Theorem gsumvsca2 28012

Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumvsca.b	|- B = ( Base ` W )
gsumvsca.g	|- G = (Scalar ` W )
gsumvsca.z	|- .0. = ( 0g ` W )
gsumvsca.t	|- .x. = ( .s ` W )
gsumvsca.p	|- .+ = ( +g ` W )
gsumvsca.k	|- ( ph -> K C_ ( Base ` G ) )
gsumvsca.a	|- ( ph -> A e. Fin )
gsumvsca.w	|- ( ph -> W e. SLMod )
gsumvsca2.n	|- ( ph -> Q e. B )
gsumvsca2.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> P e. K )

Assertion

Ref	Expression
gsumvsca2	|- ( ph -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) )

Distinct variable groups:   .x. , k   A, k   k, W   ph, k   B, k   k, G   k, K   Q, k

Allowed substitution hints:   P( k)   .+ ( k)   .0. ( k)

Proof of Theorem gsumvsca2

Dummy variables e a z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumvsca.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
2		ssid 3508	. . 3 |- A C_ A
3		sseq1 3510	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( a C_ A <-> (/) C_ A ) )
4	3	anbi2d 701	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ (/) C_ A ) ) )
5		mpteq1 4519	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) = ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) )
6	5	oveq2d 6286	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) )
7		mpteq1 4519	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> ( k e. a |-> P ) = ( k e. (/) |-> P ) )
8	7	oveq2d 6286	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) = ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) )
9	8	oveq1d 6285	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) .x. Q ) )
10	6, 9	eqeq12d 2476	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) <-> ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) .x. Q ) ) )
11	4, 10	imbi12d 318	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) ) <-> ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
12		sseq1 3510	. . . . . . 7 |- ( a = e -> ( a C_ A <-> e C_ A ) )
13	12	anbi2d 701	. . . . . 6 |- ( a = e -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ e C_ A ) ) )
14		mpteq1 4519	. . . . . . . 8 |- ( a = e -> ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) = ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) )
15	14	oveq2d 6286	. . . . . . 7 |- ( a = e -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) )
16		mpteq1 4519	. . . . . . . . 9 |- ( a = e -> ( k e. a |-> P ) = ( k e. e |-> P ) )
17	16	oveq2d 6286	. . . . . . . 8 |- ( a = e -> ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) = ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) )
18	17	oveq1d 6285	. . . . . . 7 |- ( a = e -> ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) )
19	15, 18	eqeq12d 2476	. . . . . 6 |- ( a = e -> ( ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) <-> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) )
20	13, 19	imbi12d 318	. . . . 5 |- ( a = e -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) ) <-> ( ( ph /\ e C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
21		sseq1 3510	. . . . . . 7 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( a C_ A <-> ( e u. { z } ) C_ A ) )
22	21	anbi2d 701	. . . . . 6 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) )
23		mpteq1 4519	. . . . . . . 8 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) = ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) )
24	23	oveq2d 6286	. . . . . . 7 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) )
25		mpteq1 4519	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( k e. a |-> P ) = ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) )
26	25	oveq2d 6286	. . . . . . . 8 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) = ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) )
27	26	oveq1d 6285	. . . . . . 7 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) )
28	24, 27	eqeq12d 2476	. . . . . 6 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) <-> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) ) )
29	22, 28	imbi12d 318	. . . . 5 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) ) <-> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
30		sseq1 3510	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( a C_ A <-> A C_ A ) )
31	30	anbi2d 701	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ A C_ A ) ) )
32		mpteq1 4519	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) = ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) )
33	32	oveq2d 6286	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) )
34		mpteq1 4519	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( k e. a |-> P ) = ( k e. A |-> P ) )
35	34	oveq2d 6286	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) = ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) )
36	35	oveq1d 6285	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) )
37	33, 36	eqeq12d 2476	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) <-> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) ) )
38	31, 37	imbi12d 318	. . . . 5 |- ( a = A -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. a |-> P ) ) .x. Q ) ) <-> ( ( ph /\ A C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
39		gsumvsca.w	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. SLMod )
40		gsumvsca2.n	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. B )
41		gsumvsca.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` W )
42		gsumvsca.g	. . . . . . . . . 10 |- G = (Scalar ` W )
43		gsumvsca.t	. . . . . . . . . 10 |- .x. = ( .s ` W )
44		eqid 2454	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
45		gsumvsca.z	. . . . . . . . . 10 |- .0. = ( 0g ` W )
46	41, 42, 43, 44, 45	slmd0vs 28004	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. SLMod /\ Q e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .x. Q ) = .0. )
47	39, 40, 46	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 0g ` G ) .x. Q ) = .0. )
48	47	eqcomd 2462	. . . . . . 7 |- ( ph -> .0. = ( ( 0g ` G ) .x. Q ) )
49		mpt0 5690	. . . . . . . . 9 |- ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) = (/)
50	49	oveq2i 6281	. . . . . . . 8 |- ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsumg (/) )
51	45	gsum0 16107	. . . . . . . 8 |- ( W gsumg (/) ) = .0.
52	50, 51	eqtri 2483	. . . . . . 7 |- ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = .0.
53		mpt0 5690	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. (/) |-> P ) = (/)
54	53	oveq2i 6281	. . . . . . . . 9 |- ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) = ( G gsumg (/) )
55	44	gsum0 16107	. . . . . . . . 9 |- ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G )
56	54, 55	eqtri 2483	. . . . . . . 8 |- ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) = ( 0g ` G )
57	56	oveq1i 6280	. . . . . . 7 |- ( ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( 0g ` G ) .x. Q )
58	48, 52, 57	3eqtr4g 2520	. . . . . 6 |- ( ph -> ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) .x. Q ) )
59	58	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. (/) |-> P ) ) .x. Q ) )
60		ssun1 3653	. . . . . . . . 9 |- e C_ ( e u. { z } )
61		sstr2 3496	. . . . . . . . 9 |- ( e C_ ( e u. { z } ) -> ( ( e u. { z } ) C_ A -> e C_ A ) )
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( e u. { z } ) C_ A -> e C_ A )
63	62	anim2i 567	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( ph /\ e C_ A ) )
64	63	imim1i 58	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) )
65	39	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> W e. SLMod )
66		eqid 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
67	42	slmdsrg 27987	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. SLMod -> G e. SRing )
68		srgcmn 17358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. SRing -> G e. CMnd )
69	65, 67, 68	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> G e. CMnd )
70		vex 3109	. . . . . . . . . . . . 13 |- e e. _V
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> e e. _V )
72		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> ph )
73		simprr 755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( e u. { z } ) C_ A )
74	73	unssad 3667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> e C_ A )
75	74	sselda 3489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> k e. A )
76		gsumvsca.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> K C_ ( Base ` G ) )
77	76	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> K C_ ( Base ` G ) )
78		gsumvsca2.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> P e. K )
79	77, 78	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> P e. ( Base ` G ) )
80	72, 75, 79	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> P e. ( Base ` G ) )
81		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. e |-> P ) = ( k e. e |-> P )
82	80, 81	fmptd 6031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( k e. e |-> P ) : e --> ( Base ` G ) )
83		simpll 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> e e. Fin )
84	72, 75, 78	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> P e. K )
85		fvex 5858	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` G ) e. _V
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
87	81, 83, 84, 86	fsuppmptdm 7832	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( k e. e |-> P ) finSupp ( 0g ` G ) )
88	66, 44, 69, 71, 82, 87	gsumcl 17125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) e. ( Base ` G ) )
89	73	unssbd 3668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> { z } C_ A )
90		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
91	90	snss 4140	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. A <-> { z } C_ A )
92	89, 91	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A )
93	79	ralrimiva 2868	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. k e. A P e. ( Base ` G ) )
94	93	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> A. k e. A P e. ( Base ` G ) )
95		rspcsbela 3845	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. A /\ A. k e. A P e. ( Base ` G ) ) -> [_ z / k ]_ P e. ( Base ` G ) )
96	92, 94, 95	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> [_ z / k ]_ P e. ( Base ` G ) )
97	40	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> Q e. B )
98		gsumvsca.p	. . . . . . . . . . . 12 |- .+ = ( +g ` W )
99		eqid 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
100	41, 98, 42, 43, 66, 99	slmdvsdir 27996	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. SLMod /\ ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) e. ( Base ` G ) /\ [_ z / k ]_ P e. ( Base ` G ) /\ Q e. B ) ) -> ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) ( +g ` G ) [_ z / k ]_ P ) .x. Q ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
101	65, 88, 96, 97, 100	syl13anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) ( +g ` G ) [_ z / k ]_ P ) .x. Q ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
102	101	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) ( +g ` G ) [_ z / k ]_ P ) .x. Q ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
103		nfcsb1v 3436	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k [_ z / k ]_ P
104	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. _V )
105		simplr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> -. z e. e )
106		csbeq1a 3429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = z -> P = [_ z / k ]_ P )
107	103, 66, 99, 69, 83, 80, 104, 105, 96, 106	gsumunsnf 17184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) ( +g ` G ) [_ z / k ]_ P ) )
108	107	oveq1d 6285	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) ( +g ` G ) [_ z / k ]_ P ) .x. Q ) )
109	108	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) ( +g ` G ) [_ z / k ]_ P ) .x. Q ) )
110		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k .x.
111		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k Q
112	103, 110, 111	nfov 6296	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k ( [_ z / k ]_ P .x. Q )
113		slmdcmn 27985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. SLMod -> W e. CMnd )
114	65, 113	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> W e. CMnd )
115	72, 39	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> W e. SLMod )
116	72, 40	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> Q e. B )
117	41, 42, 43, 66	slmdvscl 27994	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. SLMod /\ P e. ( Base ` G ) /\ Q e. B ) -> ( P .x. Q ) e. B )
118	115, 80, 116, 117	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> ( P .x. Q ) e. B )
119	41, 42, 43, 66	slmdvscl 27994	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. SLMod /\ [_ z / k ]_ P e. ( Base ` G ) /\ Q e. B ) -> ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) e. B )
120	65, 96, 97, 119	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) e. B )
121	106	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = z -> ( P .x. Q ) = ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) )
122	112, 41, 98, 114, 83, 118, 104, 105, 120, 121	gsumunsnf 17184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
123	122	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
124		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) )
125	124	oveq1d 6285	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
126	123, 125	eqtrd 2495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) .+ ( [_ z / k ]_ P .x. Q ) ) )
127	102, 109, 126	3eqtr4rd 2506	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) )
128	127	exp31 602	. . . . . . 7 |- ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) -> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
129	128	a2d 26	. . . . . 6 |- ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) -> ( ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
130	64, 129	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) -> ( ( ( ph /\ e C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. e |-> P ) ) .x. Q ) ) -> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> P ) ) .x. Q ) ) ) )
131	11, 20, 29, 38, 59, 130	findcard2s 7753	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( ( ph /\ A C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) ) )
132	131	imp 427	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( ph /\ A C_ A ) ) -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) )
133	2, 132	mpanr2 682	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ph ) -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) )
134	1, 133	mpancom 667	1 |- ( ph -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> P ) ) .x. Q ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   [_csb 3420   u. cun 3459   C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   Basecbs 14719   +g cplusg 14787  Scalarcsca 14790   .scvsca 14791   0gc0g 14932   gsum_g cgsu 14933  CMndccmn 17000  SRingcsrg 17355  SLModcslmd 27980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-hash 12391  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-srg 17356  df-slmd 27981

This theorem is referenced by: (None)