Theorem gsumz 15867

Description: Value of a group sum over the zero element. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsum0.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsumz	|- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> .0. ) ) = .0. )

Distinct variable groups:   A, k   k, G   k, V

Allowed substitution hint:   .0. ( k)

Proof of Theorem gsumz

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. 2 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		gsum0.z	. 2 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2467	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		eqid 2467	. 2 |- { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } = { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) }
5		simpl 457	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> G e. Mnd )
6		simpr 461	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> A e. V )
7		fvex 5881	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) e. _V
8	2, 7	eqeltri 2551	. . . . . 6 |- .0. e. _V
9	8	snid 4060	. . . . 5 |- .0. e. { .0. }
10	1, 2, 3, 4	gsumvallem2 15856	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } = { .0. } )
11	9, 10	syl5eleqr 2562	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> .0. e. { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } )
12	11	ad2antrr 725	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) /\ k e. A ) -> .0. e. { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } )
13		eqid 2467	. . 3 |- ( k e. A |-> .0. ) = ( k e. A |-> .0. )
14	12, 13	fmptd 6055	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> ( k e. A |-> .0. ) : A --> { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 14	gsumval1 15865	1 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. V ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> .0. ) ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118   {csn 4032   |-> cmpt 4510   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   Basecbs 14502   +g cplusg 14567   0gc0g 14707   gsum_g cgsu 14708   Mndcmnd 15772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-seq 12086  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774

This theorem is referenced by:  gsumval3OLD  16758  gsumval3  16761  gsumzres  16764  gsumzcl2  16765  gsumzf1o  16767  gsumzresOLD  16768  gsumzclOLD  16769  gsumzf1oOLD  16770  gsumzaddlem  16784  gsumzaddlemOLD  16786  gsumzmhm  16807  gsumzmhmOLD  16808  gsumzoppg  16817  gsumzoppgOLD  16818  gsum2d  16849  gsum2dOLD  16850  dprdfeq0  16911  dprdfeq0OLD  16918  dprddisj2  16936  dprddisj2OLD  16937  mplsubrglem  17947  mplsubrglemOLD  17948  evlslem1  18031  coe1tmmul2  18164  coe1tmmul  18165  cply1mul  18182  gsummoncoe1  18193  dmatmul  18845  smadiadetlem1a  19011  cpmatmcllem  19065  mp2pm2mplem4  19156  chfacfscmulgsum  19207  chfacfpmmulgsum  19211  tsms0  20488  tgptsmscls  20497  tdeglem4  22303  mdegmullem  22323  dchrptlem3  23384  esum0  27853  ply1mulgsumlem2  32361  lincvalsc0  32396  linc0scn0  32398