Theorem gsumz 15504

Description: Value of a group sum over the zero element. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsum0.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsumz	|- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> .0. ) ) = .0. )

Distinct variable groups:   A, k   k, G   k, V

Allowed substitution hint:   .0. ( k)

Proof of Theorem gsumz

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2441	. 2 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		gsum0.z	. 2 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2441	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		eqid 2441	. 2 |- { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } = { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) }
5		simpl 454	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> G e. Mnd )
6		simpr 458	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> A e. V )
7		fvex 5698	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) e. _V
8	2, 7	eqeltri 2511	. . . . . 6 |- .0. e. _V
9	8	snid 3902	. . . . 5 |- .0. e. { .0. }
10	1, 2, 3, 4	gsumvallem2 15496	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } = { .0. } )
11	9, 10	syl5eleqr 2528	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> .0. e. { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } )
12	11	ad2antrr 720	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) /\ k e. A ) -> .0. e. { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } )
13		eqid 2441	. . 3 |- ( k e. A |-> .0. ) = ( k e. A |-> .0. )
14	12, 13	fmptd 5864	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> ( k e. A |-> .0. ) : A --> { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 14	gsumval1 15502	1 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> .0. ) ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970   {csn 3874   e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   gsum_g cgsu 14375   Mndcmnd 15405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-seq 11803  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mnd 15411

This theorem is referenced by:  gsumval3OLD  16375  gsumval3  16378  gsumzres  16381  gsumzcl2  16382  gsumzf1o  16384  gsumzresOLD  16385  gsumzclOLD  16386  gsumzf1oOLD  16387  gsumzaddlem  16401  gsumzaddlemOLD  16403  gsumzmhm  16422  gsumzmhmOLD  16423  gsumzoppg  16432  gsumzoppgOLD  16433  gsum2d  16453  gsum2dOLD  16454  dprdfeq0  16502  dprdfeq0OLD  16509  dprddisj2  16527  dprddisj2OLD  16528  mplsubrglem  17495  mplsubrglemOLD  17496  evlslem1  17577  coe1tmmul2  17704  coe1tmmul  17705  mdet1  18367  smadiadetlem1a  18428  tsms0  19674  tgptsmscls  19683  tdeglem4  21488  mdegmullem  21508  dchrptlem3  22564  esum0  26439  dmatmul  30759  lincvalsc0  30796  linc0scn0  30798