MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumvsmulOLD Structured version   Unicode version

Theorem gsumvsmulOLD 17353
Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. EDITORIAL: properly generalizes gsummulc2OLD 17034, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.) Obsolete version of gsumvsmul 17352 as of 10-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsmulOLD.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
gsumvsmulOLD.s  |-  S  =  (Scalar `  R )
gsumvsmulOLD.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
gsumvsmulOLD.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsumvsmulOLD.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
gsumvsmulOLD.t  |-  .x.  =  ( .s `  R )
gsumvsmulOLD.r  |-  ( ph  ->  R  e.  LMod )
gsumvsmulOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumvsmulOLD.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
gsumvsmulOLD.y  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Y  e.  B )
gsumvsmulOLD.n  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
gsumvsmulOLD  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    .x. , k    S, k    k, K    k, X    .0. , k
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    R( k)    V( k)    Y( k)

Proof of Theorem gsumvsmulOLD
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsmulOLD.b . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 gsumvsmulOLD.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 gsumvsmulOLD.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  LMod )
4 lmodcmn 17336 . . 3  |-  ( R  e.  LMod  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6 cmnmnd 16604 . . 3  |-  ( R  e. CMnd  ->  R  e.  Mnd )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
8 gsumvsmulOLD.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 gsumvsmulOLD.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
10 gsumvsmulOLD.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  R )
11 gsumvsmulOLD.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  R )
12 gsumvsmulOLD.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  S
)
131, 10, 11, 12lmodvsghm 17349 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
y  e.  B  |->  ( X  .x.  y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R ) )
143, 9, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  ( X  .x.  y
) )  e.  ( R  GrpHom  R ) )
15 ghmmhm 16067 . . 3  |-  ( ( y  e.  B  |->  ( X  .x.  y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R )  ->  (
y  e.  B  |->  ( X  .x.  y ) )  e.  ( R MndHom  R ) )
1614, 15syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  ( X  .x.  y
) )  e.  ( R MndHom  R ) )
17 gsumvsmulOLD.y . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Y  e.  B )
18 gsumvsmulOLD.n . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
19 oveq2 6285 . 2  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .x.  y )  =  ( X  .x.  Y
) )
20 oveq2 6285 . 2  |-  ( y  =  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) )  ->  ( X  .x.  y )  =  ( X  .x.  ( R 
gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) ) ) )
211, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20gsummhm2OLD 16748 1  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108    \ cdif 3468   {csn 4022    |-> cmpt 4500   `'ccnv 4993   "cima 4997   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   Basecbs 14481   +g cplusg 14546  Scalarcsca 14549   .scvsca 14550   0gc0g 14686    gsumg cgsu 14687   Mndcmnd 15717   MndHom cmhm 15770    GrpHom cghm 16054  CMndccmn 16589   LModclmod 17290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-hash 12363  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-plusg 14559  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-mnd 15723  df-mhm 15772  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-ghm 16055  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-lmod 17292
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator