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Theorem gsumvsca2 28558
Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsca.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
gsumvsca.g  |-  G  =  (Scalar `  W )
gsumvsca.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
gsumvsca.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
gsumvsca.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
gsumvsca.k  |-  ( ph  ->  K  C_  ( Base `  G ) )
gsumvsca.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumvsca.w  |-  ( ph  ->  W  e. SLMod )
gsumvsca2.n  |-  ( ph  ->  Q  e.  B )
gsumvsca2.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  K )
Assertion
Ref Expression
gsumvsca2  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) )
Distinct variable groups:    .x. , k    A, k    k, W    ph, k    B, k    k, G    k, K    Q, k
Allowed substitution hints:    P( k)    .+ ( k)    .0. ( k)

Proof of Theorem gsumvsca2
Dummy variables  e 
a  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsca.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 ssid 3453 . . 3  |-  A  C_  A
3 sseq1 3455 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
43anbi2d 711 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  (/)  C_  A ) ) )
5 mpteq1 4486 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( k  e.  a  |->  ( P 
.x.  Q ) )  =  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )
65oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( W 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) ) )
7 mpteq1 4486 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  ( k  e.  a  |->  P )  =  ( k  e.  (/)  |->  P ) )
87oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) ) )
98oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q ) )
106, 9eqeq12d 2468 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
114, 10imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  a  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q ) )  <->  ( ( ph  /\  (/)  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
12 sseq1 3455 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  (
a  C_  A  <->  e  C_  A ) )
1312anbi2d 711 . . . . . 6  |-  ( a  =  e  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  e  C_  A )
) )
14 mpteq1 4486 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  (
k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
1514oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) ) )
16 mpteq1 4486 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  e  ->  (
k  e.  a  |->  P )  =  ( k  e.  e  |->  P ) )
1716oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) ) )
1817oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )
1915, 18eqeq12d 2468 . . . . . 6  |-  ( a  =  e  ->  (
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
2013, 19imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( a  =  e  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q ) )  <->  ( ( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
21 sseq1 3455 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( a  C_  A 
<->  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )
2221anbi2d 711 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  /\  a  C_  A )  <->  (
ph  /\  ( e  u.  { z } ) 
C_  A ) ) )
23 mpteq1 4486 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
2423oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( W 
gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) ) )
25 mpteq1 4486 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  a  |->  P )  =  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )
2625oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) ) )
2726oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( G 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) )
2824, 27eqeq12d 2468 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( W 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
2922, 28imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( (
ph  /\  a  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q ) )  <->  ( ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
30 sseq1 3455 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
a  C_  A  <->  A  C_  A
) )
3130anbi2d 711 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  A  C_  A )
) )
32 mpteq1 4486 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
3332oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) ) )
34 mpteq1 4486 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  (
k  e.  a  |->  P )  =  ( k  e.  A  |->  P ) )
3534oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) ) )
3635oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  a 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) )
3733, 36eqeq12d 2468 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
3831, 37imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  a  |->  P ) )  .x.  Q ) )  <->  ( ( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
39 gsumvsca.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e. SLMod )
40 gsumvsca2.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  B )
41 gsumvsca.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  W
)
42 gsumvsca.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  (Scalar `  W )
43 gsumvsca.t . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( .s `  W )
44 eqid 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
45 gsumvsca.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4641, 42, 43, 44, 45slmd0vs 28552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  Q  e.  B )  ->  (
( 0g `  G
)  .x.  Q )  =  .0.  )
4739, 40, 46syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  G )  .x.  Q
)  =  .0.  )
4847eqcomd 2459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( ( 0g `  G ) 
.x.  Q ) )
49 mpt0 5710 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  (/)
5049oveq2i 6306 . . . . . . . 8  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( W  gsumg  (/) )
5145gsum0 16533 . . . . . . . 8  |-  ( W 
gsumg  (/) )  =  .0.
5250, 51eqtri 2475 . . . . . . 7  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  .0.
53 mpt0 5710 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  (/)  |->  P )  =  (/)
5453oveq2i 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( G 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  =  ( G  gsumg  (/) )
5544gsum0 16533 . . . . . . . . 9  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  G )
5654, 55eqtri 2475 . . . . . . . 8  |-  ( G 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  =  ( 0g `  G
)
5756oveq1i 6305 . . . . . . 7  |-  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( 0g `  G
)  .x.  Q )
5848, 52, 573eqtr4g 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q ) )
5958adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  A
)  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  P ) )  .x.  Q ) )
60 ssun1 3599 . . . . . . . . 9  |-  e  C_  ( e  u.  {
z } )
61 sstr2 3441 . . . . . . . . 9  |-  ( e 
C_  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( e  u.  { z } )  C_  A  ->  e 
C_  A ) )
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  u.  { z } )  C_  A  ->  e  C_  A )
6362anim2i 573 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { z } ) 
C_  A )  -> 
( ph  /\  e  C_  A ) )
6463imim1i 60 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
6539ad2antrl 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  W  e. SLMod )
66 eqid 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
6742slmdsrg 28535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. SLMod  ->  G  e. SRing )
68 srgcmn 17754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e. SRing  ->  G  e. CMnd )
6965, 67, 683syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  G  e. CMnd )
70 vex 3050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  e  e. 
_V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  e.  _V )
72 simplrl 771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  ph )
73 simprr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( e  u.  {
z } )  C_  A )
7473unssad 3613 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  C_  A )
7574sselda 3434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  k  e.  A )
76 gsumvsca.k . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  C_  ( Base `  G ) )
7776adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  K  C_  ( Base `  G
) )
78 gsumvsca2.c . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  K )
7977, 78sseldd 3435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  ( Base `  G
) )
8072, 75, 79syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  P  e.  ( Base `  G )
)
81 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  e  |->  P )  =  ( k  e.  e  |->  P )
8280, 81fmptd 6051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( k  e.  e 
|->  P ) : e --> ( Base `  G
) )
83 simpll 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  e.  Fin )
8472, 75, 78syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  P  e.  K )
85 fvex 5880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( 0g `  G
)  e.  _V )
8781, 83, 84, 86fsuppmptdm 7899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( k  e.  e 
|->  P ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
8866, 44, 69, 71, 82, 87gsumcl 17561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  e.  ( Base `  G
) )
8973unssbd 3614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  { z }  C_  A )
90 vex 3050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
9190snss 4099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
9289, 91sylibr 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  A )
9379ralrimiva 2804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  P  e.  ( Base `  G ) )
9493ad2antrl 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  A. k  e.  A  P  e.  ( Base `  G ) )
95 rspcsbela 3797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  A  /\  A. k  e.  A  P  e.  ( Base `  G
) )  ->  [_ z  /  k ]_ P  e.  ( Base `  G
) )
9692, 94, 95syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  [_ z  /  k ]_ P  e.  ( Base `  G ) )
9740ad2antrl 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  Q  e.  B )
98 gsumvsca.p . . . . . . . . . . . 12  |-  .+  =  ( +g  `  W )
99 eqid 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
10041, 98, 42, 43, 66, 99slmdvsdir 28544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  (
( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  e.  ( Base `  G
)  /\  [_ z  / 
k ]_ P  e.  (
Base `  G )  /\  Q  e.  B
) )  ->  (
( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) ) ( +g  `  G
) [_ z  /  k ]_ P )  .x.  Q
)  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
10165, 88, 96, 97, 100syl13anc 1271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( ( ( G 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) ) ( +g  `  G )
[_ z  /  k ]_ P )  .x.  Q
)  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
102101adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( ( ( G 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) ) ( +g  `  G )
[_ z  /  k ]_ P )  .x.  Q
)  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
103 nfcsb1v 3381 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ P
10490a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  _V )
105 simplr 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  -.  z  e.  e
)
106 csbeq1a 3374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  z  ->  P  =  [_ z  /  k ]_ P )
107103, 66, 99, 69, 83, 80, 104, 105, 96, 106gsumunsnf 17603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) ) ( +g  `  G )
[_ z  /  k ]_ P ) )
108107oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) ) ( +g  `  G
) [_ z  /  k ]_ P )  .x.  Q
) )
109108adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  P ) )  .x.  Q )  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) ) ( +g  `  G
) [_ z  /  k ]_ P )  .x.  Q
) )
110 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k  .x.
111 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k Q
112103, 110, 111nfov 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q )
113 slmdcmn 28533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. SLMod  ->  W  e. CMnd )
11465, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  W  e. CMnd )
11572, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  W  e. SLMod )
11672, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  Q  e.  B )
11741, 42, 43, 66slmdvscl 28542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  P  e.  ( Base `  G
)  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .x.  Q )  e.  B )
118115, 80, 116, 117syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  ( P  .x.  Q )  e.  B
)
11941, 42, 43, 66slmdvscl 28542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  [_ z  /  k ]_ P  e.  ( Base `  G
)  /\  Q  e.  B )  ->  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q )  e.  B )
12065, 96, 97, 119syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q )  e.  B )
121106oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  z  ->  ( P  .x.  Q )  =  ( [_ z  / 
k ]_ P  .x.  Q
) )
122112, 41, 98, 114, 83, 118, 104, 105, 120, 121gsumunsnf 17603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
123122adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
124 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) )
125124oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) )  =  ( ( ( G 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
126123, 125eqtrd 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  .+  ( [_ z  /  k ]_ P  .x.  Q ) ) )
127102, 109, 1263eqtr4rd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) )
128127exp31 609 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
129128a2d 29 . . . . . 6  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  (
e  u.  { z } )  C_  A
)  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e 
|->  P ) )  .x.  Q ) )  -> 
( ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
13064, 129syl5 33 . . . . 5  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  e  |->  P ) )  .x.  Q ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  P ) )  .x.  Q ) ) ) )
13111, 20, 29, 38, 59, 130findcard2s 7817 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) ) )
132131imp 431 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( ph  /\  A  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) )
1332, 132mpanr2 691 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ph )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) )
1341, 133mpancom 676 1  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  P ) )  .x.  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   _Vcvv 3047   [_csb 3365    u. cun 3404    C_ wss 3406   (/)c0 3733   {csn 3970    |-> cmpt 4464   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Fincfn 7574   Basecbs 15133   +g cplusg 15202  Scalarcsca 15205   .scvsca 15206   0gc0g 15350    gsumg cgsu 15351  CMndccmn 17442  SRingcsrg 17751  SLModcslmd 28528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-srg 17752  df-slmd 28529
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