Theorem gsumz 16621

Description: Value of a group sum over the zero element. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumz.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsumz	|- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> .0. ) ) = .0. )

Distinct variable groups:   A, k   k, G   k, V

Allowed substitution hint:   .0. ( k)

Proof of Theorem gsumz

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2451	. 2 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		gsumz.z	. 2 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2451	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		eqid 2451	. 2 |- { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } = { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) }
5		simpl 459	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> G e. Mnd )
6		simpr 463	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> A e. V )
7		fvex 5875	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) e. _V
8	2, 7	eqeltri 2525	. . . . . 6 |- .0. e. _V
9	8	snid 3996	. . . . 5 |- .0. e. { .0. }
10	1, 2, 3, 4	gsumvallem2 16619	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } = { .0. } )
11	9, 10	syl5eleqr 2536	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> .0. e. { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } )
12	11	ad2antrr 732	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) /\ k e. A ) -> .0. e. { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } )
13		eqid 2451	. . 3 |- ( k e. A |-> .0. ) = ( k e. A |-> .0. )
14	12, 13	fmptd 6046	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> ( k e. A |-> .0. ) : A --> { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 14	gsumval1 16520	1 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> .0. ) ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   {crab 2741   _Vcvv 3045   {csn 3968   |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   +g cplusg 15190   0gc0g 15338   gsum_g cgsu 15339   Mndcmnd 16535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-seq 12214  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537

This theorem is referenced by:  gsumval3  17541  gsumzres  17543  gsumzcl2  17544  gsumzf1o  17546  gsumzaddlem  17554  gsumzmhm  17570  gsumzoppg  17577  gsum2d  17604  dprdfeq0  17655  dprddisj2  17672  mplsubrglem  18663  evlslem1  18738  coe1tmmul2  18869  coe1tmmul  18870  cply1mul  18887  gsummoncoe1  18898  dmatmul  19522  smadiadetlem1a  19688  cpmatmcllem  19742  mp2pm2mplem4  19833  chfacfscmulgsum  19884  chfacfpmmulgsum  19888  tsms0  21156  tgptsmscls  21164  tdeglem4  23009  mdegmullem  23027  dchrptlem3  24194  gsummptres  28547  esum0  28870  ply1mulgsumlem2  40232  lincvalsc0  40267  linc0scn0  40269