Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumvallem1 Structured version   Unicode version

Theorem gsumvallem1 15491
 Description: Lemma for properties of the set of identities of . Either has no identities, and , or it has one and this identity is unique and identified by the function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvallem1.b
gsumvallem1.z
gsumvallem1.p
gsumvallem1.o
Assertion
Ref Expression
gsumvallem1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   , ,   ,   , ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem gsumvallem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvallem1.o . 2
2 simpr 461 . . . . . . . 8
3 gsumvallem1.b . . . . . . . . 9
4 gsumvallem1.z . . . . . . . . 9
5 gsumvallem1.p . . . . . . . . 9
6 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . 14
76eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . 13
8 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . . 14
98eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . 13
107, 9anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12
1110ralbidv 2730 . . . . . . . . . . 11
1211rspcev 3068 . . . . . . . . . 10
1312adantl 466 . . . . . . . . 9
143, 4, 5, 13ismgmid 15427 . . . . . . . 8
152, 14mpbid 210 . . . . . . 7
1615eqcomd 2443 . . . . . 6
17 elsn 3886 . . . . . 6
1816, 17sylibr 212 . . . . 5
1918expr 615 . . . 4
2019ralrimiva 2794 . . 3
21 rabss 3424 . . 3
2220, 21sylibr 212 . 2
231, 22syl5eqss 3395 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1369   wcel 1756  wral 2710  wrex 2711  crab 2714   wss 3323  csn 3872  cfv 5413  (class class class)co 6086  cbs 14166   cplusg 14230  c0g 14370 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-0g 14372 This theorem is referenced by:  gsumvallem2  15492  gsumress  15498  gsumval2  15504
 Copyright terms: Public domain W3C validator