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Theorem gsumvsca1 28008
Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsca.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
gsumvsca.g  |-  G  =  (Scalar `  W )
gsumvsca.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
gsumvsca.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
gsumvsca.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
gsumvsca.k  |-  ( ph  ->  K  C_  ( Base `  G ) )
gsumvsca.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumvsca.w  |-  ( ph  ->  W  e. SLMod )
gsumvsca1.n  |-  ( ph  ->  P  e.  K )
gsumvsca1.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Q  e.  B )
Assertion
Ref Expression
gsumvsca1  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) )
Distinct variable groups:    .x. , k    A, k    k, W    ph, k    B, k    P, k
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    Q( k)    G( k)    K( k)    .0. ( k)

Proof of Theorem gsumvsca1
Dummy variables  e 
a  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsca.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 ssid 3508 . . 3  |-  A  C_  A
3 sseq1 3510 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
43anbi2d 701 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  (/)  C_  A ) ) )
5 mpteq1 4519 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( k  e.  a  |->  ( P 
.x.  Q ) )  =  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )
65oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( W 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) ) )
7 mpteq1 4519 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  ( k  e.  a  |->  Q )  =  ( k  e.  (/)  |->  Q ) )
87oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( W 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) )
98oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) ) )
106, 9eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) ) ) )
114, 10imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  a  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  (/)  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) ) ) ) )
12 sseq1 3510 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  (
a  C_  A  <->  e  C_  A ) )
1312anbi2d 701 . . . . . 6  |-  ( a  =  e  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  e  C_  A )
) )
14 mpteq1 4519 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  (
k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
1514oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) ) )
16 mpteq1 4519 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  e  ->  (
k  e.  a  |->  Q )  =  ( k  e.  e  |->  Q ) )
1716oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) )
1817oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) )
1915, 18eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( a  =  e  ->  (
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) ) )
2013, 19imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( a  =  e  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) ) ) )
21 sseq1 3510 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( a  C_  A 
<->  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )
2221anbi2d 701 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  /\  a  C_  A )  <->  (
ph  /\  ( e  u.  { z } ) 
C_  A ) ) )
23 mpteq1 4519 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
2423oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( W 
gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) ) )
25 mpteq1 4519 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  a  |->  Q )  =  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) )
2625oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  Q ) )  =  ( W 
gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) ) )
2726oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) ) ) )
2824, 27eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( W 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) ) )
2922, 28imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( (
ph  /\  a  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) ) ) )
30 sseq1 3510 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
a  C_  A  <->  A  C_  A
) )
3130anbi2d 701 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  A  C_  A )
) )
32 mpteq1 4519 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
3332oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) ) )
34 mpteq1 4519 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  (
k  e.  a  |->  Q )  =  ( k  e.  A  |->  Q ) )
3534oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) )
3635oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) )
3733, 36eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) ) )
3831, 37imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) ) ) )
39 gsumvsca.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e. SLMod )
40 gsumvsca.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  C_  ( Base `  G ) )
41 gsumvsca1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  K )
4240, 41sseldd 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Base `  G ) )
43 gsumvsca.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  (Scalar `  W )
44 gsumvsca.t . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( .s `  W )
45 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
46 gsumvsca.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4743, 44, 45, 46slmdvs0 28002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  P  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( P  .x.  .0.  )  =  .0.  )
4839, 42, 47syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  .0.  )  =  .0.  )
4948eqcomd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( P 
.x.  .0.  ) )
50 mpt0 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  (/)
5150oveq2i 6281 . . . . . . . 8  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( W  gsumg  (/) )
5246gsum0 16104 . . . . . . . 8  |-  ( W 
gsumg  (/) )  =  .0.
5351, 52eqtri 2483 . . . . . . 7  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  .0.
54 mpt0 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  (/)  |->  Q )  =  (/)
5554oveq2i 6281 . . . . . . . . 9  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) )  =  ( W  gsumg  (/) )
5655, 52eqtri 2483 . . . . . . . 8  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) )  =  .0.
5756oveq2i 6281 . . . . . . 7  |-  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  .0.  )
5849, 53, 573eqtr4g 2520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) ) )
5958adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  A
)  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) ) )
60 ssun1 3653 . . . . . . . . 9  |-  e  C_  ( e  u.  {
z } )
61 sstr2 3496 . . . . . . . . 9  |-  ( e 
C_  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( e  u.  { z } )  C_  A  ->  e 
C_  A ) )
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  u.  { z } )  C_  A  ->  e  C_  A )
6362anim2i 567 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { z } ) 
C_  A )  -> 
( ph  /\  e  C_  A ) )
6463imim1i 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) ) )
6539ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  W  e. SLMod )
6642ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  P  e.  ( Base `  G ) )
67 gsumvsca.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  W
)
68 slmdcmn 27982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. SLMod  ->  W  e. CMnd )
6965, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  W  e. CMnd )
70 vex 3109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  e  e. 
_V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  e.  _V )
72 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  ph )
73 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( e  u.  {
z } )  C_  A )
7473unssad 3667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  C_  A )
7574sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  k  e.  A )
76 gsumvsca1.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Q  e.  B )
7772, 75, 76syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  Q  e.  B )
78 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  e  |->  Q )  =  ( k  e.  e  |->  Q )
7977, 78fmptd 6031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( k  e.  e 
|->  Q ) : e --> B )
80 simpll 751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  e.  Fin )
81 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  W )  e. 
_V
8246, 81eqeltri 2538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .0.  e.  _V
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  .0.  e.  _V )
8478, 80, 77, 83fsuppmptdm 7832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( k  e.  e 
|->  Q ) finSupp  .0.  )
8567, 46, 69, 71, 79, 84gsumcl 17122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  e.  B )
8673unssbd 3668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  { z }  C_  A )
87 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
8887snss 4140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
8986, 88sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  A )
9076ralrimiva 2868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  Q  e.  B )
9190ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  A. k  e.  A  Q  e.  B )
92 rspcsbela 3845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  A  /\  A. k  e.  A  Q  e.  B )  ->  [_ z  /  k ]_ Q  e.  B )
9389, 91, 92syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  [_ z  /  k ]_ Q  e.  B
)
94 gsumvsca.p . . . . . . . . . . . 12  |-  .+  =  ( +g  `  W )
9567, 94, 43, 44, 45slmdvsdi 27992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  ( P  e.  ( Base `  G )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  e.  B  /\  [_ z  /  k ]_ Q  e.  B ) )  -> 
( P  .x.  (
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) )  =  ( ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) 
.+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
9665, 66, 85, 93, 95syl13anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( P  .x.  (
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) )  =  ( ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) 
.+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
9796adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( P  .x.  (
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) )  =  ( ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) 
.+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
98 nfcsb1v 3436 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ Q
9987a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  _V )
100 simplr 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  -.  z  e.  e
)
101 csbeq1a 3429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  z  ->  Q  =  [_ z  /  k ]_ Q )
10298, 67, 94, 69, 80, 77, 99, 100, 93, 101gsumunsnf 17181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) )  =  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) )
103102oveq2d 6286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
104103adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
105 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k P
106 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k  .x.
107105, 106, 98nfov 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q
)
10872, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  W  e. SLMod )
10972, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  P  e.  ( Base `  G )
)
11067, 43, 44, 45slmdvscl 27991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  P  e.  ( Base `  G
)  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .x.  Q )  e.  B )
111108, 109, 77, 110syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  ( P  .x.  Q )  e.  B
)
11267, 43, 44, 45slmdvscl 27991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  P  e.  ( Base `  G
)  /\  [_ z  / 
k ]_ Q  e.  B
)  ->  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q )  e.  B
)
11365, 66, 93, 112syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q
)  e.  B )
114101oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  z  ->  ( P  .x.  Q )  =  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q
) )
115107, 67, 94, 69, 80, 111, 99, 100, 113, 114gsumunsnf 17181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  .+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q
) ) )
116115adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  .+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q
) ) )
117 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) )
118117oveq1d 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  .+  ( P 
.x.  [_ z  /  k ]_ Q ) )  =  ( ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) 
.+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
119116, 118eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) 
.+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
12097, 104, 1193eqtr4rd 2506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) )
121120exp31 602 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) ) ) )
122121a2d 26 . . . . . 6  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  (
e  u.  { z } )  C_  A
)  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) ) ) )
12364, 122syl5 32 . . . . 5  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) ) ) )
12411, 20, 29, 38, 59, 123findcard2s 7753 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) ) )
125124imp 427 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( ph  /\  A  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) )
1262, 125mpanr2 682 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ph )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) )
1271, 126mpancom 667 1  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   [_csb 3420    u. cun 3459    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   Basecbs 14716   +g cplusg 14784  Scalarcsca 14787   .scvsca 14788   0gc0g 14929    gsumg cgsu 14930  CMndccmn 16997  SLModcslmd 27977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-srg 17353  df-slmd 27978
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