Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzaddOLD Structured version   Unicode version

 Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) Obsolete version of gsumzadd 17257 as of 5-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
gsumzaddOLD g g g

Proof of Theorem gsumzaddOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzaddOLD.b . 2
2 gsumzaddOLD.0 . 2
3 gsumzaddOLD.p . 2
4 gsumzaddOLD.z . 2 Cntz
5 gsumzaddOLD.g . 2
6 gsumzaddOLD.a . 2
7 gsumzaddOLD.fn . 2
8 gsumzaddOLD.hn . 2
9 eqid 2402 . 2
10 gsumzaddOLD.f . . 3
11 gsumzaddOLD.s . . . 4 SubMnd
121submss 16303 . . . 4 SubMnd
1311, 12syl 17 . . 3
14 fss 5721 . . 3
1510, 13, 14syl2anc 659 . 2
16 gsumzaddOLD.h . . 3
17 fss 5721 . . 3
1816, 13, 17syl2anc 659 . 2
19 gsumzaddOLD.c . . 3
20 frn 5719 . . . 4
2110, 20syl 17 . . 3
224cntzidss 16697 . . 3
2319, 21, 22syl2anc 659 . 2
24 frn 5719 . . . 4
2516, 24syl 17 . . 3
264cntzidss 16697 . . 3
2719, 25, 26syl2anc 659 . 2
283submcl 16306 . . . . . . 7 SubMnd
29283expb 1198 . . . . . 6 SubMnd
3011, 29sylan 469 . . . . 5
31 inidm 3647 . . . . 5
3230, 10, 16, 6, 6, 31off 6535 . . . 4
33 frn 5719 . . . 4
3432, 33syl 17 . . 3
354cntzidss 16697 . . 3
3619, 34, 35syl2anc 659 . 2
3719adantr 463 . . . 4
3813adantr 463 . . . . 5
395adantr 463 . . . . . . 7
40 vex 3061 . . . . . . . 8
4140a1i 11 . . . . . . 7
4211adantr 463 . . . . . . 7 SubMnd
43 simpl 455 . . . . . . . 8
44 fssres 5733 . . . . . . . 8
4516, 43, 44syl2an 475 . . . . . . 7
4627adantr 463 . . . . . . . 8
47 resss 5116 . . . . . . . . 9
48 rnss 5051 . . . . . . . . 9
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . 8
504cntzidss 16697 . . . . . . . 8
5146, 49, 50sylancl 660 . . . . . . 7
528adantr 463 . . . . . . . 8
53 cnvss 4995 . . . . . . . . 9
54 imass1 5190 . . . . . . . . 9
5547, 53, 54mp2b 10 . . . . . . . 8
56 ssfi 7774 . . . . . . . 8
5752, 55, 56sylancl 660 . . . . . . 7
582, 4, 39, 41, 42, 45, 51, 57gsumzsubmclOLD 17251 . . . . . 6 g
5958snssd 4116 . . . . 5 g
601, 4cntz2ss 16692 . . . . 5 g g
6138, 59, 60syl2anc 659 . . . 4 g
6237, 61sstrd 3451 . . 3 g
63 eldifi 3564 . . . . 5
6463adantl 464 . . . 4
65 ffvelrn 6006 . . . 4
6610, 64, 65syl2an 475 . . 3
6762, 66sseldd 3442 . 2 g
681, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 18, 23, 27, 36, 67gsumzaddlemOLD 17258 1 g g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  cvv 3058   cdif 3410   cun 3411   wss 3413  csn 3971  ccnv 4821   crn 4823   cres 4824  cima 4825  wf 5564  cfv 5568  (class class class)co 6277   cof 6518  cfn 7553  cbs 14839   cplusg 14907  c0g 15052   g cgsu 15053  cmnd 16241  SubMndcsubmnd 16287  Cntzccntz 16675 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-cntz 16677 This theorem is referenced by:  gsumaddOLD  17261  gsumzsplitOLD  17267
 Copyright terms: Public domain W3C validator