ( ( ( H o. f ) |` ( 1 ... n ) ) ` k )
194		fvres 5704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( ( H o. f ) |` ( 1 ... n ) ) ` k ) = ( ( H o. f ) ` k ) )
195	193, 194	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) o. ( f |` ( 1 ... n ) ) ) ` k ) = ( ( H o. f ) ` k ) )
196	195	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) o. ( f |` ( 1 ... n ) ) ) ` k ) = ( ( H o. f ) ` k ) )
197	98, 196	seqfveq 11302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) o. ( f |` ( 1 ... n ) ) ) ) ` n ) = ( seq 1 ( .+ , ( H o. f ) ) ` n ) )
198	187, 197	eqtr2d 2437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( H o. f ) ) ` n ) = ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) )
199		fvex 5701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( seq 1 ( .+ , ( H o. f ) ) ` n ) e. _V
200	199	elsnc 3797	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( seq 1 ( .+ , ( H o. f ) ) ` n ) e. { ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) } <-> ( seq 1 ( .+ , ( H o. f ) ) ` n ) = ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) )
201	198, 200	sylibr 204	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( H o. f ) ) ` n ) e. { ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) } )
202	6, 161	cntzi 15083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F o. f ) ` ( n + 1 ) ) e. ( Z ` { ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) /\ ( seq 1 ( .+ , ( H o. f ) ) ` n ) e. { ( G gsumg ( H |` ( f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) -> ( ( ( F o. f ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( seq 1 ( .+ , ( H o. f ) ) ` n ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( H o. f ) ) ` n ) .+ ( ( F o. f ) ` ( n + 1 ) ) ) )
203	160, 201, 202	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( ( F o. f ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( seq 1 ( .+ , ( H o. f ) ) ` n ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( H o. f ) ) ` n ) .+ ( ( F o. f ) ` ( n + 1 ) ) ) )
204	203	eqcomd 2409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( seq 1 ( .+ , ( H o. f ) ) ` n ) .+ ( ( F o. f ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( F o. f ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( seq 1 ( .+ , ( H o. f ) ) ` n ) ) )
205	2, 6, 96, 109, 112, 115, 117, 204	mnd4g 14656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ n e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` n ) .+ ( seq 1 ( .+ , ( H o. f ) ) ` n ) ) .+ ( ( ( F o. f ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( ( H o. f ) ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` n ) .+ ( ( F o. f ) ` ( n + 1 ) ) ) .+ ( ( seq 1 ( .+ , ( H o. f ) ) ` n ) .+ ( ( H o. f ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
206	47, 47, 50, 71, 75, 95, 205	seqcaopr3 11313	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( ( F o F .+ H ) o. f ) ) ` ( # ` W ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) .+ ( seq 1 ( .+ , ( H o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) )
207	46, 51, 72, 80, 80, 83	off 6279	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( F o F .+ H ) : A --> B )
208		gsumzaddlem.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran ( F o F .+ H ) C_ ( Z ` ran ( F o F .+ H ) ) )
209	208	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ran ( F o F .+ H ) C_ ( Z ` ran ( F o F .+ H ) ) )
210		eldifi 3429	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A \ ran f ) -> x e. A )
211		eqidd 2405	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = ( F ` x ) )
212		eqidd 2405	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( H ` x ) )
213	77, 79, 80, 80, 83, 211, 212	ofval 6273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. A ) -> ( ( F o F .+ H ) ` x ) = ( ( F ` x ) .+ ( H ` x ) ) )
214	210, 213	sylan2 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( A \ ran f ) ) -> ( ( F o F .+ H ) ` x ) = ( ( F ` x ) .+ ( H ` x ) ) )
215		f1ofo 5640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W -> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -onto-> W )
216		forn 5615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -onto-> W -> ran f = W )
217	215, 216	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W -> ran f = W )
218	217	ad2antll 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ran f = W )
219	17, 218	syl5sseqr 3357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) C_ ran f )
220	51, 219	suppssr 5823	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( A \ ran f ) ) -> ( F ` x ) = .0. )
221	28, 218	syl5sseqr 3357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( `' H " ( _V \ { .0. } ) ) C_ ran f )
222	72, 221	suppssr 5823	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( A \ ran f ) ) -> ( H ` x ) = .0. )
223	220, 222	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( A \ ran f ) ) -> ( ( F ` x ) .+ ( H ` x ) ) = ( .0. .+ .0. ) )
224	8	ad2antrr 707	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( A \ ran f ) ) -> ( .0. .+ .0. ) = .0. )
225	214, 223, 224	3eqtrd 2440	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( A \ ran f ) ) -> ( ( F o F .+ H ) ` x ) = .0. )
226	207, 225	suppss 5822	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( `' ( F o F .+ H ) " ( _V \ { .0. } ) ) C_ ran f )
227		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( `' ( ( F o F .+ H ) o. f ) " ( _V \ { .0. } ) ) = ( `' ( ( F o F .+ H ) o. f ) " ( _V \ { .0. } ) )
228	2, 3, 6, 161, 43, 80, 207, 209, 48, 66, 226, 227	gsumval3 15469	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( G gsumg ( F o F .+ H ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( ( F o F .+ H ) o. f ) ) ` ( # ` W ) ) )
229		gsumzaddlem.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran F C_ ( Z ` ran F ) )
230	229	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ran F C_ ( Z ` ran F ) )
231		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( `' ( F o. f ) " ( _V \ { .0. } ) ) = ( `' ( F o. f ) " ( _V \ { .0. } ) )
232	2, 3, 6, 161, 43, 80, 51, 230, 48, 66, 219, 231	gsumval3 15469	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( G gsumg F ) = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) )
233	166	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ran H C_ ( Z ` ran H ) )
234		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( `' ( H o. f ) " ( _V \ { .0. } ) ) = ( `' ( H o. f ) " ( _V \ { .0. } ) )
235	2, 3, 6, 161, 43, 80, 72, 233, 48, 66, 221, 234	gsumval3 15469	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( G gsumg H ) = ( seq 1 ( .+ , ( H o. f ) ) ` ( # ` W ) ) )
236	232, 235	oveq12d 6058	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) .+ ( seq 1 ( .+ , ( H o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) )
237	206, 228, 236	3eqtr4d 2446	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( # ` W ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( G gsumg ( F o F .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )
238	237	expr 599	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` W ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W -> ( G gsumg ( F o F .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) ) )
239	238	exlimdv 1643	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` W ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W -> ( G gsumg ( F o F .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) ) )
240	239	expimpd 587	. 2 |- ( ph -> ( ( ( # ` W ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) -> ( G gsumg ( F o F .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) ) )
241		gsumzadd.fn	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin )
242		gsumzadd.hn	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' H " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin )
243		unfi 7333	. . . . 5 |- ( ( ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin /\ ( `' H " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin ) -> ( ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) u. ( `' H " ( _V \ { .0. } ) ) ) e. Fin )
244	241, 242, 243	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ph -> ( ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) u. ( `' H " ( _V \ { .0. } ) ) ) e. Fin )
245	16, 244	syl5eqel 2488	. . 3 |- ( ph -> W e. Fin )
246		fz1f1o 12459	. . 3 |- ( W e. Fin -> ( W = (/) \/ ( ( # ` W ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
247	245, 246	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( W = (/) \/ ( ( # ` W ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
248	42, 240, 247	mpjaod 371	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( F o F .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   u. cun 3278   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   |` cres 4839   "cima 4840   o. ccom 4841   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   o Fcof 6262   Fincfn 7068   1c1 8947   + caddc 8949   NNcn 9956   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090   seq cseq 11278   #chash 11573   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678   gsum_g cgsu 13679   Mndcmnd 14639  Cntzccntz 15069

This theorem is referenced by:  gsumzadd  15482  dprdfadd  15533

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mnd 14645  df-cntz 15071