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Theorem gsumvsca2 26203
Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsca.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
gsumvsca.g  |-  G  =  (Scalar `  W )
gsumvsca.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
gsumvsca.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
gsumvsca.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
gsumvsca.k  |-  ( ph  ->  K  C_  ( Base `  G ) )
gsumvsca.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumvsca.w  |-  ( ph  ->  W  e. SLMod )
gsumvsca2.n  |-  ( ph  ->  Q  e.  B )
gsumvsca2.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  K )
Assertion
Ref Expression
gsumvsca2  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) )
Distinct variable groups:    .x. , k    A, k    k, W    ph, k    B, k    k, G    Q, k
Allowed substitution hints:    P( k)    .+ ( k)    K( k)    .0. ( k)

Proof of Theorem gsumvsca2
Dummy variables  e 
a  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsca.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 ssid 3370 . . 3  |-  A  C_  A
3 sseq1 3372 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
43anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  (/)  C_  A ) ) )
5 mpteq1 4367 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( k  e.  a  |->  ( P 
.x.  Q ) )  =  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )
65oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( W 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) ) )
7 mpteq1 4367 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  ( k  e.  a  |->  P )  =  ( k  e.  (/)  |->  P ) )
87oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) ) )
98oveq1d 6101 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q ) )
106, 9eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
114, 10imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  a  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q ) )  <->  ( ( ph  /\  (/)  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
12 sseq1 3372 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  (
a  C_  A  <->  e  C_  A ) )
1312anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( a  =  e  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  e  C_  A )
) )
14 mpteq1 4367 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  (
k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
1514oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) ) )
16 mpteq1 4367 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  e  ->  (
k  e.  a  |->  P )  =  ( k  e.  e  |->  P ) )
1716oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) ) )
1817oveq1d 6101 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )
1915, 18eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( a  =  e  ->  (
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
2013, 19imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  e  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q ) )  <->  ( ( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
21 sseq1 3372 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( a  C_  A 
<->  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )
2221anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  /\  a  C_  A )  <->  (
ph  /\  ( e  u.  { z } ) 
C_  A ) ) )
23 mpteq1 4367 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
2423oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( W 
gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) ) )
25 mpteq1 4367 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  a  |->  P )  =  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )
2625oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) ) )
2726oveq1d 6101 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( G 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) )
2824, 27eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( W 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
2922, 28imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( (
ph  /\  a  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q ) )  <->  ( ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
30 sseq1 3372 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
a  C_  A  <->  A  C_  A
) )
3130anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  A  C_  A )
) )
32 mpteq1 4367 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
3332oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) ) )
34 mpteq1 4367 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  (
k  e.  a  |->  P )  =  ( k  e.  A  |->  P ) )
3534oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) ) )
3635oveq1d 6101 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) )
3733, 36eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
3831, 37imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q ) )  <->  ( ( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
39 gsumvsca.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e. SLMod )
40 gsumvsca2.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  B )
41 gsumvsca.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  W
)
42 gsumvsca.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  (Scalar `  W )
43 gsumvsca.t . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( .s `  W )
44 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
45 gsumvsca.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4641, 42, 43, 44, 45slmd0vs 26191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  Q  e.  B )  ->  (
( 0g `  G
)  .x.  Q )  =  .0.  )
4739, 40, 46syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  G )  .x.  Q
)  =  .0.  )
48 eqcom 2440 . . . . . . . 8  |-  (  .0.  =  ( ( 0g
`  G )  .x.  Q )  <->  ( ( 0g `  G )  .x.  Q )  =  .0.  )
4947, 48sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( ( 0g `  G ) 
.x.  Q ) )
50 mpt0 5533 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  (/)
5150oveq2i 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( W  gsumg  (/) )
5245gsum0 15501 . . . . . . . . 9  |-  ( W 
gsumg  (/) )  =  .0.
5351, 52eqtri 2458 . . . . . . . 8  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  .0.
54 mpt0 5533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  (/)  |->  P )  =  (/)
5554oveq2i 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( G 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  =  ( G  gsumg  (/) )
5644gsum0 15501 . . . . . . . . . 10  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  G )
5755, 56eqtri 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( G 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  =  ( 0g `  G
)
5857oveq1i 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( 0g `  G
)  .x.  Q )
5953, 58eqeq12i 2451 . . . . . . 7  |-  ( ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q )  <->  .0.  =  ( ( 0g `  G )  .x.  Q
) )
6049, 59sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q ) )
6160adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  A
)  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q ) )
62 ssun1 3514 . . . . . . . . 9  |-  e  C_  ( e  u.  {
z } )
63 sstr2 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( e 
C_  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( e  u.  { z } )  C_  A  ->  e 
C_  A ) )
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  u.  { z } )  C_  A  ->  e  C_  A )
6564anim2i 569 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { z } ) 
C_  A )  -> 
( ph  /\  e  C_  A ) )
6665imim1i 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
6739ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  W  e. SLMod )
68 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
6942slmdsrg 26174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. SLMod  ->  G  e. SRing )
70 srgcmn 16598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e. SRing  ->  G  e. CMnd )
7167, 69, 703syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  G  e. CMnd )
72 vex 2970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  e  e. 
_V
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  e.  _V )
74 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  ph )
75 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( e  u.  {
z } )  C_  A )
7662, 75syl5ss 3362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  C_  A )
7776sselda 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  k  e.  A )
78 gsumvsca.k . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  K  C_  ( Base `  G ) )
7978adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  K  C_  ( Base `  G
) )
80 gsumvsca2.c . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  K )
8179, 80sseldd 3352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  ( Base `  G
) )
8274, 77, 81syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  P  e.  ( Base `  G )
)
83 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  e  |->  P )  =  ( k  e.  e  |->  P )
8482, 83fmptd 5862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( k  e.  e 
|->  P ) : e --> ( Base `  G
) )
85 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  e.  Fin )
8685, 84fisuppfi 7620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( `' ( k  e.  e  |->  P )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  e.  Fin )
8768, 44, 71, 73, 84, 86gsumclOLD 16391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  e.  ( Base `  G
) )
88 ssun2 3515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { z }  C_  ( e  u.  { z } )
8988, 75syl5ss 3362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  { z }  C_  A )
90 vex 2970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
9190snss 3994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
9289, 91sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  A )
9381ralrimiva 2794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  P  e.  ( Base `  G ) )
9493ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  A. k  e.  A  P  e.  ( Base `  G ) )
95 rspcsbela 3700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  A  /\  A. k  e.  A  P  e.  ( Base `  G
) )  ->  [_ z  /  k ]_ P  e.  ( Base `  G
) )
9692, 94, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  [_ z  /  k ]_ P  e.  ( Base `  G ) )
9740ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  Q  e.  B )
98 gsumvsca.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  .+  =  ( +g  `  W )
99 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
10041, 98, 42, 43, 68, 99slmdvsdir 26183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  (
( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  e.  ( Base `  G
)  /\  [_ z  / 
k ]_ P  e.  (
Base `  G )  /\  Q  e.  B
) )  ->  (
( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) ) ( +g  `  G
) [_ z  /  k ]_ P )  .x.  Q
)  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
10167, 87, 96, 97, 100syl13anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( ( ( G 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) ) ( +g  `  G )
[_ z  /  k ]_ P )  .x.  Q
)  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
102101adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( ( ( G 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) ) ( +g  `  G )
[_ z  /  k ]_ P )  .x.  Q
)  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
103 nfcsb1v 3299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ P
10490a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  _V )
105 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  -.  z  e.  e
)
106 csbeq1a 3292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  z  ->  P  =  [_ z  /  k ]_ P )
107103, 68, 99, 71, 85, 82, 104, 105, 96, 106gsumunsnf 26196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) ) ( +g  `  G )
[_ z  /  k ]_ P ) )
108107oveq1d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) ) ( +g  `  G
) [_ z  /  k ]_ P )  .x.  Q
) )
109108adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) ) ( +g  `  G
) [_ z  /  k ]_ P )  .x.  Q
) )
110 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k  .x.
111 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k Q
112103, 110, 111nfov 6109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q )
113 slmdcmn 26172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. SLMod  ->  W  e. CMnd )
11467, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  W  e. CMnd )
11574, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  W  e. SLMod )
11674, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  Q  e.  B )
11741, 42, 43, 68slmdvscl 26181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  P  e.  ( Base `  G
)  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .x.  Q )  e.  B )
118115, 82, 116, 117syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  ( P  .x.  Q )  e.  B
)
11941, 42, 43, 68slmdvscl 26181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  [_ z  /  k ]_ P  e.  ( Base `  G
)  /\  Q  e.  B )  ->  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q )  e.  B )
12067, 96, 97, 119syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q )  e.  B )
121106oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  z  ->  ( P  .x.  Q )  =  ( [_ z  / 
k ]_ P  .x.  Q
) )
122112, 41, 98, 114, 85, 118, 104, 105, 120, 121gsumunsnf 26196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
123122adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
124 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) )
125124oveq1d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) )  =  ( ( ( G 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
126123, 125eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
127102, 109, 1263eqtr4rd 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) )
128127ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
129128ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
130129a2d 26 . . . . . 6  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  (
e  u.  { z } )  C_  A
)  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
13166, 130syl5 32 . . . . 5  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
13211, 20, 29, 38, 61, 131findcard2s 7545 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
133132imp 429 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( ph  /\  A  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) )
1342, 133mpanr2 684 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ph )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) )
1351, 134mpancom 669 1  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   _Vcvv 2967   [_csb 3283    \ cdif 3320    u. cun 3321    C_ wss 3323   (/)c0 3632   {csn 3872    e. cmpt 4345   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   Basecbs 14166   +g cplusg 14230  Scalarcsca 14233   .scvsca 14234   0gc0g 14370    gsumg cgsu 14371  CMndccmn 16268  SRingcsrg 16595  SLModcslmd 26167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-srg 16596  df-slmd 26168
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