Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumxpOLD Structured version   Unicode version

Theorem gsumxpOLD 16797
 Description: Write a group sum over a cartesian product as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) Obsolete version of gsumxp 16795 as of 9-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumxpOLD.b
gsumxpOLD.z
gsumxpOLD.g CMnd
gsumxpOLD.a
gsumxpOLD.r
gsumxpOLD.f
gsumxpOLD.w
Assertion
Ref Expression
gsumxpOLD g g g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)

Proof of Theorem gsumxpOLD
StepHypRef Expression
1 gsumxpOLD.b . . 3
2 gsumxpOLD.z . . 3
3 gsumxpOLD.g . . 3 CMnd
4 gsumxpOLD.a . . . 4
5 gsumxpOLD.r . . . 4
6 xpexg 6709 . . . 4
74, 5, 6syl2anc 661 . . 3
8 relxp 5108 . . . 4
98a1i 11 . . 3
10 dmxpss 5436 . . . 4
1110a1i 11 . . 3
12 gsumxpOLD.f . . 3
13 gsumxpOLD.w . . 3
141, 2, 3, 7, 9, 4, 11, 12, 13gsum2dOLD 16791 . 2 g g g
15 df-ima 5012 . . . . . . 7
16 df-res 5011 . . . . . . . . . . 11
17 inxp 5133 . . . . . . . . . . 11
1816, 17eqtri 2496 . . . . . . . . . 10
19 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
2019snssd 4172 . . . . . . . . . . . 12
21 sseqin2 3717 . . . . . . . . . . . 12
2220, 21sylib 196 . . . . . . . . . . 11
23 inv1 3812 . . . . . . . . . . . 12
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11
2522, 24xpeq12d 5024 . . . . . . . . . 10
2618, 25syl5eq 2520 . . . . . . . . 9
2726rneqd 5228 . . . . . . . 8
28 vex 3116 . . . . . . . . . 10
2928snnz 4145 . . . . . . . . 9
30 rnxp 5435 . . . . . . . . 9
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . 8
3227, 31syl6eq 2524 . . . . . . 7
3315, 32syl5eq 2520 . . . . . 6
3433mpteq1d 4528 . . . . 5
3534oveq2d 6298 . . . 4 g g
3635mpteq2dva 4533 . . 3 g g
3736oveq2d 6298 . 2 g g g g
3814, 37eqtrd 2508 1 g g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  cvv 3113   cdif 3473   cin 3475   wss 3476  c0 3785  csn 4027   cmpt 4505   cxp 4997  ccnv 4998   cdm 4999   crn 5000   cres 5001  cima 5002   wrel 5004  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282  cfn 7513  cbs 14486  c0g 14691   g cgsu 14692  CMndccmn 16594 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator