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Theorem gsumvsca2 28541
Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsca.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
gsumvsca.g  |-  G  =  (Scalar `  W )
gsumvsca.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
gsumvsca.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
gsumvsca.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
gsumvsca.k  |-  ( ph  ->  K  C_  ( Base `  G ) )
gsumvsca.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumvsca.w  |-  ( ph  ->  W  e. SLMod )
gsumvsca2.n  |-  ( ph  ->  Q  e.  B )
gsumvsca2.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  K )
Assertion
Ref Expression
gsumvsca2  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) )
Distinct variable groups:    .x. , k    A, k    k, W    ph, k    B, k    k, G    k, K    Q, k
Allowed substitution hints:    P( k)    .+ ( k)    .0. ( k)

Proof of Theorem gsumvsca2
Dummy variables  e 
a  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsca.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 ssid 3483 . . 3  |-  A  C_  A
3 sseq1 3485 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
43anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  (/)  C_  A ) ) )
5 mpteq1 4501 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( k  e.  a  |->  ( P 
.x.  Q ) )  =  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )
65oveq2d 6317 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( W 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) ) )
7 mpteq1 4501 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  ( k  e.  a  |->  P )  =  ( k  e.  (/)  |->  P ) )
87oveq2d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) ) )
98oveq1d 6316 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q ) )
106, 9eqeq12d 2444 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
114, 10imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  a  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q ) )  <->  ( ( ph  /\  (/)  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
12 sseq1 3485 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  (
a  C_  A  <->  e  C_  A ) )
1312anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( a  =  e  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  e  C_  A )
) )
14 mpteq1 4501 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  (
k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
1514oveq2d 6317 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) ) )
16 mpteq1 4501 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  e  ->  (
k  e.  a  |->  P )  =  ( k  e.  e  |->  P ) )
1716oveq2d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) ) )
1817oveq1d 6316 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )
1915, 18eqeq12d 2444 . . . . . 6  |-  ( a  =  e  ->  (
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
2013, 19imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( a  =  e  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q ) )  <->  ( ( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
21 sseq1 3485 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( a  C_  A 
<->  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )
2221anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  /\  a  C_  A )  <->  (
ph  /\  ( e  u.  { z } ) 
C_  A ) ) )
23 mpteq1 4501 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
2423oveq2d 6317 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( W 
gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) ) )
25 mpteq1 4501 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  a  |->  P )  =  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )
2625oveq2d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) ) )
2726oveq1d 6316 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( G 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) )
2824, 27eqeq12d 2444 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( W 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
2922, 28imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( (
ph  /\  a  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q ) )  <->  ( ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
30 sseq1 3485 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
a  C_  A  <->  A  C_  A
) )
3130anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  A  C_  A )
) )
32 mpteq1 4501 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
3332oveq2d 6317 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) ) )
34 mpteq1 4501 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  (
k  e.  a  |->  P )  =  ( k  e.  A  |->  P ) )
3534oveq2d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) ) )
3635oveq1d 6316 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) )
3733, 36eqeq12d 2444 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
3831, 37imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q ) )  <->  ( ( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
39 gsumvsca.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e. SLMod )
40 gsumvsca2.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  B )
41 gsumvsca.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  W
)
42 gsumvsca.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  (Scalar `  W )
43 gsumvsca.t . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( .s `  W )
44 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
45 gsumvsca.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4641, 42, 43, 44, 45slmd0vs 28534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  Q  e.  B )  ->  (
( 0g `  G
)  .x.  Q )  =  .0.  )
4739, 40, 46syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  G )  .x.  Q
)  =  .0.  )
4847eqcomd 2430 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( ( 0g `  G ) 
.x.  Q ) )
49 mpt0 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  (/)
5049oveq2i 6312 . . . . . . . 8  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( W  gsumg  (/) )
5145gsum0 16508 . . . . . . . 8  |-  ( W 
gsumg  (/) )  =  .0.
5250, 51eqtri 2451 . . . . . . 7  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  .0.
53 mpt0 5719 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  (/)  |->  P )  =  (/)
5453oveq2i 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( G 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  =  ( G  gsumg  (/) )
5544gsum0 16508 . . . . . . . . 9  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  G )
5654, 55eqtri 2451 . . . . . . . 8  |-  ( G 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  =  ( 0g `  G
)
5756oveq1i 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( 0g `  G
)  .x.  Q )
5848, 52, 573eqtr4g 2488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q ) )
5958adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  A
)  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q ) )
60 ssun1 3629 . . . . . . . . 9  |-  e  C_  ( e  u.  {
z } )
61 sstr2 3471 . . . . . . . . 9  |-  ( e 
C_  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( e  u.  { z } )  C_  A  ->  e 
C_  A ) )
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  u.  { z } )  C_  A  ->  e  C_  A )
6362anim2i 571 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { z } ) 
C_  A )  -> 
( ph  /\  e  C_  A ) )
6463imim1i 60 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
6539ad2antrl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  W  e. SLMod )
66 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
6742slmdsrg 28517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. SLMod  ->  G  e. SRing )
68 srgcmn 17729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e. SRing  ->  G  e. CMnd )
6965, 67, 683syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  G  e. CMnd )
70 vex 3084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  e  e. 
_V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  e.  _V )
72 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  ph )
73 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( e  u.  {
z } )  C_  A )
7473unssad 3643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  C_  A )
7574sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  k  e.  A )
76 gsumvsca.k . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  C_  ( Base `  G ) )
7776adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  K  C_  ( Base `  G
) )
78 gsumvsca2.c . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  K )
7977, 78sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  ( Base `  G
) )
8072, 75, 79syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  P  e.  ( Base `  G )
)
81 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  e  |->  P )  =  ( k  e.  e  |->  P )
8280, 81fmptd 6057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( k  e.  e 
|->  P ) : e --> ( Base `  G
) )
83 simpll 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  e.  Fin )
8472, 75, 78syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  P  e.  K )
85 fvex 5887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( 0g `  G
)  e.  _V )
8781, 83, 84, 86fsuppmptdm 7896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( k  e.  e 
|->  P ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
8866, 44, 69, 71, 82, 87gsumcl 17536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  e.  ( Base `  G
) )
8973unssbd 3644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  { z }  C_  A )
90 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
9190snss 4121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
9289, 91sylibr 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  A )
9379ralrimiva 2839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  P  e.  ( Base `  G ) )
9493ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  A. k  e.  A  P  e.  ( Base `  G ) )
95 rspcsbela 3823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  A  /\  A. k  e.  A  P  e.  ( Base `  G
) )  ->  [_ z  /  k ]_ P  e.  ( Base `  G
) )
9692, 94, 95syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  [_ z  /  k ]_ P  e.  ( Base `  G ) )
9740ad2antrl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  Q  e.  B )
98 gsumvsca.p . . . . . . . . . . . 12  |-  .+  =  ( +g  `  W )
99 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
10041, 98, 42, 43, 66, 99slmdvsdir 28526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  (
( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  e.  ( Base `  G
)  /\  [_ z  / 
k ]_ P  e.  (
Base `  G )  /\  Q  e.  B
) )  ->  (
( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) ) ( +g  `  G
) [_ z  /  k ]_ P )  .x.  Q
)  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
10165, 88, 96, 97, 100syl13anc 1266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( ( ( G 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) ) ( +g  `  G )
[_ z  /  k ]_ P )  .x.  Q
)  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
102101adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( ( ( G 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) ) ( +g  `  G )
[_ z  /  k ]_ P )  .x.  Q
)  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
103 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ P
10490a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  _V )
105 simplr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  -.  z  e.  e
)
106 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  z  ->  P  =  [_ z  /  k ]_ P )
107103, 66, 99, 69, 83, 80, 104, 105, 96, 106gsumunsnf 17578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) ) ( +g  `  G )
[_ z  /  k ]_ P ) )
108107oveq1d 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) ) ( +g  `  G
) [_ z  /  k ]_ P )  .x.  Q
) )
109108adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) ) ( +g  `  G
) [_ z  /  k ]_ P )  .x.  Q
) )
110 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k  .x.
111 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k Q
112103, 110, 111nfov 6327 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q )
113 slmdcmn 28515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. SLMod  ->  W  e. CMnd )
11465, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  W  e. CMnd )
11572, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  W  e. SLMod )
11672, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  Q  e.  B )
11741, 42, 43, 66slmdvscl 28524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  P  e.  ( Base `  G
)  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .x.  Q )  e.  B )
118115, 80, 116, 117syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  ( P  .x.  Q )  e.  B
)
11941, 42, 43, 66slmdvscl 28524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  [_ z  /  k ]_ P  e.  ( Base `  G
)  /\  Q  e.  B )  ->  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q )  e.  B )
12065, 96, 97, 119syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q )  e.  B )
121106oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  z  ->  ( P  .x.  Q )  =  ( [_ z  / 
k ]_ P  .x.  Q
) )
122112, 41, 98, 114, 83, 118, 104, 105, 120, 121gsumunsnf 17578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
123122adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
124 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) )
125124oveq1d 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) )  =  ( ( ( G 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
126123, 125eqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
127102, 109, 1263eqtr4rd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) )
128127exp31 607 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
129128a2d 29 . . . . . 6  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  (
e  u.  { z } )  C_  A
)  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
13064, 129syl5 33 . . . . 5  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
13111, 20, 29, 38, 59, 130findcard2s 7814 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
132131imp 430 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( ph  /\  A  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) )
1332, 132mpanr2 688 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ph )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) )
1341, 133mpancom 673 1  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   _Vcvv 3081   [_csb 3395    u. cun 3434    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3996    |-> cmpt 4479   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   Fincfn 7573   Basecbs 15108   +g cplusg 15177  Scalarcsca 15180   .scvsca 15181   0gc0g 15325    gsumg cgsu 15326  CMndccmn 17417  SRingcsrg 17726  SLModcslmd 28510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-oi 8027  df-card 8374  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-hash 12515  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-srg 17727  df-slmd 28511
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