Theorem gsumval3eu 16707

Description: The group sum as defined in gsumval3a 16705 is uniquely defined. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumval3.b	|- B = ( Base ` G )
gsumval3.0	|- .0. = ( 0g ` G )
gsumval3.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsumval3.z	|- Z = (Cntz ` G )
gsumval3.g	|- ( ph -> G e. Mnd )
gsumval3.a	|- ( ph -> A e. V )
gsumval3.f	|- ( ph -> F : A --> B )
gsumval3.c	|- ( ph -> ran F C_ ( Z ` ran F ) )
gsumval3a.t	|- ( ph -> W e. Fin )
gsumval3a.n	|- ( ph -> W =/= (/) )
gsumval3a.s	|- ( ph -> W C_ A )

Assertion

Ref	Expression
gsumval3eu	|- ( ph -> E! x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, f, .+   A, f, x   ph, f, x   x, .0.   f, G, x   x, V   B, f, x   f, F, x   f, W, x

Allowed substitution hints:   V( f)   .0. ( f)   Z( x, f)

Proof of Theorem gsumval3eu

Dummy variables g k y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumval3a.n	. . . . . 6 |- ( ph -> W =/= (/) )
2	1	neneqd 2669	. . . . 5 |- ( ph -> -. W = (/) )
3		gsumval3a.t	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. Fin )
4		fz1f1o 13494	. . . . . . 7 |- ( W e. Fin -> ( W = (/) \/ ( ( # ` W ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
5	3, 4	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( W = (/) \/ ( ( # ` W ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
6	5	ord 377	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. W = (/) -> ( ( # ` W ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
7	2, 6	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` W ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) )
8	7	simprd 463	. . 3 |- ( ph -> E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
9		excom 1798	. . . 4 |- ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. f E. x ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) )
10		exancom 1648	. . . . . 6 |- ( E. x ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. x ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) )
11		fvex 5875	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) e. _V
12		biidd 237	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) -> ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W <-> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) )
13	11, 12	ceqsexv 3150	. . . . . 6 |- ( E. x ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) <-> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
14	10, 13	bitri 249	. . . . 5 |- ( E. x ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
15	14	exbii 1644	. . . 4 |- ( E. f E. x ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
16	9, 15	bitri 249	. . 3 |- ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
17	8, 16	sylibr 212	. 2 |- ( ph -> E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) )
18		eeanv 1957	. . . 4 |- ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) <-> ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) )
19		an4 822	. . . . . 6 |- ( ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) /\ ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) <-> ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) )
20		gsumval3.g	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. Mnd )
21	20	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> G e. Mnd )
22		gsumval3.b	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( Base ` G )
23		gsumval3.p	. . . . . . . . . . . 12 |- .+ = ( +g ` G )
24	22, 23	mndcl 15736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
25	24	3expb 1197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
26	21, 25	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
27		gsumval3.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ran F C_ ( Z ` ran F ) )
28	27	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ran F C_ ( Z ` ran F ) )
29	28	sselda 3504	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ran F ) -> x e. ( Z ` ran F ) )
30	29	adantrr 716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ ( x e. ran F /\ y e. ran F ) ) -> x e. ( Z ` ran F ) )
31		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ ( x e. ran F /\ y e. ran F ) ) -> y e. ran F )
32		gsumval3.z	. . . . . . . . . . 11 |- Z = (Cntz ` G )
33	23, 32	cntzi 16169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( Z ` ran F ) /\ y e. ran F ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
34	30, 31, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ ( x e. ran F /\ y e. ran F ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
35	22, 23	mndass 15737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
36	21, 35	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
37	7	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` W ) e. NN )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( # ` W ) e. NN )
39		nnuz 11116	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
40	38, 39	syl6eleq 2565	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
41		gsumval3.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> B )
42	41	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> F : A --> B )
43		frn 5736	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ran F C_ B )
45		simprr 756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
46		f1ocnv 5827	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W -> `' g : W -1-1-onto-> ( 1 ... ( # ` W ) ) )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> `' g : W -1-1-onto-> ( 1 ... ( # ` W ) ) )
48		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
49		f1oco 5837	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' g : W -1-1-onto-> ( 1 ... ( # ` W ) ) /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) -> ( `' g o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # ` W ) ) )
50	47, 48, 49	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( `' g o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # ` W ) ) )
51		f1of 5815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W -> g : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W )
52	45, 51	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> g : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W )
53		fvco3 5943	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W /\ x e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` x ) = ( F ` ( g ` x ) ) )
54	52, 53	sylan 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` x ) = ( F ` ( g ` x ) ) )
55		ffn 5730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
56	42, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> F Fn A )
57	56	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> F Fn A )
58		gsumval3a.s	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> W C_ A )
59	58	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> W C_ A )
60		fss 5738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W /\ W C_ A ) -> g : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> A )
61	52, 59, 60	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> g : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> A )
62	61	ffvelrnda 6020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( g ` x ) e. A )
63		fnfvelrn 6017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn A /\ ( g ` x ) e. A ) -> ( F ` ( g ` x ) ) e. ran F )
64	57, 62, 63	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( F ` ( g ` x ) ) e. ran F )
65	54, 64	eqeltrd 2555	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` x ) e. ran F )
66		f1of 5815	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W -> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W )
67	48, 66	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W )
68		fvco3 5943	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( `' g o. f ) ` k ) = ( `' g ` ( f ` k ) ) )
69	67, 68	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( `' g o. f ) ` k ) = ( `' g ` ( f ` k ) ) )
70	69	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( g ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) = ( g ` ( `' g ` ( f ` k ) ) ) )
71	45	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
72	67	ffvelrnda 6020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( f ` k ) e. W )
73		f1ocnvfv2 6170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ ( f ` k ) e. W ) -> ( g ` ( `' g ` ( f ` k ) ) ) = ( f ` k ) )
74	71, 72, 73	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( g ` ( `' g ` ( f ` k ) ) ) = ( f ` k ) )
75	70, 74	eqtr2d 2509	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( f ` k ) = ( g ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) )
76	75	fveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( F ` ( f ` k ) ) = ( F ` ( g ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) ) )
77		fvco3 5943	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` k ) = ( F ` ( f ` k ) ) )
78	67, 77	sylan 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` k ) = ( F ` ( f ` k ) ) )
79		f1of 5815	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' g o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # ` W ) ) -> ( `' g o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> ( 1 ... ( # ` W ) ) )
80	50, 79	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( `' g o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> ( 1 ... ( # ` W ) ) )
81	80	ffvelrnda 6020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( `' g o. f ) ` k ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) )
82		fvco3 5943	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> A /\ ( ( `' g o. f ) ` k ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) = ( F ` ( g ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) ) )
83	61, 82	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ ( ( `' g o. f ) ` k ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) = ( F ` ( g ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) ) )
84	81, 83	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) = ( F ` ( g ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) ) )
85	76, 78, 84	3eqtr4d 2518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` k ) = ( ( F o. g ) ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) )
86	26, 34, 36, 40, 44, 50, 65, 85	seqf1o 12115	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) )
87		eqeq12 2486	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) -> ( x = y <-> ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) )
88	86, 87	syl5ibrcom 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) -> x = y ) )
89	88	expimpd 603	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) /\ ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) -> x = y ) )
90	19, 89	syl5bir 218	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) -> x = y ) )
91	90	exlimdvv 1701	. . . 4 |- ( ph -> ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) -> x = y ) )
92	18, 91	syl5bir 218	. . 3 |- ( ph -> ( ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) -> x = y ) )
93	92	alrimivv 1696	. 2 |- ( ph -> A. x A. y ( ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) -> x = y ) )
94		eqeq1 2471	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) <-> y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) )
95	94	anbi2d 703	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) )
96	95	exbidv 1690	. . . 4 |- ( x = y -> ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) )
97		f1oeq1 5806	. . . . . 6 |- ( f = g -> ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W <-> g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) )
98		coeq2 5160	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( F o. f ) = ( F o. g ) )
99	98	seqeq3d 12082	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) = seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) )
100	99	fveq1d 5867	. . . . . . 7 |- ( f = g -> ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) )
101	100	eqeq2d 2481	. . . . . 6 |- ( f = g -> ( y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) <-> y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) )
102	97, 101	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( f = g -> ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) )
103	102	cbvexv 1997	. . . 4 |- ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) )
104	96, 103	syl6bb 261	. . 3 |- ( x = y -> ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) )
105	104	eu4 2340	. 2 |- ( E! x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ A. x A. y ( ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) -> x = y ) ) )
106	17, 93, 105	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> E! x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1377   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   E!weu 2275   =/= wne 2662   C_ wss 3476   (/)c0 3785   `'ccnv 4998   ran crn 5000   o. ccom 5003   Fn wfn 5582   -->wf 5583   -1-1-onto->wf1o 5586   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Fincfn 7516   1c1 9492   NNcn 10535   ZZ>=cuz 11081   ...cfz 11671   seqcseq 12074   #chash 12372   Basecbs 14489   +g cplusg 14554   0gc0g 14694   Mndcmnd 15725  Cntzccntz 16155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-hash 12373  df-mnd 15731  df-cntz 16157

This theorem is referenced by:  gsumval3OLD  16708  gsumval3lem2  16710