Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumvsca1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem gsumvsca1 28545
Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsca.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
gsumvsca.g  |-  G  =  (Scalar `  W )
gsumvsca.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
gsumvsca.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
gsumvsca.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
gsumvsca.k  |-  ( ph  ->  K  C_  ( Base `  G ) )
gsumvsca.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumvsca.w  |-  ( ph  ->  W  e. SLMod )
gsumvsca1.n  |-  ( ph  ->  P  e.  K )
gsumvsca1.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Q  e.  B )
Assertion
Ref Expression
gsumvsca1  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) )
Distinct variable groups:    .x. , k    A, k    k, W    ph, k    B, k    P, k
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    Q( k)    G( k)    K( k)    .0. ( k)

Proof of Theorem gsumvsca1
Dummy variables  e 
a  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsca.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 ssid 3451 . . 3  |-  A  C_  A
3 sseq1 3453 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
43anbi2d 710 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  (/)  C_  A ) ) )
5 mpteq1 4483 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( k  e.  a  |->  ( P 
.x.  Q ) )  =  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )
65oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( W 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) ) )
7 mpteq1 4483 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  ( k  e.  a  |->  Q )  =  ( k  e.  (/)  |->  Q ) )
87oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( W 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) )
98oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) ) )
106, 9eqeq12d 2466 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) ) ) )
114, 10imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  a  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  (/)  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) ) ) ) )
12 sseq1 3453 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  (
a  C_  A  <->  e  C_  A ) )
1312anbi2d 710 . . . . . 6  |-  ( a  =  e  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  e  C_  A )
) )
14 mpteq1 4483 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  (
k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
1514oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) ) )
16 mpteq1 4483 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  e  ->  (
k  e.  a  |->  Q )  =  ( k  e.  e  |->  Q ) )
1716oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) )
1817oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) )
1915, 18eqeq12d 2466 . . . . . 6  |-  ( a  =  e  ->  (
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) ) )
2013, 19imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( a  =  e  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) ) ) )
21 sseq1 3453 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( a  C_  A 
<->  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )
2221anbi2d 710 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  /\  a  C_  A )  <->  (
ph  /\  ( e  u.  { z } ) 
C_  A ) ) )
23 mpteq1 4483 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
2423oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( W 
gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) ) )
25 mpteq1 4483 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  a  |->  Q )  =  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) )
2625oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  Q ) )  =  ( W 
gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) ) )
2726oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) ) ) )
2824, 27eqeq12d 2466 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( W 
gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) ) )
2922, 28imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( (
ph  /\  a  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) ) ) )
30 sseq1 3453 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
a  C_  A  <->  A  C_  A
) )
3130anbi2d 710 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  A  C_  A )
) )
32 mpteq1 4483 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
k  e.  a  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )
3332oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) ) )
34 mpteq1 4483 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  (
k  e.  a  |->  Q )  =  ( k  e.  A  |->  Q ) )
3534oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) )  =  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) )
3635oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a  |->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) )
3733, 36eqeq12d 2466 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) )  <-> 
( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) ) )
3831, 37imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  a 
|->  Q ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) ) ) )
39 gsumvsca.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e. SLMod )
40 gsumvsca.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  C_  ( Base `  G ) )
41 gsumvsca1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  K )
4240, 41sseldd 3433 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Base `  G ) )
43 gsumvsca.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  (Scalar `  W )
44 gsumvsca.t . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( .s `  W )
45 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
46 gsumvsca.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4743, 44, 45, 46slmdvs0 28541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  P  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( P  .x.  .0.  )  =  .0.  )
4839, 42, 47syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  .0.  )  =  .0.  )
4948eqcomd 2457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( P 
.x.  .0.  ) )
50 mpt0 5705 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) )  =  (/)
5150oveq2i 6301 . . . . . . . 8  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( W  gsumg  (/) )
5246gsum0 16521 . . . . . . . 8  |-  ( W 
gsumg  (/) )  =  .0.
5351, 52eqtri 2473 . . . . . . 7  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  .0.
54 mpt0 5705 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  (/)  |->  Q )  =  (/)
5554oveq2i 6301 . . . . . . . . 9  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) )  =  ( W  gsumg  (/) )
5655, 52eqtri 2473 . . . . . . . 8  |-  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) )  =  .0.
5756oveq2i 6301 . . . . . . 7  |-  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  .0.  )
5849, 53, 573eqtr4g 2510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) ) )
5958adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  A
)  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  (/)  |->  Q ) ) ) )
60 ssun1 3597 . . . . . . . . 9  |-  e  C_  ( e  u.  {
z } )
61 sstr2 3439 . . . . . . . . 9  |-  ( e 
C_  ( e  u. 
{ z } )  ->  ( ( e  u.  { z } )  C_  A  ->  e 
C_  A ) )
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  u.  { z } )  C_  A  ->  e  C_  A )
6362anim2i 573 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { z } ) 
C_  A )  -> 
( ph  /\  e  C_  A ) )
6463imim1i 60 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) ) )
6539ad2antrl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  W  e. SLMod )
6642ad2antrl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  P  e.  ( Base `  G ) )
67 gsumvsca.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  W
)
68 slmdcmn 28521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. SLMod  ->  W  e. CMnd )
6965, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  W  e. CMnd )
70 vex 3048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  e  e. 
_V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  e.  _V )
72 simplrl 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  ph )
73 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( e  u.  {
z } )  C_  A )
7473unssad 3611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  C_  A )
7574sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  k  e.  A )
76 gsumvsca1.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Q  e.  B )
7772, 75, 76syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  Q  e.  B )
78 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  e  |->  Q )  =  ( k  e.  e  |->  Q )
7977, 78fmptd 6046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( k  e.  e 
|->  Q ) : e --> B )
80 simpll 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
e  e.  Fin )
81 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  W )  e. 
_V
8246, 81eqeltri 2525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .0.  e.  _V
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  .0.  e.  _V )
8478, 80, 77, 83fsuppmptdm 7894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( k  e.  e 
|->  Q ) finSupp  .0.  )
8567, 46, 69, 71, 79, 84gsumcl 17549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  e.  B )
8673unssbd 3612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  { z }  C_  A )
87 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
8887snss 4096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
8986, 88sylibr 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  A )
9076ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  Q  e.  B )
9190ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  A. k  e.  A  Q  e.  B )
92 rspcsbela 3795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  A  /\  A. k  e.  A  Q  e.  B )  ->  [_ z  /  k ]_ Q  e.  B )
9389, 91, 92syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  [_ z  /  k ]_ Q  e.  B
)
94 gsumvsca.p . . . . . . . . . . . 12  |-  .+  =  ( +g  `  W )
9567, 94, 43, 44, 45slmdvsdi 28531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  ( P  e.  ( Base `  G )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  e.  B  /\  [_ z  /  k ]_ Q  e.  B ) )  -> 
( P  .x.  (
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) )  =  ( ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) 
.+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
9665, 66, 85, 93, 95syl13anc 1270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( P  .x.  (
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) )  =  ( ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) 
.+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
9796adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( P  .x.  (
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) )  =  ( ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) 
.+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
98 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ Q
9987a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  _V )
100 simplr 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  -.  z  e.  e
)
101 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  z  ->  Q  =  [_ z  /  k ]_ Q )
10298, 67, 94, 69, 80, 77, 99, 100, 93, 101gsumunsnf 17591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) )  =  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) )
103102oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
104103adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) )  .+  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
105 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k P
106 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k  .x.
107105, 106, 98nfov 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q
)
10872, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  W  e. SLMod )
10972, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  P  e.  ( Base `  G )
)
11067, 43, 44, 45slmdvscl 28530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  P  e.  ( Base `  G
)  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .x.  Q )  e.  B )
111108, 109, 77, 110syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  k  e.  e )  ->  ( P  .x.  Q )  e.  B
)
11267, 43, 44, 45slmdvscl 28530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  P  e.  ( Base `  G
)  /\  [_ z  / 
k ]_ Q  e.  B
)  ->  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q )  e.  B
)
11365, 66, 93, 112syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q
)  e.  B )
114101oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  z  ->  ( P  .x.  Q )  =  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q
) )
115107, 67, 94, 69, 80, 111, 99, 100, 113, 114gsumunsnf 17591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  .+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q
) ) )
116115adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  .+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q
) ) )
117 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) )
118117oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  .+  ( P 
.x.  [_ z  /  k ]_ Q ) )  =  ( ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) 
.+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
119116, 118eqtrd 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) 
.+  ( P  .x.  [_ z  /  k ]_ Q ) ) )
12097, 104, 1193eqtr4rd 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A ) )  /\  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) )
121120exp31 609 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  Q ) ) )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) ) ) )
122121a2d 29 . . . . . 6  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  (
e  u.  { z } )  C_  A
)  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) ) ) )
12364, 122syl5 33 . . . . 5  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  z  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  e 
|->  Q ) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u.  { z } )  |->  ( P 
.x.  Q ) ) )  =  ( P 
.x.  ( W  gsumg  ( k  e.  ( e  u. 
{ z } ) 
|->  Q ) ) ) ) ) )
12411, 20, 29, 38, 59, 123findcard2s 7812 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) ) )
125124imp 431 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( ph  /\  A  C_  A ) )  -> 
( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) )
1262, 125mpanr2 690 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ph )  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q ) ) )  =  ( P  .x.  ( W 
gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) )
1271, 126mpancom 675 1  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( P  .x.  Q
) ) )  =  ( P  .x.  ( W  gsumg  ( k  e.  A  |->  Q ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045   [_csb 3363    u. cun 3402    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968    |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   Basecbs 15121   +g cplusg 15190  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194   0gc0g 15338    gsumg cgsu 15339  CMndccmn 17430  SLModcslmd 28516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-srg 17740  df-slmd 28517
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator