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Theorem gsumvsca2 27437
Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsca.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
gsumvsca.g  |-  G  =  (Scalar `  W )
gsumvsca.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
gsumvsca.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
gsumvsca.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
gsumvsca.k  |-  ( ph  ->  K  C_  ( Base `  G ) )
gsumvsca.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumvsca.w  |-  ( ph  ->  W  e. SLMod )
gsumvsca2.n  |-  ( ph  ->  Q  e.  B )
gsumvsca2.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  K )
Assertion
Ref Expression
gsumvsca2  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) )
Distinct variable groups:    .x. , k    A, k    k, W    ph, k    B, k    k, G    k, K    Q, k
Allowed substitution hints:    P( k)    .+ ( k)    .0. ( k)

Proof of Theorem gsumvsca2
Dummy variables  e 
a  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsca.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 ssid 3523 . . 3  |-  A  C_  A
3 sseq1 3525 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
43anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  (/)  C_  A ) ) )
5 mpteq1 4527 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( k  e.  a  |->  ( P 
.x.  Q ) )  =  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )
65oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( W 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) ) )
7 mpteq1 4527 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  ( k  e.  a  |->  P )  =  ( k  e.  (/)  |->  P ) )
87oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) ) )
98oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q ) )
106, 9eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
114, 10imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  a  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q ) )  <->  ( ( ph  /\  (/)  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
12 sseq1 3525 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  (
a  C_  A  <->  e  C_  A ) )
1312anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( a  =  e  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  e  C_  A )
) )
14 mpteq1 4527 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  (
k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
1514oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) ) )
16 mpteq1 4527 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  e  ->  (
k  e.  a  |->  P )  =  ( k  e.  e  |->  P ) )
1716oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) ) )
1817oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )
1915, 18eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( a  =  e  ->  (
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
2013, 19imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  e  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q ) )  <->  ( ( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
21 sseq1 3525 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( a  C_  A 
<->  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )
2221anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  /\  a  C_  A )  <->  (
ph  /\  ( e  u.  { z } ) 
C_  A ) ) )
23 mpteq1 4527 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
2423oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( W 
gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) ) )
25 mpteq1 4527 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  a  |->  P )  =  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )
2625oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) ) )
2726oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( G 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) )
2824, 27eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( W 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
2922, 28imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( (
ph  /\  a  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q ) )  <->  ( ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
30 sseq1 3525 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
a  C_  A  <->  A  C_  A
) )
3130anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  A  C_  A )
) )
32 mpteq1 4527 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
3332oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) ) )
34 mpteq1 4527 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  (
k  e.  a  |->  P )  =  ( k  e.  A  |->  P ) )
3534oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) ) )
3635oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) )
3733, 36eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
3831, 37imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q ) )  <->  ( ( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
39 gsumvsca.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e. SLMod )
40 gsumvsca2.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  B )
41 gsumvsca.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  W
)
42 gsumvsca.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  (Scalar `  W )
43 gsumvsca.t . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( .s `  W )
44 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
45 gsumvsca.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4641, 42, 43, 44, 45slmd0vs 27429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  Q  e.  B )  ->  (
( 0g `  G
)  .x.  Q )  =  .0.  )
4739, 40, 46syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  G )  .x.  Q
)  =  .0.  )
4847eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( ( 0g `  G ) 
.x.  Q ) )
49 mpt0 5706 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  (/)
5049oveq2i 6293 . . . . . . . 8  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( W  gsumg  (/) )
5145gsum0 15823 . . . . . . . 8  |-  ( W 
gsumg  (/) )  =  .0.
5250, 51eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  .0.
53 mpt0 5706 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  (/)  |->  P )  =  (/)
5453oveq2i 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( G 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  =  ( G  gsumg  (/) )
5544gsum0 15823 . . . . . . . . 9  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  G )
5654, 55eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  ( G 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  =  ( 0g `  G
)
5756oveq1i 6292 . . . . . . 7  |-  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( 0g `  G
)  .x.  Q )
5848, 52, 573eqtr4g 2533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q ) )
5958adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  A
)  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q ) )
60 ssun1 3667 . . . . . . . . 9  |-  e  C_  ( e  u.  {
z } )
61 sstr2 3511 . . . . . . . . 9  |-  ( e 
C_  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( e  u.  { z } )  C_  A  ->  e 
C_  A ) )
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  u.  { z } )  C_  A  ->  e  C_  A )
6362anim2i 569 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { z } ) 
C_  A )  -> 
( ph  /\  e  C_  A ) )
6463imim1i 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
6539ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  W  e. SLMod )
66 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
6742slmdsrg 27412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. SLMod  ->  G  e. SRing )
68 srgcmn 16950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e. SRing  ->  G  e. CMnd )
6965, 67, 683syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  G  e. CMnd )
70 vex 3116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  e  e. 
_V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  e.  _V )
72 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  ph )
73 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( e  u.  {
z } )  C_  A )
7473unssad 3681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  C_  A )
7574sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  k  e.  A )
76 gsumvsca.k . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  C_  ( Base `  G ) )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  K  C_  ( Base `  G
) )
78 gsumvsca2.c . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  K )
7977, 78sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  ( Base `  G
) )
8072, 75, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  P  e.  ( Base `  G )
)
81 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  e  |->  P )  =  ( k  e.  e  |->  P )
8280, 81fmptd 6043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( k  e.  e 
|->  P ) : e --> ( Base `  G
) )
83 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  e.  Fin )
8472, 75, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  P  e.  K )
85 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( 0g `  G
)  e.  _V )
8781, 83, 84, 86fsuppmptdm 7836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( k  e.  e 
|->  P ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
8866, 44, 69, 71, 82, 87gsumcl 16714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  e.  ( Base `  G
) )
8973unssbd 3682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  { z }  C_  A )
90 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
9190snss 4151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
9289, 91sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  A )
9379ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  P  e.  ( Base `  G ) )
9493ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  A. k  e.  A  P  e.  ( Base `  G ) )
95 rspcsbela 3853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  A  /\  A. k  e.  A  P  e.  ( Base `  G
) )  ->  [_ z  /  k ]_ P  e.  ( Base `  G
) )
9692, 94, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  [_ z  /  k ]_ P  e.  ( Base `  G ) )
9740ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  Q  e.  B )
98 gsumvsca.p . . . . . . . . . . . 12  |-  .+  =  ( +g  `  W )
99 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
10041, 98, 42, 43, 66, 99slmdvsdir 27421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  (
( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  e.  ( Base `  G
)  /\  [_ z  / 
k ]_ P  e.  (
Base `  G )  /\  Q  e.  B
) )  ->  (
( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) ) ( +g  `  G
) [_ z  /  k ]_ P )  .x.  Q
)  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
10165, 88, 96, 97, 100syl13anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( ( ( G 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) ) ( +g  `  G )
[_ z  /  k ]_ P )  .x.  Q
)  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
102101adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( ( ( G 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) ) ( +g  `  G )
[_ z  /  k ]_ P )  .x.  Q
)  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
103 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ P
10490a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  _V )
105 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  -.  z  e.  e
)
106 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  z  ->  P  =  [_ z  /  k ]_ P )
107103, 66, 99, 69, 83, 80, 104, 105, 96, 106gsumunsnf 16776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) ) ( +g  `  G )
[_ z  /  k ]_ P ) )
108107oveq1d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) ) ( +g  `  G
) [_ z  /  k ]_ P )  .x.  Q
) )
109108adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) ) ( +g  `  G
) [_ z  /  k ]_ P )  .x.  Q
) )
110 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k  .x.
111 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k Q
112103, 110, 111nfov 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q )
113 slmdcmn 27410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. SLMod  ->  W  e. CMnd )
11465, 113syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  W  e. CMnd )
11572, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  W  e. SLMod )
11672, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  Q  e.  B )
11741, 42, 43, 66slmdvscl 27419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  P  e.  ( Base `  G
)  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .x.  Q )  e.  B )
118115, 80, 116, 117syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  ( P  .x.  Q )  e.  B
)
11941, 42, 43, 66slmdvscl 27419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  [_ z  /  k ]_ P  e.  ( Base `  G
)  /\  Q  e.  B )  ->  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q )  e.  B )
12065, 96, 97, 119syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q )  e.  B )
121106oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  z  ->  ( P  .x.  Q )  =  ( [_ z  / 
k ]_ P  .x.  Q
) )
122112, 41, 98, 114, 83, 118, 104, 105, 120, 121gsumunsnf 16776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
123122adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
124 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) )
125124oveq1d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) )  =  ( ( ( G 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
126123, 125eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
127102, 109, 1263eqtr4rd 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) )
128127exp31 604 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
129128a2d 26 . . . . . 6  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  (
e  u.  { z } )  C_  A
)  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
13064, 129syl5 32 . . . . 5  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
13111, 20, 29, 38, 59, 130findcard2s 7757 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
132131imp 429 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( ph  /\  A  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) )
1332, 132mpanr2 684 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ph )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) )
1341, 133mpancom 669 1  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   [_csb 3435    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027    |-> cmpt 4505   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   Basecbs 14486   +g cplusg 14551  Scalarcsca 14554   .scvsca 14555   0gc0g 14691    gsumg cgsu 14692  CMndccmn 16594  SRingcsrg 16947  SLModcslmd 27405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-srg 16948  df-slmd 27406
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