Theorem gsumz 15511

Description: Value of a group sum over the zero element. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsum0.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsumz	|- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> .0. ) ) = .0. )

Distinct variable groups:   A, k   k, G   k, V

Allowed substitution hint:   .0. ( k)

Proof of Theorem gsumz

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2443	. 2 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		gsum0.z	. 2 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2443	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		eqid 2443	. 2 |- { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } = { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) }
5		simpl 457	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> G e. Mnd )
6		simpr 461	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> A e. V )
7		fvex 5701	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) e. _V
8	2, 7	eqeltri 2513	. . . . . 6 |- .0. e. _V
9	8	snid 3905	. . . . 5 |- .0. e. { .0. }
10	1, 2, 3, 4	gsumvallem2 15501	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } = { .0. } )
11	9, 10	syl5eleqr 2530	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> .0. e. { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } )
12	11	ad2antrr 725	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) /\ k e. A ) -> .0. e. { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } )
13		eqid 2443	. . 3 |- ( k e. A |-> .0. ) = ( k e. A |-> .0. )
14	12, 13	fmptd 5867	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> ( k e. A |-> .0. ) : A --> { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 14	gsumval1 15509	1 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> .0. ) ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   {crab 2719   _Vcvv 2972   {csn 3877   e. cmpt 4350   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   0gc0g 14378   gsum_g cgsu 14379   Mndcmnd 15409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-seq 11807  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mnd 15415

This theorem is referenced by:  gsumval3OLD  16382  gsumval3  16385  gsumzres  16388  gsumzcl2  16389  gsumzf1o  16391  gsumzresOLD  16392  gsumzclOLD  16393  gsumzf1oOLD  16394  gsumzaddlem  16408  gsumzaddlemOLD  16410  gsumzmhm  16430  gsumzmhmOLD  16431  gsumzoppg  16440  gsumzoppgOLD  16441  gsum2d  16463  gsum2dOLD  16464  dprdfeq0  16512  dprdfeq0OLD  16519  dprddisj2  16537  dprddisj2OLD  16538  mplsubrglem  17517  mplsubrglemOLD  17518  evlslem1  17601  coe1tmmul2  17729  coe1tmmul  17730  mdet1  18408  smadiadetlem1a  18469  tsms0  19715  tgptsmscls  19724  tdeglem4  21529  mdegmullem  21549  dchrptlem3  22605  esum0  26503  gsummoncoe1  30843  ply1mulgsumlem2  30845  dmatmul  30876  mp2pm2mplem4  30919  lincvalsc0  30955  linc0scn0  30957