Theorem gsumval3eu 17034

Description: The group sum as defined in gsumval3a 17032 is uniquely defined. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumval3.b	|- B = ( Base ` G )
gsumval3.0	|- .0. = ( 0g ` G )
gsumval3.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsumval3.z	|- Z = (Cntz ` G )
gsumval3.g	|- ( ph -> G e. Mnd )
gsumval3.a	|- ( ph -> A e. V )
gsumval3.f	|- ( ph -> F : A --> B )
gsumval3.c	|- ( ph -> ran F C_ ( Z ` ran F ) )
gsumval3a.t	|- ( ph -> W e. Fin )
gsumval3a.n	|- ( ph -> W =/= (/) )
gsumval3a.s	|- ( ph -> W C_ A )

Assertion

Ref	Expression
gsumval3eu	|- ( ph -> E! x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, f, .+   A, f, x   ph, f, x   x, .0.   f, G, x   x, V   B, f, x   f, F, x   f, W, x

Allowed substitution hints:   V( f)   .0. ( f)   Z( x, f)

Proof of Theorem gsumval3eu

Dummy variables g k y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumval3a.n	. . . . . 6 |- ( ph -> W =/= (/) )
2	1	neneqd 2659	. . . . 5 |- ( ph -> -. W = (/) )
3		gsumval3a.t	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. Fin )
4		fz1f1o 13544	. . . . . . 7 |- ( W e. Fin -> ( W = (/) \/ ( ( # ` W ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
5	3, 4	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( W = (/) \/ ( ( # ` W ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
6	5	ord 377	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. W = (/) -> ( ( # ` W ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
7	2, 6	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` W ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) )
8	7	simprd 463	. . 3 |- ( ph -> E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
9		excom 1850	. . . 4 |- ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. f E. x ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) )
10		exancom 1672	. . . . . 6 |- ( E. x ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. x ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) )
11		fvex 5882	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) e. _V
12		biidd 237	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) -> ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W <-> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) )
13	11, 12	ceqsexv 3146	. . . . . 6 |- ( E. x ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) <-> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
14	10, 13	bitri 249	. . . . 5 |- ( E. x ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
15	14	exbii 1668	. . . 4 |- ( E. f E. x ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
16	9, 15	bitri 249	. . 3 |- ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
17	8, 16	sylibr 212	. 2 |- ( ph -> E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) )
18		eeanv 1989	. . . 4 |- ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) <-> ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) )
19		an4 824	. . . . . 6 |- ( ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) /\ ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) <-> ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) )
20		gsumval3.g	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. Mnd )
21	20	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> G e. Mnd )
22		gsumval3.b	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( Base ` G )
23		gsumval3.p	. . . . . . . . . . . 12 |- .+ = ( +g ` G )
24	22, 23	mndcl 16056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
25	24	3expb 1197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
26	21, 25	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
27		gsumval3.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ran F C_ ( Z ` ran F ) )
28	27	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ran F C_ ( Z ` ran F ) )
29	28	sselda 3499	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ran F ) -> x e. ( Z ` ran F ) )
30	29	adantrr 716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ ( x e. ran F /\ y e. ran F ) ) -> x e. ( Z ` ran F ) )
31		simprr 757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ ( x e. ran F /\ y e. ran F ) ) -> y e. ran F )
32		gsumval3.z	. . . . . . . . . . 11 |- Z = (Cntz ` G )
33	23, 32	cntzi 16494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( Z ` ran F ) /\ y e. ran F ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
34	30, 31, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ ( x e. ran F /\ y e. ran F ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
35	22, 23	mndass 16057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
36	21, 35	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
37	7	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` W ) e. NN )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( # ` W ) e. NN )
39		nnuz 11141	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
40	38, 39	syl6eleq 2555	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
41		gsumval3.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> B )
42	41	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> F : A --> B )
43		frn 5743	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ran F C_ B )
45		simprr 757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
46		f1ocnv 5834	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W -> `' g : W -1-1-onto-> ( 1 ... ( # ` W ) ) )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> `' g : W -1-1-onto-> ( 1 ... ( # ` W ) ) )
48		simprl 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
49		f1oco 5844	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' g : W -1-1-onto-> ( 1 ... ( # ` W ) ) /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) -> ( `' g o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # ` W ) ) )
50	47, 48, 49	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( `' g o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # ` W ) ) )
51		f1of 5822	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W -> g : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W )
52	45, 51	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> g : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W )
53		fvco3 5950	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W /\ x e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` x ) = ( F ` ( g ` x ) ) )
54	52, 53	sylan 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` x ) = ( F ` ( g ` x ) ) )
55		ffn 5737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
56	42, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> F Fn A )
57	56	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> F Fn A )
58		gsumval3a.s	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> W C_ A )
59	58	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> W C_ A )
60	52, 59	fssd 5746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> g : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> A )
61	60	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( g ` x ) e. A )
62		fnfvelrn 6029	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn A /\ ( g ` x ) e. A ) -> ( F ` ( g ` x ) ) e. ran F )
63	57, 61, 62	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( F ` ( g ` x ) ) e. ran F )
64	54, 63	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` x ) e. ran F )
65		f1of 5822	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W -> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W )
66	48, 65	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W )
67		fvco3 5950	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( `' g o. f ) ` k ) = ( `' g ` ( f ` k ) ) )
68	66, 67	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( `' g o. f ) ` k ) = ( `' g ` ( f ` k ) ) )
69	68	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( g ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) = ( g ` ( `' g ` ( f ` k ) ) ) )
70	45	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
71	66	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( f ` k ) e. W )
72		f1ocnvfv2 6184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ ( f ` k ) e. W ) -> ( g ` ( `' g ` ( f ` k ) ) ) = ( f ` k ) )
73	70, 71, 72	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( g ` ( `' g ` ( f ` k ) ) ) = ( f ` k ) )
74	69, 73	eqtr2d 2499	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( f ` k ) = ( g ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) )
75	74	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( F ` ( f ` k ) ) = ( F ` ( g ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) ) )
76		fvco3 5950	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` k ) = ( F ` ( f ` k ) ) )
77	66, 76	sylan 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` k ) = ( F ` ( f ` k ) ) )
78		f1of 5822	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' g o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # ` W ) ) -> ( `' g o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> ( 1 ... ( # ` W ) ) )
79	50, 78	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( `' g o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> ( 1 ... ( # ` W ) ) )
80	79	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( `' g o. f ) ` k ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) )
81		fvco3 5950	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> A /\ ( ( `' g o. f ) ` k ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) = ( F ` ( g ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) ) )
82	60, 81	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ ( ( `' g o. f ) ` k ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) = ( F ` ( g ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) ) )
83	80, 82	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) = ( F ` ( g ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) ) )
84	75, 77, 83	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` k ) = ( ( F o. g ) ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) )
85	26, 34, 36, 40, 44, 50, 64, 84	seqf1o 12151	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) )
86		eqeq12 2476	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) -> ( x = y <-> ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) )
87	85, 86	syl5ibrcom 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) -> x = y ) )
88	87	expimpd 603	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) /\ ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) -> x = y ) )
89	19, 88	syl5bir 218	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) -> x = y ) )
90	89	exlimdvv 1726	. . . 4 |- ( ph -> ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) -> x = y ) )
91	18, 90	syl5bir 218	. . 3 |- ( ph -> ( ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) -> x = y ) )
92	91	alrimivv 1721	. 2 |- ( ph -> A. x A. y ( ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) -> x = y ) )
93		eqeq1 2461	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) <-> y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) )
94	93	anbi2d 703	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) )
95	94	exbidv 1715	. . . 4 |- ( x = y -> ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) )
96		f1oeq1 5813	. . . . . 6 |- ( f = g -> ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W <-> g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) )
97		coeq2 5171	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( F o. f ) = ( F o. g ) )
98	97	seqeq3d 12118	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) = seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) )
99	98	fveq1d 5874	. . . . . . 7 |- ( f = g -> ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) )
100	99	eqeq2d 2471	. . . . . 6 |- ( f = g -> ( y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) <-> y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) )
101	96, 100	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( f = g -> ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) )
102	101	cbvexv 2025	. . . 4 |- ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) )
103	95, 102	syl6bb 261	. . 3 |- ( x = y -> ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) )
104	103	eu4 2339	. 2 |- ( E! x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ A. x A. y ( ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) -> x = y ) ) )
105	17, 92, 104	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> E! x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   E!weu 2283   =/= wne 2652   C_ wss 3471   (/)c0 3793   `'ccnv 5007   ran crn 5009   o. ccom 5012   Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   1c1 9510   NNcn 10556   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   seqcseq 12110   #chash 12408   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   0gc0g 14857   Mndcmnd 16046  Cntzccntz 16480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-cntz 16482

This theorem is referenced by:  gsumval3OLD  17035  gsumval3lem2  17037