MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumvsmulOLD Structured version   Unicode version

Theorem gsumvsmulOLD 17785
Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. EDITORIAL: properly generalizes gsummulc2OLD 17465, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.) Obsolete version of gsumvsmul 17784 as of 10-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsmulOLD.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
gsumvsmulOLD.s  |-  S  =  (Scalar `  R )
gsumvsmulOLD.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
gsumvsmulOLD.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsumvsmulOLD.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
gsumvsmulOLD.t  |-  .x.  =  ( .s `  R )
gsumvsmulOLD.r  |-  ( ph  ->  R  e.  LMod )
gsumvsmulOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumvsmulOLD.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
gsumvsmulOLD.y  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Y  e.  B )
gsumvsmulOLD.n  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
gsumvsmulOLD  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    .x. , k    S, k    k, K    k, X    .0. , k
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    R( k)    V( k)    Y( k)

Proof of Theorem gsumvsmulOLD
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsmulOLD.b . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 gsumvsmulOLD.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 gsumvsmulOLD.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  LMod )
4 lmodcmn 17768 . . 3  |-  ( R  e.  LMod  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6 cmnmnd 17027 . . 3  |-  ( R  e. CMnd  ->  R  e.  Mnd )
75, 6syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
8 gsumvsmulOLD.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 gsumvsmulOLD.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
10 gsumvsmulOLD.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  R )
11 gsumvsmulOLD.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  R )
12 gsumvsmulOLD.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  S
)
131, 10, 11, 12lmodvsghm 17781 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
y  e.  B  |->  ( X  .x.  y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R ) )
143, 9, 13syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  ( X  .x.  y
) )  e.  ( R  GrpHom  R ) )
15 ghmmhm 16491 . . 3  |-  ( ( y  e.  B  |->  ( X  .x.  y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R )  ->  (
y  e.  B  |->  ( X  .x.  y ) )  e.  ( R MndHom  R ) )
1614, 15syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  ( X  .x.  y
) )  e.  ( R MndHom  R ) )
17 gsumvsmulOLD.y . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Y  e.  B )
18 gsumvsmulOLD.n . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
19 oveq2 6240 . 2  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .x.  y )  =  ( X  .x.  Y
) )
20 oveq2 6240 . 2  |-  ( y  =  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) )  ->  ( X  .x.  y )  =  ( X  .x.  ( R 
gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) ) ) )
211, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20gsummhm2OLD 17175 1  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   _Vcvv 3056    \ cdif 3408   {csn 3969    |-> cmpt 4450   `'ccnv 4939   "cima 4943   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Fincfn 7472   Basecbs 14731   +g cplusg 14799  Scalarcsca 14802   .scvsca 14803   0gc0g 14944    gsumg cgsu 14945   Mndcmnd 16133   MndHom cmhm 16178    GrpHom cghm 16478  CMndccmn 17012   LModclmod 17722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-oi 7887  df-card 8270  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-seq 12060  df-hash 12358  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-plusg 14812  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-mhm 16180  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-ghm 16479  df-cntz 16569  df-cmn 17014  df-abl 17015  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-lmod 17724
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator