Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumwmhm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem gsumwmhm 16707
 Description: Behavior of homomorphisms on finite monoidal sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gsumwmhm.b
Assertion
Ref Expression
gsumwmhm MndHom Word g g

Proof of Theorem gsumwmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6316 . . . . 5 g g
2 eqid 2471 . . . . . 6
32gsum0 16599 . . . . 5 g
41, 3syl6eq 2521 . . . 4 g
54fveq2d 5883 . . 3 g
6 coeq2 4998 . . . . . 6
7 co02 5356 . . . . . 6
86, 7syl6eq 2521 . . . . 5
98oveq2d 6324 . . . 4 g g
10 eqid 2471 . . . . 5
1110gsum0 16599 . . . 4 g
129, 11syl6eq 2521 . . 3 g
135, 12eqeq12d 2486 . 2 g g
14 mhmrcl1 16663 . . . . . 6 MndHom
1514ad2antrr 740 . . . . 5 MndHom Word
16 gsumwmhm.b . . . . . . 7
17 eqid 2471 . . . . . . 7
1816, 17mndcl 16623 . . . . . 6
19183expb 1232 . . . . 5
2015, 19sylan 479 . . . 4 MndHom Word
21 wrdf 12723 . . . . . . 7 Word ..^
2221ad2antlr 741 . . . . . 6 MndHom Word ..^
23 wrdfin 12736 . . . . . . . . . . . 12 Word
2423adantl 473 . . . . . . . . . . 11 MndHom Word
25 hashnncl 12585 . . . . . . . . . . 11
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 MndHom Word
2726biimpar 493 . . . . . . . . 9 MndHom Word
2827nnzd 11062 . . . . . . . 8 MndHom Word
29 fzoval 11948 . . . . . . . 8 ..^
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 MndHom Word ..^
3130feq2d 5725 . . . . . 6 MndHom Word ..^
3222, 31mpbid 215 . . . . 5 MndHom Word
3332ffvelrnda 6037 . . . 4 MndHom Word
34 nnm1nn0 10935 . . . . . 6
3527, 34syl 17 . . . . 5 MndHom Word
36 nn0uz 11217 . . . . 5
3735, 36syl6eleq 2559 . . . 4 MndHom Word
38 simpll 768 . . . . 5 MndHom Word MndHom
39 eqid 2471 . . . . . . 7
4016, 17, 39mhmlin 16667 . . . . . 6 MndHom
41403expb 1232 . . . . 5 MndHom
4238, 41sylan 479 . . . 4 MndHom Word
43 ffn 5739 . . . . . . 7
4432, 43syl 17 . . . . . 6 MndHom Word
45 fvco2 5955 . . . . . 6
4644, 45sylan 479 . . . . 5 MndHom Word
4746eqcomd 2477 . . . 4 MndHom Word
4820, 33, 37, 42, 47seqhomo 12298 . . 3 MndHom Word
4916, 17, 15, 37, 32gsumval2 16601 . . . 4 MndHom Word g
5049fveq2d 5883 . . 3 MndHom Word g
51 eqid 2471 . . . 4
52 mhmrcl2 16664 . . . . 5 MndHom
5352ad2antrr 740 . . . 4 MndHom Word
5416, 51mhmf 16665 . . . . . 6 MndHom
5554ad2antrr 740 . . . . 5 MndHom Word
56 fco 5751 . . . . 5
5755, 32, 56syl2anc 673 . . . 4 MndHom Word
5851, 39, 53, 37, 57gsumval2 16601 . . 3 MndHom Word g
5948, 50, 583eqtr4d 2515 . 2 MndHom Word g g
602, 10mhm0 16668 . . 3 MndHom
6160adantr 472 . 2 MndHom Word
6213, 59, 61pm2.61ne 2728 1 MndHom Word g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  c0 3722   ccom 4843   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc0 9557  c1 9558   cmin 9880  cn 10631  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  ..^cfzo 11942   cseq 12251  chash 12553  Word cword 12703  cbs 15199   cplusg 15268  c0g 15416   g cgsu 15417  cmnd 16613   MndHom cmhm 16658 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-word 12711  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660 This theorem is referenced by:  frmdup3lem  16728  symgtrinv  17191  frgpup3lem  17505
 Copyright terms: Public domain W3C validator