Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumwsubmcl Structured version   Unicode version

Theorem gsumwsubmcl 15638
 Description: Closure of the composite in any submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
gsumwsubmcl SubMnd Word g

Proof of Theorem gsumwsubmcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6211 . . . 4 g g
2 eqid 2454 . . . . 5
32gsum0 15632 . . . 4 g
41, 3syl6eq 2511 . . 3 g
54eleq1d 2523 . 2 g
6 eqid 2454 . . . 4
7 eqid 2454 . . . 4
8 submrcl 15596 . . . . 5 SubMnd
98ad2antrr 725 . . . 4 SubMnd Word
10 lennncl 12371 . . . . . . 7 Word
1110adantll 713 . . . . . 6 SubMnd Word
12 nnm1nn0 10735 . . . . . 6
1311, 12syl 16 . . . . 5 SubMnd Word
14 nn0uz 11009 . . . . 5
1513, 14syl6eleq 2552 . . . 4 SubMnd Word
16 wrdf 12361 . . . . . . 7 Word ..^
1716ad2antlr 726 . . . . . 6 SubMnd Word ..^
1811nnzd 10860 . . . . . . . 8 SubMnd Word
19 fzoval 11674 . . . . . . . 8 ..^
2018, 19syl 16 . . . . . . 7 SubMnd Word ..^
2120feq2d 5658 . . . . . 6 SubMnd Word ..^
2217, 21mpbid 210 . . . . 5 SubMnd Word
236submss 15600 . . . . . 6 SubMnd
2423ad2antrr 725 . . . . 5 SubMnd Word
25 fss 5678 . . . . 5
2622, 24, 25syl2anc 661 . . . 4 SubMnd Word
276, 7, 9, 15, 26gsumval2 15635 . . 3 SubMnd Word g
2822ffvelrnda 5955 . . . 4 SubMnd Word
29 simpll 753 . . . . 5 SubMnd Word SubMnd
307submcl 15603 . . . . . 6 SubMnd
31303expb 1189 . . . . 5 SubMnd
3229, 31sylan 471 . . . 4 SubMnd Word
3315, 28, 32seqcl 11946 . . 3 SubMnd Word
3427, 33eqeltrd 2542 . 2 SubMnd Word g
352subm0cl 15602 . . 3 SubMnd
3635adantr 465 . 2 SubMnd Word
375, 34, 36pm2.61ne 2767 1 SubMnd Word g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1370   wcel 1758   wne 2648   wss 3439  c0 3748  wf 5525  cfv 5529  (class class class)co 6203  cc0 9396  c1 9397   cmin 9709  cn 10436  cn0 10693  cz 10760  cuz 10975  cfz 11557  ..^cfzo 11668   cseq 11926  chash 12223  Word cword 12342  cbs 14295   cplusg 14360  c0g 14500   g cgsu 14501  cmnd 15531  SubMndcsubmnd 15585 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-word 12350  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-mnd 15537  df-submnd 15587 This theorem is referenced by:  gsumwcl  15640  gsumwspan  15646  frmdss2  15663  psgnunilem5  16122
 Copyright terms: Public domain W3C validator