Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumvsmulOLD Structured version   Unicode version

Theorem gsumvsmulOLD 17785
 Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. EDITORIAL: properly generalizes gsummulc2OLD 17465, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.) Obsolete version of gsumvsmul 17784 as of 10-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsmulOLD.b
gsumvsmulOLD.s Scalar
gsumvsmulOLD.k
gsumvsmulOLD.z
gsumvsmulOLD.p
gsumvsmulOLD.t
gsumvsmulOLD.r
gsumvsmulOLD.a
gsumvsmulOLD.x
gsumvsmulOLD.y
gsumvsmulOLD.n
Assertion
Ref Expression
gsumvsmulOLD g g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem gsumvsmulOLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsmulOLD.b . 2
2 gsumvsmulOLD.z . 2
3 gsumvsmulOLD.r . . 3
4 lmodcmn 17768 . . 3 CMnd
53, 4syl 17 . 2 CMnd
6 cmnmnd 17027 . . 3 CMnd
75, 6syl 17 . 2
8 gsumvsmulOLD.a . 2
9 gsumvsmulOLD.x . . . 4
10 gsumvsmulOLD.s . . . . 5 Scalar
11 gsumvsmulOLD.t . . . . 5
12 gsumvsmulOLD.k . . . . 5
131, 10, 11, 12lmodvsghm 17781 . . . 4
143, 9, 13syl2anc 659 . . 3
15 ghmmhm 16491 . . 3 MndHom
1614, 15syl 17 . 2 MndHom
17 gsumvsmulOLD.y . 2
18 gsumvsmulOLD.n . 2
19 oveq2 6240 . 2
20 oveq2 6240 . 2 g g
211, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20gsummhm2OLD 17175 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1403   wcel 1840  cvv 3056   cdif 3408  csn 3969   cmpt 4450  ccnv 4939  cima 4943  cfv 5523  (class class class)co 6232  cfn 7472  cbs 14731   cplusg 14799  Scalarcsca 14802  cvsca 14803  c0g 14944   g cgsu 14945  cmnd 16133   MndHom cmhm 16178   cghm 16478  CMndccmn 17012  clmod 17722 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-oi 7887  df-card 8270  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-seq 12060  df-hash 12358  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-plusg 14812  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-mhm 16180  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-ghm 16479  df-cntz 16569  df-cmn 17014  df-abl 17015  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-lmod 17724 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator