Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumvsca1 Structured version   Unicode version

Theorem gsumvsca1 28547
Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsca.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
gsumvsca.g  |-  G  =  (Scalar `  W )
gsumvsca.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
gsumvsca.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
gsumvsca.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
gsumvsca.k  |-  ( ph  ->  K  C_  ( Base `  G ) )
gsumvsca.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumvsca.w  |-  ( ph  ->  W  e. SLMod )
gsumvsca1.n  |-  ( ph  ->  P  e.  K )
gsumvsca1.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Q  e.  B )
Assertion
Ref Expression
gsumvsca1  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) )
Distinct variable groups:    .x. , k    A, k    k, W    ph, k    B, k    P, k
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    Q( k)    G( k)    K( k)    .0. ( k)

Proof of Theorem gsumvsca1
Dummy variables  e 
a  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsca.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 ssid 3484 . . 3  |-  A  C_  A
3 sseq1 3486 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
43anbi2d 709 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  (/)  C_  A ) ) )
5 mpteq1 4502 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( k  e.  a  |->  ( P 
.x.  Q ) )  =  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )
65oveq2d 6319 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( W 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) ) )
7 mpteq1 4502 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  ( k  e.  a  |->  Q )  =  ( k  e.  (/)  |->  Q ) )
87oveq2d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( W 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) )
98oveq2d 6319 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) ) )
106, 9eqeq12d 2445 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) ) ) )
114, 10imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  a  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  (/)  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) ) ) ) )
12 sseq1 3486 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  (
a  C_  A  <->  e  C_  A ) )
1312anbi2d 709 . . . . . 6  |-  ( a  =  e  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  e  C_  A )
) )
14 mpteq1 4502 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  (
k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
1514oveq2d 6319 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) ) )
16 mpteq1 4502 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  e  ->  (
k  e.  a  |->  Q )  =  ( k  e.  e  |->  Q ) )
1716oveq2d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) )
1817oveq2d 6319 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) )
1915, 18eqeq12d 2445 . . . . . 6  |-  ( a  =  e  ->  (
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) ) )
2013, 19imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( a  =  e  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) ) ) )
21 sseq1 3486 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( a  C_  A 
<->  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )
2221anbi2d 709 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  /\  a  C_  A )  <->  (
ph  /\  ( e  u.  { z } ) 
C_  A ) ) )
23 mpteq1 4502 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
2423oveq2d 6319 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( W 
gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) ) )
25 mpteq1 4502 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  a  |->  Q )  =  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) )
2625oveq2d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  Q ) )  =  ( W 
gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) ) )
2726oveq2d 6319 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) ) ) )
2824, 27eqeq12d 2445 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( W 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) ) )
2922, 28imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( (
ph  /\  a  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) ) ) )
30 sseq1 3486 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
a  C_  A  <->  A  C_  A
) )
3130anbi2d 709 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  A  C_  A )
) )
32 mpteq1 4502 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
3332oveq2d 6319 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) ) )
34 mpteq1 4502 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  (
k  e.  a  |->  Q )  =  ( k  e.  A  |->  Q ) )
3534oveq2d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) )
3635oveq2d 6319 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) )
3733, 36eqeq12d 2445 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) ) )
3831, 37imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) ) ) )
39 gsumvsca.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e. SLMod )
40 gsumvsca.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  C_  ( Base `  G ) )
41 gsumvsca1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  K )
4240, 41sseldd 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Base `  G ) )
43 gsumvsca.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  (Scalar `  W )
44 gsumvsca.t . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( .s `  W )
45 eqid 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
46 gsumvsca.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4743, 44, 45, 46slmdvs0 28542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  P  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( P  .x.  .0.  )  =  .0.  )
4839, 42, 47syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  .0.  )  =  .0.  )
4948eqcomd 2431 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( P 
.x.  .0.  ) )
50 mpt0 5721 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  (/)
5150oveq2i 6314 . . . . . . . 8  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( W  gsumg  (/) )
5246gsum0 16514 . . . . . . . 8  |-  ( W 
gsumg  (/) )  =  .0.
5351, 52eqtri 2452 . . . . . . 7  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  .0.
54 mpt0 5721 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  (/)  |->  Q )  =  (/)
5554oveq2i 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) )  =  ( W  gsumg  (/) )
5655, 52eqtri 2452 . . . . . . . 8  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) )  =  .0.
5756oveq2i 6314 . . . . . . 7  |-  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  .0.  )
5849, 53, 573eqtr4g 2489 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) ) )
5958adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  A
)  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) ) )
60 ssun1 3630 . . . . . . . . 9  |-  e  C_  ( e  u.  {
z } )
61 sstr2 3472 . . . . . . . . 9  |-  ( e 
C_  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( e  u.  { z } )  C_  A  ->  e 
C_  A ) )
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  u.  { z } )  C_  A  ->  e  C_  A )
6362anim2i 572 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { z } ) 
C_  A )  -> 
( ph  /\  e  C_  A ) )
6463imim1i 61 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) ) )
6539ad2antrl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  W  e. SLMod )
6642ad2antrl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  P  e.  ( Base `  G ) )
67 gsumvsca.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  W
)
68 slmdcmn 28522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. SLMod  ->  W  e. CMnd )
6965, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  W  e. CMnd )
70 vex 3085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  e  e. 
_V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  e.  _V )
72 simplrl 769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  ph )
73 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( e  u.  {
z } )  C_  A )
7473unssad 3644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  C_  A )
7574sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  k  e.  A )
76 gsumvsca1.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Q  e.  B )
7772, 75, 76syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  Q  e.  B )
78 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  e  |->  Q )  =  ( k  e.  e  |->  Q )
7977, 78fmptd 6059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( k  e.  e 
|->  Q ) : e --> B )
80 simpll 759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  e.  Fin )
81 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  W )  e. 
_V
8246, 81eqeltri 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .0.  e.  _V
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  .0.  e.  _V )
8478, 80, 77, 83fsuppmptdm 7898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( k  e.  e 
|->  Q ) finSupp  .0.  )
8567, 46, 69, 71, 79, 84gsumcl 17542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  e.  B )
8673unssbd 3645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  { z }  C_  A )
87 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
8887snss 4122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
8986, 88sylibr 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  A )
9076ralrimiva 2840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  Q  e.  B )
9190ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  A. k  e.  A  Q  e.  B )
92 rspcsbela 3824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  A  /\  A. k  e.  A  Q  e.  B )  ->  [_ z  /  k ]_ Q  e.  B )
9389, 91, 92syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  [_ z  /  k ]_ Q  e.  B
)
94 gsumvsca.p . . . . . . . . . . . 12  |-  .+  =  ( +g  `  W )
9567, 94, 43, 44, 45slmdvsdi 28532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  ( P  e.  ( Base `  G )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  e.  B  /\  [_ z  /  k ]_ Q  e.  B ) )  -> 
( P  .x.  (
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) )  =  ( ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) 
.+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
9665, 66, 85, 93, 95syl13anc 1267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( P  .x.  (
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) )  =  ( ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) 
.+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
9796adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( P  .x.  (
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) )  =  ( ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) 
.+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
98 nfcsb1v 3412 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ Q
9987a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  _V )
100 simplr 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  -.  z  e.  e
)
101 csbeq1a 3405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  z  ->  Q  =  [_ z  /  k ]_ Q )
10298, 67, 94, 69, 80, 77, 99, 100, 93, 101gsumunsnf 17584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) )  =  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) )
103102oveq2d 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
104103adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
105 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k P
106 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k  .x.
107105, 106, 98nfov 6329 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q
)
10872, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  W  e. SLMod )
10972, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  P  e.  ( Base `  G )
)
11067, 43, 44, 45slmdvscl 28531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  P  e.  ( Base `  G
)  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .x.  Q )  e.  B )
111108, 109, 77, 110syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  ( P  .x.  Q )  e.  B
)
11267, 43, 44, 45slmdvscl 28531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  P  e.  ( Base `  G
)  /\  [_ z  / 
k ]_ Q  e.  B
)  ->  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q )  e.  B
)
11365, 66, 93, 112syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q
)  e.  B )
114101oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  z  ->  ( P  .x.  Q )  =  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q
) )
115107, 67, 94, 69, 80, 111, 99, 100, 113, 114gsumunsnf 17584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  .+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q
) ) )
116115adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  .+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q
) ) )
117 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) )
118117oveq1d 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  .+  ( P 
.x.  [_ z  /  k ]_ Q ) )  =  ( ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) 
.+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
119116, 118eqtrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) 
.+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
12097, 104, 1193eqtr4rd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) )
121120exp31 608 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) ) ) )
122121a2d 30 . . . . . 6  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  (
e  u.  { z } )  C_  A
)  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) ) ) )
12364, 122syl5 34 . . . . 5  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) ) ) )
12411, 20, 29, 38, 59, 123findcard2s 7816 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) ) )
125124imp 431 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( ph  /\  A  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) )
1262, 125mpanr2 689 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ph )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) )
1271, 126mpancom 674 1  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   _Vcvv 3082   [_csb 3396    u. cun 3435    C_ wss 3437   (/)c0 3762   {csn 3997    |-> cmpt 4480   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   Fincfn 7575   Basecbs 15114   +g cplusg 15183  Scalarcsca 15186   .scvsca 15187   0gc0g 15331    gsumg cgsu 15332  CMndccmn 17423  SLModcslmd 28517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-hash 12517  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-srg 17733  df-slmd 28518
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator