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Theorem gsumvsca1 28619
Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsca.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
gsumvsca.g  |-  G  =  (Scalar `  W )
gsumvsca.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
gsumvsca.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
gsumvsca.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
gsumvsca.k  |-  ( ph  ->  K  C_  ( Base `  G ) )
gsumvsca.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumvsca.w  |-  ( ph  ->  W  e. SLMod )
gsumvsca1.n  |-  ( ph  ->  P  e.  K )
gsumvsca1.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Q  e.  B )
Assertion
Ref Expression
gsumvsca1  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) )
Distinct variable groups:    .x. , k    A, k    k, W    ph, k    B, k    P, k
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    Q( k)    G( k)    K( k)    .0. ( k)

Proof of Theorem gsumvsca1
Dummy variables  e 
a  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsca.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 ssid 3437 . . 3  |-  A  C_  A
3 sseq1 3439 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
43anbi2d 718 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  (/)  C_  A ) ) )
5 mpteq1 4476 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( k  e.  a  |->  ( P 
.x.  Q ) )  =  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )
65oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( W 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) ) )
7 mpteq1 4476 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  ( k  e.  a  |->  Q )  =  ( k  e.  (/)  |->  Q ) )
87oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( W 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) )
98oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) ) )
106, 9eqeq12d 2486 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) ) ) )
114, 10imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  a  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  (/)  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) ) ) ) )
12 sseq1 3439 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  (
a  C_  A  <->  e  C_  A ) )
1312anbi2d 718 . . . . . 6  |-  ( a  =  e  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  e  C_  A )
) )
14 mpteq1 4476 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  (
k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
1514oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) ) )
16 mpteq1 4476 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  e  ->  (
k  e.  a  |->  Q )  =  ( k  e.  e  |->  Q ) )
1716oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) )
1817oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) )
1915, 18eqeq12d 2486 . . . . . 6  |-  ( a  =  e  ->  (
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) ) )
2013, 19imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( a  =  e  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) ) ) )
21 sseq1 3439 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( a  C_  A 
<->  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )
2221anbi2d 718 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  /\  a  C_  A )  <->  (
ph  /\  ( e  u.  { z } ) 
C_  A ) ) )
23 mpteq1 4476 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
2423oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( W 
gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) ) )
25 mpteq1 4476 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  a  |->  Q )  =  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) )
2625oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  Q ) )  =  ( W 
gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) ) )
2726oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) ) ) )
2824, 27eqeq12d 2486 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( W 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) ) )
2922, 28imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( (
ph  /\  a  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) ) ) )
30 sseq1 3439 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
a  C_  A  <->  A  C_  A
) )
3130anbi2d 718 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  A  C_  A )
) )
32 mpteq1 4476 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
3332oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) ) )
34 mpteq1 4476 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  (
k  e.  a  |->  Q )  =  ( k  e.  A  |->  Q ) )
3534oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) )
3635oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) )
3733, 36eqeq12d 2486 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) ) )
3831, 37imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) ) ) )
39 gsumvsca.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e. SLMod )
40 gsumvsca.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  C_  ( Base `  G ) )
41 gsumvsca1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  K )
4240, 41sseldd 3419 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Base `  G ) )
43 gsumvsca.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  (Scalar `  W )
44 gsumvsca.t . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( .s `  W )
45 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
46 gsumvsca.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4743, 44, 45, 46slmdvs0 28615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  P  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( P  .x.  .0.  )  =  .0.  )
4839, 42, 47syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  .0.  )  =  .0.  )
4948eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( P 
.x.  .0.  ) )
50 mpt0 5715 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  (/)
5150oveq2i 6319 . . . . . . . 8  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( W  gsumg  (/) )
5246gsum0 16599 . . . . . . . 8  |-  ( W 
gsumg  (/) )  =  .0.
5351, 52eqtri 2493 . . . . . . 7  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  .0.
54 mpt0 5715 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  (/)  |->  Q )  =  (/)
5554oveq2i 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) )  =  ( W  gsumg  (/) )
5655, 52eqtri 2493 . . . . . . . 8  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) )  =  .0.
5756oveq2i 6319 . . . . . . 7  |-  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  .0.  )
5849, 53, 573eqtr4g 2530 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) ) )
5958adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  A
)  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) ) )
60 ssun1 3588 . . . . . . . . 9  |-  e  C_  ( e  u.  {
z } )
61 sstr2 3425 . . . . . . . . 9  |-  ( e 
C_  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( e  u.  { z } )  C_  A  ->  e 
C_  A ) )
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  u.  { z } )  C_  A  ->  e  C_  A )
6362anim2i 579 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { z } ) 
C_  A )  -> 
( ph  /\  e  C_  A ) )
6463imim1i 59 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) ) )
6539ad2antrl 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  W  e. SLMod )
6642ad2antrl 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  P  e.  ( Base `  G ) )
67 gsumvsca.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  W
)
68 slmdcmn 28595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. SLMod  ->  W  e. CMnd )
6965, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  W  e. CMnd )
70 vex 3034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  e  e. 
_V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  e.  _V )
72 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  ph )
73 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( e  u.  {
z } )  C_  A )
7473unssad 3602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  C_  A )
7574sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  k  e.  A )
76 gsumvsca1.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Q  e.  B )
7772, 75, 76syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  Q  e.  B )
78 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  e  |->  Q )  =  ( k  e.  e  |->  Q )
7977, 78fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( k  e.  e 
|->  Q ) : e --> B )
80 simpll 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  e.  Fin )
81 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  W )  e. 
_V
8246, 81eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .0.  e.  _V
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  .0.  e.  _V )
8478, 80, 77, 83fsuppmptdm 7912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( k  e.  e 
|->  Q ) finSupp  .0.  )
8567, 46, 69, 71, 79, 84gsumcl 17627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  e.  B )
8673unssbd 3603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  { z }  C_  A )
87 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
8887snss 4087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
8986, 88sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  A )
9076ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  Q  e.  B )
9190ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  A. k  e.  A  Q  e.  B )
92 rspcsbela 3799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  A  /\  A. k  e.  A  Q  e.  B )  ->  [_ z  /  k ]_ Q  e.  B )
9389, 91, 92syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  [_ z  /  k ]_ Q  e.  B
)
94 gsumvsca.p . . . . . . . . . . . 12  |-  .+  =  ( +g  `  W )
9567, 94, 43, 44, 45slmdvsdi 28605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  ( P  e.  ( Base `  G )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  e.  B  /\  [_ z  /  k ]_ Q  e.  B ) )  -> 
( P  .x.  (
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) )  =  ( ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) 
.+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
9665, 66, 85, 93, 95syl13anc 1294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( P  .x.  (
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) )  =  ( ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) 
.+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
9796adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( P  .x.  (
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) )  =  ( ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) 
.+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
98 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ Q
9987a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  _V )
100 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  -.  z  e.  e
)
101 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  z  ->  Q  =  [_ z  /  k ]_ Q )
10298, 67, 94, 69, 80, 77, 99, 100, 93, 101gsumunsnf 17669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) )  =  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) )
103102oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
104103adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
105 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k P
106 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k  .x.
107105, 106, 98nfov 6334 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q
)
10872, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  W  e. SLMod )
10972, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  P  e.  ( Base `  G )
)
11067, 43, 44, 45slmdvscl 28604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  P  e.  ( Base `  G
)  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .x.  Q )  e.  B )
111108, 109, 77, 110syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  ( P  .x.  Q )  e.  B
)
11267, 43, 44, 45slmdvscl 28604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  P  e.  ( Base `  G
)  /\  [_ z  / 
k ]_ Q  e.  B
)  ->  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q )  e.  B
)
11365, 66, 93, 112syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q
)  e.  B )
114101oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  z  ->  ( P  .x.  Q )  =  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q
) )
115107, 67, 94, 69, 80, 111, 99, 100, 113, 114gsumunsnf 17669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  .+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q
) ) )
116115adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  .+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q
) ) )
117 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) )
118117oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  .+  ( P 
.x.  [_ z  /  k ]_ Q ) )  =  ( ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) 
.+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
119116, 118eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) 
.+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
12097, 104, 1193eqtr4rd 2516 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) )
121120exp31 615 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) ) ) )
122121a2d 28 . . . . . 6  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  (
e  u.  { z } )  C_  A
)  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) ) ) )
12364, 122syl5 32 . . . . 5  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) ) ) )
12411, 20, 29, 38, 59, 123findcard2s 7830 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) ) )
125124imp 436 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( ph  /\  A  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) )
1262, 125mpanr2 698 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ph )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) )
1271, 126mpancom 682 1  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   [_csb 3349    u. cun 3388    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   Basecbs 15199   +g cplusg 15268  Scalarcsca 15271   .scvsca 15272   0gc0g 15416    gsumg cgsu 15417  CMndccmn 17508  SLModcslmd 28590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-srg 17818  df-slmd 28591
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