Theorem gsumvsca2 27437

Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumvsca.b	|- B = ( Base ` W )
gsumvsca.g	|- G = (Scalar ` W )
gsumvsca.z	|- .0. = ( 0g ` W )
gsumvsca.t	|- .x. = ( .s ` W )
gsumvsca.p	|- .+ = ( +g ` W )
gsumvsca.k	|- ( ph -> K C_ ( Base ` G ) )
gsumvsca.a	|- ( ph -> A e. Fin )
gsumvsca.w	|- ( ph -> W e. SLMod )
gsumvsca2.n	|- ( ph -> Q e. B )
gsumvsca2.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> P e. K )

Assertion

Ref	Expression
gsumvsca2	|- ( ph -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) )

Distinct variable groups:   .x. , k   A, k   k, W   ph, k   B, k   k, G   k, K   Q, k

Allowed substitution hints:   P( k)   .+ ( k)   .0. ( k)

Proof of Theorem gsumvsca2

Dummy variables e a z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumvsca.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
2		ssid 3523	. . 3 |- A C_ A
3		sseq1 3525	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( a C_ A <-> (/) C_ A ) )
4	3	anbi2d 703	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ (/) C_ A ) ) )
5		mpteq1 4527	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) = ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) )
6	5	oveq2d 6298	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) )
7		mpteq1 4527	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> ( k e. a |-> P ) = ( k e. (/) |-> P ) )
8	7	oveq2d 6298	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) = ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) )
9	8	oveq1d 6297	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) .x. Q ) )
10	6, 9	eqeq12d 2489	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) <-> ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) .x. Q ) ) )
11	4, 10	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) ) <-> ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
12		sseq1 3525	. . . . . . 7 |- ( a = e -> ( a C_ A <-> e C_ A ) )
13	12	anbi2d 703	. . . . . 6 |- ( a = e -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ e C_ A ) ) )
14		mpteq1 4527	. . . . . . . 8 |- ( a = e -> ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) = ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) )
15	14	oveq2d 6298	. . . . . . 7 |- ( a = e -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) )
16		mpteq1 4527	. . . . . . . . 9 |- ( a = e -> ( k e. a |-> P ) = ( k e. e |-> P ) )
17	16	oveq2d 6298	. . . . . . . 8 |- ( a = e -> ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) = ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) )
18	17	oveq1d 6297	. . . . . . 7 |- ( a = e -> ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) )
19	15, 18	eqeq12d 2489	. . . . . 6 |- ( a = e -> ( ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) <-> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) )
20	13, 19	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( a = e -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) ) <-> ( ( ph /\ e C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
21		sseq1 3525	. . . . . . 7 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( a C_ A <-> ( e u. { z } ) C_ A ) )
22	21	anbi2d 703	. . . . . 6 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) )
23		mpteq1 4527	. . . . . . . 8 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) = ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) )
24	23	oveq2d 6298	. . . . . . 7 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) )
25		mpteq1 4527	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( k e. a |-> P ) = ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) )
26	25	oveq2d 6298	. . . . . . . 8 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) = ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) )
27	26	oveq1d 6297	. . . . . . 7 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) )
28	24, 27	eqeq12d 2489	. . . . . 6 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) <-> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) ) )
29	22, 28	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) ) <-> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
30		sseq1 3525	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( a C_ A <-> A C_ A ) )
31	30	anbi2d 703	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ A C_ A ) ) )
32		mpteq1 4527	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) = ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) )
33	32	oveq2d 6298	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) )
34		mpteq1 4527	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( k e. a |-> P ) = ( k e. A |-> P ) )
35	34	oveq2d 6298	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) = ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) )
36	35	oveq1d 6297	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) )
37	33, 36	eqeq12d 2489	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) <-> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) ) )
38	31, 37	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( a = A -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) ) <-> ( ( ph /\ A C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
39		gsumvsca.w	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. SLMod )
40		gsumvsca2.n	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. B )
41		gsumvsca.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` W )
42		gsumvsca.g	. . . . . . . . . 10 |- G = (Scalar ` W )
43		gsumvsca.t	. . . . . . . . . 10 |- .x. = ( .s ` W )
44		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
45		gsumvsca.z	. . . . . . . . . 10 |- .0. = ( 0g ` W )
46	41, 42, 43, 44, 45	slmd0vs 27429	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. SLMod /\ Q e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .x. Q ) = .0. )
47	39, 40, 46	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 0g ` G ) .x. Q ) = .0. )
48	47	eqcomd 2475	. . . . . . 7 |- ( ph -> .0. = ( ( 0g ` G ) .x. Q ) )
49		mpt0 5706	. . . . . . . . 9 |- ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) = (/)
50	49	oveq2i 6293	. . . . . . . 8 |- ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsumg (/) )
51	45	gsum0 15823	. . . . . . . 8 |- ( W gsumg (/) ) = .0.
52	50, 51	eqtri 2496	. . . . . . 7 |- ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = .0.
53		mpt0 5706	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. (/) |-> P ) = (/)
54	53	oveq2i 6293	. . . . . . . . 9 |- ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) = ( G gsumg (/) )
55	44	gsum0 15823	. . . . . . . . 9 |- ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G )
56	54, 55	eqtri 2496	. . . . . . . 8 |- ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) = ( 0g ` G )
57	56	oveq1i 6292	. . . . . . 7 |- ( ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( 0g ` G ) .x. Q )
58	48, 52, 57	3eqtr4g 2533	. . . . . 6 |- ( ph -> ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) .x. Q ) )
59	58	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) .x. Q ) )
60		ssun1 3667	. . . . . . . . 9 |- e C_ ( e u. { z } )
61		sstr2 3511	. . . . . . . . 9 |- ( e C_ ( e u. { z } ) -> ( ( e u. { z } ) C_ A -> e C_ A ) )
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( e u. { z } ) C_ A -> e C_ A )
63	62	anim2i 569	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( ph /\ e C_ A ) )
64	63	imim1i 58	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) )
65	39	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> W e. SLMod )
66		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
67	42	slmdsrg 27412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. SLMod -> G e. SRing )
68		srgcmn 16950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. SRing -> G e. CMnd )
69	65, 67, 68	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> G e. CMnd )
70		vex 3116	. . . . . . . . . . . . 13 |- e e. _V
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> e e. _V )
72		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> ph )
73		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( e u. { z } ) C_ A )
74	73	unssad 3681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> e C_ A )
75	74	sselda 3504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> k e. A )
76		gsumvsca.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> K C_ ( Base ` G ) )
77	76	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> K C_ ( Base ` G ) )
78		gsumvsca2.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> P e. K )
79	77, 78	sseldd 3505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> P e. ( Base ` G ) )
80	72, 75, 79	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> P e. ( Base ` G ) )
81		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. e |-> P ) = ( k e. e |-> P )
82	80, 81	fmptd 6043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( k e. e |-> P ) : e --> ( Base ` G ) )
83		simpll 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> e e. Fin )
84	72, 75, 78	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> P e. K )
85		fvex 5874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` G ) e. _V
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
87	81, 83, 84, 86	fsuppmptdm 7836	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( k e. e |-> P ) finSupp ( 0g ` G ) )
88	66, 44, 69, 71, 82, 87	gsumcl 16714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) e. ( Base ` G ) )
89	73	unssbd 3682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> { z } C_ A )
90		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
91	90	snss 4151	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. A <-> { z } C_ A )
92	89, 91	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A )
93	79	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. k e. A P e. ( Base ` G ) )
94	93	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> A. k e. A P e. ( Base ` G ) )
95		rspcsbela 3853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. A /\ A. k e. A P e. ( Base ` G ) ) -> [_ z / k ]_ P e. ( Base ` G ) )
96	92, 94, 95	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> [_ z / k ]_ P e. ( Base ` G ) )
97	40	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> Q e. B )
98		gsumvsca.p	. . . . . . . . . . . 12 |- .+ = ( +g ` W )
99		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
100	41, 98, 42, 43, 66, 99	slmdvsdir 27421	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. SLMod /\ ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) e. ( Base ` G ) /\ [_ z / k ]_ P e. ( Base ` G ) /\ Q e. B ) ) -> ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) ( +g ` G ) [_ z / k ]_ P ) .x. Q ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
101	65, 88, 96, 97, 100	syl13anc 1230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) ( +g ` G ) [_ z / k ]_ P ) .x. Q ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
102	101	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) ( +g ` G ) [_ z / k ]_ P ) .x. Q ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
103		nfcsb1v 3451	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k [_ z / k ]_ P
104	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. _V )
105		simplr 754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> -. z e. e )
106		csbeq1a 3444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = z -> P = [_ z / k ]_ P )
107	103, 66, 99, 69, 83, 80, 104, 105, 96, 106	gsumunsnf 16776	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) ( +g ` G ) [_ z / k ]_ P ) )
108	107	oveq1d 6297	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) ( +g ` G ) [_ z / k ]_ P ) .x. Q ) )
109	108	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) ( +g ` G ) [_ z / k ]_ P ) .x. Q ) )
110		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k .x.
111		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k Q
112	103, 110, 111	nfov 6305	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k ( [_ z / k ]_ P .x. Q )
113		slmdcmn 27410	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. SLMod -> W e. CMnd )
114	65, 113	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> W e. CMnd )
115	72, 39	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> W e. SLMod )
116	72, 40	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> Q e. B )
117	41, 42, 43, 66	slmdvscl 27419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. SLMod /\ P e. ( Base ` G ) /\ Q e. B ) -> ( P .x. Q ) e. B )
118	115, 80, 116, 117	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> ( P .x. Q ) e. B )
119	41, 42, 43, 66	slmdvscl 27419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. SLMod /\ [_ z / k ]_ P e. ( Base ` G ) /\ Q e. B ) -> ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) e. B )
120	65, 96, 97, 119	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) e. B )
121	106	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = z -> ( P .x. Q ) = ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) )
122	112, 41, 98, 114, 83, 118, 104, 105, 120, 121	gsumunsnf 16776	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
123	122	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
124		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) )
125	124	oveq1d 6297	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
126	123, 125	eqtrd 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
127	102, 109, 126	3eqtr4rd 2519	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) )
128	127	exp31 604	. . . . . . 7 |- ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) -> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
129	128	a2d 26	. . . . . 6 |- ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) -> ( ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
130	64, 129	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) -> ( ( ( ph /\ e C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
131	11, 20, 29, 38, 59, 130	findcard2s 7757	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( ( ph /\ A C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) ) )
132	131	imp 429	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( ph /\ A C_ A ) ) -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) )
133	2, 132	mpanr2 684	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ph ) -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) )
134	1, 133	mpancom 669	1 |- ( ph -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   [_csb 3435   u. cun 3474   C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   |-> cmpt 4505   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   Basecbs 14486   +g cplusg 14551  Scalarcsca 14554   .scvsca 14555   0gc0g 14691   gsum_g cgsu 14692  CMndccmn 16594  SRingcsrg 16947  SLModcslmd 27405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-srg 16948  df-slmd 27406

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