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Theorem gsumvallem1 15491
Description: Lemma for properties of the set of identities of  G. Either  G has no identities, and  O  =  (/), or it has one and this identity is unique and identified by the 
0g function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvallem1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumvallem1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumvallem1.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumvallem1.o  |-  O  =  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }
Assertion
Ref Expression
gsumvallem1  |-  ( G  e.  V  ->  O  C_ 
{  .0.  } )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, G, y    x,  .+ , y    x, V    x,  .0. , y
Allowed substitution hints:    O( x, y)    V( y)

Proof of Theorem gsumvallem1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvallem1.o . 2  |-  O  =  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }
2 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) ) )  -> 
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) ) )
3 gsumvallem1.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 gsumvallem1.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
5 gsumvallem1.p . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  G )
6 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
z  .+  y )  =  ( x  .+  y ) )
76eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  .+  y
)  =  y  <->  ( x  .+  y )  =  y ) )
8 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
y  .+  z )  =  ( y  .+  x ) )
98eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  .+  z
)  =  y  <->  ( y  .+  x )  =  y ) )
107, 9anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( z  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  z )  =  y )  <->  ( ( x 
.+  y )  =  y  /\  ( y 
.+  x )  =  y ) ) )
1110ralbidv 2730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  B  ( ( z  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  z )  =  y )  <->  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) ) )
1211rspcev 3068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) )  ->  E. z  e.  B  A. y  e.  B  ( (
z  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  z )  =  y ) )
1312adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) ) )  ->  E. z  e.  B  A. y  e.  B  ( ( z  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  z )  =  y ) )
143, 4, 5, 13ismgmid 15427 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) ) )  -> 
( ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) )  <-> 
.0.  =  x ) )
152, 14mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) ) )  ->  .0.  =  x )
1615eqcomd 2443 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) ) )  ->  x  =  .0.  )
17 elsn 3886 . . . . . 6  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
1816, 17sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } )
1918expr 615 . . . 4  |-  ( ( G  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( x 
.+  y )  =  y  /\  ( y 
.+  x )  =  y )  ->  x  e.  {  .0.  } ) )
2019ralrimiva 2794 . . 3  |-  ( G  e.  V  ->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y )  ->  x  e.  {  .0.  } ) )
21 rabss 3424 . . 3  |-  ( { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  C_  {  .0.  }  <->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y )  ->  x  e.  {  .0.  } ) )
2220, 21sylibr 212 . 2  |-  ( G  e.  V  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  C_  {  .0.  } )
231, 22syl5eqss 3395 1  |-  ( G  e.  V  ->  O  C_ 
{  .0.  } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714    C_ wss 3323   {csn 3872   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   0gc0g 14370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-0g 14372
This theorem is referenced by:  gsumvallem2  15492  gsumress  15498  gsumval2  15504
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