MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumws2 Structured version   Unicode version

Theorem gsumws2 16212
Description: Valuation of a pair in a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumwcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumccat.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
gsumws2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  e.  B  /\  T  e.  B )  ->  ( G  gsumg 
<" S T "> )  =  ( S  .+  T ) )

Proof of Theorem gsumws2
StepHypRef Expression
1 df-s2 12807 . . . 4  |-  <" S T ">  =  (
<" S "> ++  <" T "> )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  e.  B  /\  T  e.  B )  ->  <" S T ">  =  (
<" S "> ++  <" T "> ) )
32oveq2d 6286 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  e.  B  /\  T  e.  B )  ->  ( G  gsumg 
<" S T "> )  =  ( G  gsumg  ( <" S "> ++  <" T "> ) ) )
4 id 22 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  G  e.  Mnd )
5 s1cl 12606 . . 3  |-  ( S  e.  B  ->  <" S ">  e. Word  B )
6 s1cl 12606 . . 3  |-  ( T  e.  B  ->  <" T ">  e. Word  B )
7 gsumwcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 gsumccat.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
97, 8gsumccat 16211 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  <" S ">  e. Word  B  /\  <" T ">  e. Word  B )  ->  ( G  gsumg  ( <" S "> ++  <" T "> ) )  =  ( ( G  gsumg 
<" S "> )  .+  ( G  gsumg  <" T "> ) ) )
104, 5, 6, 9syl3an 1268 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  e.  B  /\  T  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( <" S "> ++  <" T "> ) )  =  ( ( G  gsumg 
<" S "> )  .+  ( G  gsumg  <" T "> ) ) )
117gsumws1 16209 . . . 4  |-  ( S  e.  B  ->  ( G  gsumg 
<" S "> )  =  S )
127gsumws1 16209 . . . 4  |-  ( T  e.  B  ->  ( G  gsumg 
<" T "> )  =  T )
1311, 12oveqan12d 6289 . . 3  |-  ( ( S  e.  B  /\  T  e.  B )  ->  ( ( G  gsumg  <" S "> )  .+  ( G  gsumg 
<" T "> ) )  =  ( S  .+  T ) )
14133adant1 1012 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  e.  B  /\  T  e.  B )  ->  ( ( G  gsumg  <" S "> )  .+  ( G  gsumg 
<" T "> ) )  =  ( S  .+  T ) )
153, 10, 143eqtrd 2499 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  e.  B  /\  T  e.  B )  ->  ( G  gsumg 
<" S T "> )  =  ( S  .+  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270  Word cword 12521   ++ cconcat 12523   <"cs1 12524   <"cs2 12800   Basecbs 14719   +g cplusg 14787    gsumg cgsu 14933   Mndcmnd 16121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-hash 12391  df-word 12529  df-concat 12531  df-s1 12532  df-s2 12807  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  16722  frgpuplem  16992
  Copyright terms: Public domain W3C validator