Theorem gsumz 16132

Description: Value of a group sum over the zero element. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumz.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsumz	|- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> .0. ) ) = .0. )

Distinct variable groups:   A, k   k, G   k, V

Allowed substitution hint:   .0. ( k)

Proof of Theorem gsumz

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. 2 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		gsumz.z	. 2 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2457	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		eqid 2457	. 2 |- { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } = { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) }
5		simpl 457	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> G e. Mnd )
6		simpr 461	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> A e. V )
7		fvex 5882	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) e. _V
8	2, 7	eqeltri 2541	. . . . . 6 |- .0. e. _V
9	8	snid 4060	. . . . 5 |- .0. e. { .0. }
10	1, 2, 3, 4	gsumvallem2 16130	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } = { .0. } )
11	9, 10	syl5eleqr 2552	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> .0. e. { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } )
12	11	ad2antrr 725	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) /\ k e. A ) -> .0. e. { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } )
13		eqid 2457	. . 3 |- ( k e. A |-> .0. ) = ( k e. A |-> .0. )
14	12, 13	fmptd 6056	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> ( k e. A |-> .0. ) : A --> { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 14	gsumval1 16031	1 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> .0. ) ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109   {csn 4032   |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   0gc0g 14857   gsum_g cgsu 14858   Mndcmnd 16046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-seq 12111  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048

This theorem is referenced by:  gsumval3OLD  17035  gsumval3  17038  gsumzres  17041  gsumzcl2  17042  gsumzf1o  17044  gsumzresOLD  17045  gsumzclOLD  17046  gsumzf1oOLD  17047  gsumzaddlem  17061  gsumzaddlemOLD  17063  gsumzmhm  17084  gsumzmhmOLD  17085  gsumzoppg  17094  gsumzoppgOLD  17095  gsum2d  17126  gsum2dOLD  17127  dprdfeq0  17189  dprdfeq0OLD  17196  dprddisj2  17214  dprddisj2OLD  17215  mplsubrglem  18227  mplsubrglemOLD  18228  evlslem1  18311  coe1tmmul2  18444  coe1tmmul  18445  cply1mul  18462  gsummoncoe1  18473  dmatmul  19126  smadiadetlem1a  19292  cpmatmcllem  19346  mp2pm2mplem4  19437  chfacfscmulgsum  19488  chfacfpmmulgsum  19492  tsms0  20769  tgptsmscls  20778  tdeglem4  22584  mdegmullem  22604  dchrptlem3  23667  esum0  28223  ply1mulgsumlem2  33131  lincvalsc0  33166  linc0scn0  33168