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Theorem gsumval3eu 17531
Description: The group sum as defined in gsumval3a 17530 is uniquely defined. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval3.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumval3.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumval3.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumval3.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
gsumval3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
gsumval3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumval3.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumval3.c  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
gsumval3a.t  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
gsumval3a.n  |-  ( ph  ->  W  =/=  (/) )
gsumval3a.s  |-  ( ph  ->  W  C_  A )
Assertion
Ref Expression
gsumval3eu  |-  ( ph  ->  E! x E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f,  .+    A, f, x    ph, f, x    x,  .0.    f, G, x   
x, V    B, f, x    f, F, x    f, W, x
Allowed substitution hints:    V( f)    .0. ( f)    Z( x, f)

Proof of Theorem gsumval3eu
Dummy variables  g 
k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumval3a.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  =/=  (/) )
21neneqd 2628 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  W  =  (/) )
3 gsumval3a.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
4 fz1f1o 13769 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  Fin  ->  ( W  =  (/)  \/  (
( # `  W )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
53, 4syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( W  =  (/)  \/  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
65ord 379 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  W  =  (/)  ->  ( ( # `  W )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
72, 6mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) )
87simprd 465 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )
9 excom 1926 . . . 4  |-  ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  <->  E. f E. x ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) ) )
10 exancom 1721 . . . . . 6  |-  ( E. x ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )  <->  E. x
( x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) )  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )
11 fvex 5873 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  e.  _V
12 biidd 241 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  f )
) `  ( # `  W
) )  ->  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  <->  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) )
1311, 12ceqsexv 3083 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) )  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )  <->  f :
( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )
1410, 13bitri 253 . . . . 5  |-  ( E. x ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )  <->  f :
( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )
1514exbii 1717 . . . 4  |-  ( E. f E. x ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  <->  E. f 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )
169, 15bitri 253 . . 3  |-  ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  <->  E. f 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )
178, 16sylibr 216 . 2  |-  ( ph  ->  E. x E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
18 eeanv 2077 . . . 4  |-  ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) )  /\  ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  g ) ) `
 ( # `  W
) ) ) )  <-> 
( E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  g ) ) `  ( # `  W ) ) ) ) )
19 an4 832 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )  /\  (
x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  g ) ) `  ( # `  W ) ) ) )  <->  ( (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  ( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) ) )
20 gsumval3.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
2120adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  G  e.  Mnd )
22 gsumval3.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  G
)
23 gsumval3.p . . . . . . . . . . . 12  |-  .+  =  ( +g  `  G )
2422, 23mndcl 16538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
25243expb 1208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
2621, 25sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  .+  y )  e.  B
)
27 gsumval3.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
2827adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  F 
C_  ( Z `  ran  F ) )
2928sselda 3431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ran  F )  ->  x  e.  ( Z `  ran  F ) )
3029adantrr 722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
x  e.  ran  F  /\  y  e.  ran  F ) )  ->  x  e.  ( Z `  ran  F ) )
31 simprr 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
x  e.  ran  F  /\  y  e.  ran  F ) )  ->  y  e.  ran  F )
32 gsumval3.z . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  (Cntz `  G )
3323, 32cntzi 16976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( Z `
 ran  F )  /\  y  e.  ran  F )  ->  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
3430, 31, 33syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
x  e.  ran  F  /\  y  e.  ran  F ) )  ->  (
x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
3522, 23mndass 16539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
3621, 35sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) ) )
377simpld 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  W
)  e.  NN )
3837adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( # `
 W )  e.  NN )
39 nnuz 11191 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4038, 39syl6eleq 2538 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( # `
 W )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
41 gsumval3.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
4241adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  F : A --> B )
43 frn 5733 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> B  ->  ran  F  C_  B )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  F 
C_  B )
45 simprr 765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )
46 f1ocnv 5824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  `' g : W -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  `' g : W -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
48 simprl 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )
49 f1oco 5834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' g : W -1-1-onto-> (
1 ... ( # `  W
) )  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )  ->  ( `' g  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
5047, 48, 49syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( `' g  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
51 f1of 5812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  g :
( 1 ... ( # `
 W ) ) --> W )
5245, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W )
53 fvco3 5940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  g ) `  x
)  =  ( F `
 ( g `  x ) ) )
5452, 53sylan 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  x )  =  ( F `  ( g `
 x ) ) )
55 ffn 5726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
5642, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  F  Fn  A )
5756adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  F  Fn  A )
58 gsumval3a.s . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  W  C_  A )
5958adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  W  C_  A )
6052, 59fssd 5736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )
6160ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( g `  x )  e.  A
)
62 fnfvelrn 6017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  A  /\  ( g `  x
)  e.  A )  ->  ( F `  ( g `  x
) )  e.  ran  F )
6357, 61, 62syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( F `  ( g `  x
) )  e.  ran  F )
6454, 63eqeltrd 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  x )  e.  ran  F )
65 f1of 5812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  f :
( 1 ... ( # `
 W ) ) --> W )
6648, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W )
67 fvco3 5940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( `' g  o.  f ) `  k )  =  ( `' g `  (
f `  k )
) )
6866, 67sylan 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( `' g  o.  f
) `  k )  =  ( `' g `
 ( f `  k ) ) )
6968fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( g `  ( ( `' g  o.  f ) `  k ) )  =  ( g `  ( `' g `  (
f `  k )
) ) )
7045adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  g :
( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )
7166ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( f `  k )  e.  W
)
72 f1ocnvfv2 6174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  ( f `
 k )  e.  W )  ->  (
g `  ( `' g `  ( f `  k ) ) )  =  ( f `  k ) )
7370, 71, 72syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( g `  ( `' g `  ( f `  k
) ) )  =  ( f `  k
) )
7469, 73eqtr2d 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( f `  k )  =  ( g `  ( ( `' g  o.  f
) `  k )
) )
7574fveq2d 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( F `  ( f `  k
) )  =  ( F `  ( g `
 ( ( `' g  o.  f ) `
 k ) ) ) )
76 fvco3 5940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  k
)  =  ( F `
 ( f `  k ) ) )
7766, 76sylan 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  k )  =  ( F `  ( f `
 k ) ) )
78 f1of 5812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' g  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 W ) )  ->  ( `' g  o.  f ) : ( 1 ... ( # `
 W ) ) --> ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
7950, 78syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( `' g  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> ( 1 ... ( # `  W
) ) )
8079ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( `' g  o.  f
) `  k )  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
81 fvco3 5940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A  /\  ( ( `' g  o.  f ) `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  W ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  ( ( `' g  o.  f ) `  k ) )  =  ( F `  (
g `  ( ( `' g  o.  f
) `  k )
) ) )
8260, 81sylan 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
( `' g  o.  f ) `  k
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  g ) `  (
( `' g  o.  f ) `  k
) )  =  ( F `  ( g `
 ( ( `' g  o.  f ) `
 k ) ) ) )
8380, 82syldan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  ( ( `' g  o.  f ) `  k ) )  =  ( F `  (
g `  ( ( `' g  o.  f
) `  k )
) ) )
8475, 77, 833eqtr4d 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  k )  =  ( ( F  o.  g
) `  ( ( `' g  o.  f
) `  k )
) )
8526, 34, 36, 40, 44, 50, 64, 84seqf1o 12251 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  =  (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  g )
) `  ( # `  W
) ) )
86 eqeq12 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  g ) ) `  ( # `  W ) ) )  ->  (
x  =  y  <->  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  =  (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  g )
) `  ( # `  W
) ) ) )
8785, 86syl5ibrcom 226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
( x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) )  /\  y  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  g ) ) `
 ( # `  W
) ) )  ->  x  =  y )
)
8887expimpd 607 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )  /\  ( x  =  (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  f )
) `  ( # `  W
) )  /\  y  =  (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  g )
) `  ( # `  W
) ) ) )  ->  x  =  y ) )
8919, 88syl5bir 222 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  ( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
9089exlimdvv 1779 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  ( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
9118, 90syl5bir 222 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) )  /\  E. g
( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
9291alrimivv 1773 . 2  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( ( E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) )  /\  E. g
( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
93 eqeq1 2454 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  <-> 
y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
9493anbi2d 709 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) )  <->  ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) ) ) )
9594exbidv 1767 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) ) )
96 f1oeq1 5803 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  <->  g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) )
97 coeq2 4992 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  ( F  o.  f )  =  ( F  o.  g ) )
9897seqeq3d 12218 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  g  ->  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) )  =  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) )
9998fveq1d 5865 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  =  (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  g )
) `  ( # `  W
) ) )
10099eqeq2d 2460 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  <-> 
y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
10196, 100anbi12d 716 . . . . 5  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) )  <->  ( g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  g ) ) `  ( # `  W ) ) ) ) )
102101cbvexv 2116 . . . 4  |-  ( E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
10395, 102syl6bb 265 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) ) )
104103eu4 2346 . 2  |-  ( E! x E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  <->  ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  A. x A. y ( ( E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  g ) ) `  ( # `  W ) ) ) )  ->  x  =  y )
) )
10517, 92, 104sylanbrc 669 1  |-  ( ph  ->  E! x E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 984   A.wal 1441    = wceq 1443   E.wex 1662    e. wcel 1886   E!weu 2298    =/= wne 2621    C_ wss 3403   (/)c0 3730   `'ccnv 4832   ran crn 4834    o. ccom 4837    Fn wfn 5576   -->wf 5577   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   1c1 9537   NNcn 10606   ZZ>=cuz 11156   ...cfz 11781    seqcseq 12210   #chash 12512   Basecbs 15114   +g cplusg 15183   0gc0g 15331   Mndcmnd 16528  Cntzccntz 16962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-hash 12513  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-cntz 16964
This theorem is referenced by:  gsumval3lem2  17533
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