Theorem gsumvsca2 28620

Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumvsca.b	|- B = ( Base ` W )
gsumvsca.g	|- G = (Scalar ` W )
gsumvsca.z	|- .0. = ( 0g ` W )
gsumvsca.t	|- .x. = ( .s ` W )
gsumvsca.p	|- .+ = ( +g ` W )
gsumvsca.k	|- ( ph -> K C_ ( Base ` G ) )
gsumvsca.a	|- ( ph -> A e. Fin )
gsumvsca.w	|- ( ph -> W e. SLMod )
gsumvsca2.n	|- ( ph -> Q e. B )
gsumvsca2.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> P e. K )

Assertion

Ref	Expression
gsumvsca2	|- ( ph -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) )

Distinct variable groups:   .x. , k   A, k   k, W   ph, k   B, k   k, G   k, K   Q, k

Allowed substitution hints:   P( k)   .+ ( k)   .0. ( k)

Proof of Theorem gsumvsca2

Dummy variables e a z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumvsca.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
2		ssid 3437	. . 3 |- A C_ A
3		sseq1 3439	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( a C_ A <-> (/) C_ A ) )
4	3	anbi2d 718	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ (/) C_ A ) ) )
5		mpteq1 4476	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) = ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) )
6	5	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) )
7		mpteq1 4476	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> ( k e. a |-> P ) = ( k e. (/) |-> P ) )
8	7	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) = ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) )
9	8	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) .x. Q ) )
10	6, 9	eqeq12d 2486	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) <-> ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) .x. Q ) ) )
11	4, 10	imbi12d 327	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) ) <-> ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
12		sseq1 3439	. . . . . . 7 |- ( a = e -> ( a C_ A <-> e C_ A ) )
13	12	anbi2d 718	. . . . . 6 |- ( a = e -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ e C_ A ) ) )
14		mpteq1 4476	. . . . . . . 8 |- ( a = e -> ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) = ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) )
15	14	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( a = e -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) )
16		mpteq1 4476	. . . . . . . . 9 |- ( a = e -> ( k e. a |-> P ) = ( k e. e |-> P ) )
17	16	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( a = e -> ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) = ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) )
18	17	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( a = e -> ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) )
19	15, 18	eqeq12d 2486	. . . . . 6 |- ( a = e -> ( ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) <-> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) )
20	13, 19	imbi12d 327	. . . . 5 |- ( a = e -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) ) <-> ( ( ph /\ e C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
21		sseq1 3439	. . . . . . 7 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( a C_ A <-> ( e u. { z } ) C_ A ) )
22	21	anbi2d 718	. . . . . 6 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) )
23		mpteq1 4476	. . . . . . . 8 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) = ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) )
24	23	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) )
25		mpteq1 4476	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( k e. a |-> P ) = ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) )
26	25	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) = ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) )
27	26	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) )
28	24, 27	eqeq12d 2486	. . . . . 6 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) <-> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) ) )
29	22, 28	imbi12d 327	. . . . 5 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) ) <-> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
30		sseq1 3439	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( a C_ A <-> A C_ A ) )
31	30	anbi2d 718	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ A C_ A ) ) )
32		mpteq1 4476	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) = ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) )
33	32	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) )
34		mpteq1 4476	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( k e. a |-> P ) = ( k e. A |-> P ) )
35	34	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) = ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) )
36	35	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) )
37	33, 36	eqeq12d 2486	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) <-> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) ) )
38	31, 37	imbi12d 327	. . . . 5 |- ( a = A -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) ) <-> ( ( ph /\ A C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
39		gsumvsca.w	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. SLMod )
40		gsumvsca2.n	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. B )
41		gsumvsca.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` W )
42		gsumvsca.g	. . . . . . . . . 10 |- G = (Scalar ` W )
43		gsumvsca.t	. . . . . . . . . 10 |- .x. = ( .s ` W )
44		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
45		gsumvsca.z	. . . . . . . . . 10 |- .0. = ( 0g ` W )
46	41, 42, 43, 44, 45	slmd0vs 28614	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. SLMod /\ Q e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .x. Q ) = .0. )
47	39, 40, 46	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 0g ` G ) .x. Q ) = .0. )
48	47	eqcomd 2477	. . . . . . 7 |- ( ph -> .0. = ( ( 0g ` G ) .x. Q ) )
49		mpt0 5715	. . . . . . . . 9 |- ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) = (/)
50	49	oveq2i 6319	. . . . . . . 8 |- ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsumg (/) )
51	45	gsum0 16599	. . . . . . . 8 |- ( W gsumg (/) ) = .0.
52	50, 51	eqtri 2493	. . . . . . 7 |- ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = .0.
53		mpt0 5715	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. (/) |-> P ) = (/)
54	53	oveq2i 6319	. . . . . . . . 9 |- ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) = ( G gsumg (/) )
55	44	gsum0 16599	. . . . . . . . 9 |- ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G )
56	54, 55	eqtri 2493	. . . . . . . 8 |- ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) = ( 0g ` G )
57	56	oveq1i 6318	. . . . . . 7 |- ( ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( 0g ` G ) .x. Q )
58	48, 52, 57	3eqtr4g 2530	. . . . . 6 |- ( ph -> ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) .x. Q ) )
59	58	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) .x. Q ) )
60		ssun1 3588	. . . . . . . . 9 |- e C_ ( e u. { z } )
61		sstr2 3425	. . . . . . . . 9 |- ( e C_ ( e u. { z } ) -> ( ( e u. { z } ) C_ A -> e C_ A ) )
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( e u. { z } ) C_ A -> e C_ A )
63	62	anim2i 579	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( ph /\ e C_ A ) )
64	63	imim1i 59	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) )
65	39	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> W e. SLMod )
66		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
67	42	slmdsrg 28597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. SLMod -> G e. SRing )
68		srgcmn 17820	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. SRing -> G e. CMnd )
69	65, 67, 68	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> G e. CMnd )
70		vex 3034	. . . . . . . . . . . . 13 |- e e. _V
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> e e. _V )
72		simplrl 778	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> ph )
73		simprr 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( e u. { z } ) C_ A )
74	73	unssad 3602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> e C_ A )
75	74	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> k e. A )
76		gsumvsca.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> K C_ ( Base ` G ) )
77	76	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> K C_ ( Base ` G ) )
78		gsumvsca2.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> P e. K )
79	77, 78	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> P e. ( Base ` G ) )
80	72, 75, 79	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> P e. ( Base ` G ) )
81		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. e |-> P ) = ( k e. e |-> P )
82	80, 81	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( k e. e |-> P ) : e --> ( Base ` G ) )
83		simpll 768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> e e. Fin )
84	72, 75, 78	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> P e. K )
85		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` G ) e. _V
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
87	81, 83, 84, 86	fsuppmptdm 7912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( k e. e |-> P ) finSupp ( 0g ` G ) )
88	66, 44, 69, 71, 82, 87	gsumcl 17627	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) e. ( Base ` G ) )
89	73	unssbd 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> { z } C_ A )
90		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
91	90	snss 4087	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. A <-> { z } C_ A )
92	89, 91	sylibr 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A )
93	79	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. k e. A P e. ( Base ` G ) )
94	93	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> A. k e. A P e. ( Base ` G ) )
95		rspcsbela 3799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. A /\ A. k e. A P e. ( Base ` G ) ) -> [_ z / k ]_ P e. ( Base ` G ) )
96	92, 94, 95	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> [_ z / k ]_ P e. ( Base ` G ) )
97	40	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> Q e. B )
98		gsumvsca.p	. . . . . . . . . . . 12 |- .+ = ( +g ` W )
99		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
100	41, 98, 42, 43, 66, 99	slmdvsdir 28606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. SLMod /\ ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) e. ( Base ` G ) /\ [_ z / k ]_ P e. ( Base ` G ) /\ Q e. B ) ) -> ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) ( +g ` G ) [_ z / k ]_ P ) .x. Q ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
101	65, 88, 96, 97, 100	syl13anc 1294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) ( +g ` G ) [_ z / k ]_ P ) .x. Q ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
102	101	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) ( +g ` G ) [_ z / k ]_ P ) .x. Q ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
103		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k [_ z / k ]_ P
104	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. _V )
105		simplr 770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> -. z e. e )
106		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = z -> P = [_ z / k ]_ P )
107	103, 66, 99, 69, 83, 80, 104, 105, 96, 106	gsumunsnf 17669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) ( +g ` G ) [_ z / k ]_ P ) )
108	107	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) ( +g ` G ) [_ z / k ]_ P ) .x. Q ) )
109	108	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) ( +g ` G ) [_ z / k ]_ P ) .x. Q ) )
110		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k .x.
111		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k Q
112	103, 110, 111	nfov 6334	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k ( [_ z / k ]_ P .x. Q )
113		slmdcmn 28595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. SLMod -> W e. CMnd )
114	65, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> W e. CMnd )
115	72, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> W e. SLMod )
116	72, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> Q e. B )
117	41, 42, 43, 66	slmdvscl 28604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. SLMod /\ P e. ( Base ` G ) /\ Q e. B ) -> ( P .x. Q ) e. B )
118	115, 80, 116, 117	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> ( P .x. Q ) e. B )
119	41, 42, 43, 66	slmdvscl 28604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. SLMod /\ [_ z / k ]_ P e. ( Base ` G ) /\ Q e. B ) -> ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) e. B )
120	65, 96, 97, 119	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) e. B )
121	106	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = z -> ( P .x. Q ) = ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) )
122	112, 41, 98, 114, 83, 118, 104, 105, 120, 121	gsumunsnf 17669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
123	122	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
124		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) )
125	124	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
126	123, 125	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
127	102, 109, 126	3eqtr4rd 2516	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) )
128	127	exp31 615	. . . . . . 7 |- ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) -> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
129	128	a2d 28	. . . . . 6 |- ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) -> ( ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
130	64, 129	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) -> ( ( ( ph /\ e C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
131	11, 20, 29, 38, 59, 130	findcard2s 7830	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( ( ph /\ A C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) ) )
132	131	imp 436	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( ph /\ A C_ A ) ) -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) )
133	2, 132	mpanr2 698	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ph ) -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) )
134	1, 133	mpancom 682	1 |- ( ph -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   [_csb 3349   u. cun 3388   C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   Basecbs 15199   +g cplusg 15268  Scalarcsca 15271   .scvsca 15272   0gc0g 15416   gsum_g cgsu 15417  CMndccmn 17508  SRingcsrg 17817  SLModcslmd 28590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-srg 17818  df-slmd 28591

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