Theorem gsumval3eu 15468

Description: The group sum as defined in gsumval3a 15467 is uniquely defined. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumval3.b	|- B = ( Base ` G )
gsumval3.0	|- .0. = ( 0g ` G )
gsumval3.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsumval3.z	|- Z = (Cntz ` G )
gsumval3.g	|- ( ph -> G e. Mnd )
gsumval3.a	|- ( ph -> A e. V )
gsumval3.f	|- ( ph -> F : A --> B )
gsumval3.c	|- ( ph -> ran F C_ ( Z ` ran F ) )
gsumval3a.t	|- ( ph -> W e. Fin )
gsumval3a.n	|- ( ph -> W =/= (/) )
gsumval3a.s	|- ( ph -> W C_ A )

Assertion

Ref	Expression
gsumval3eu	|- ( ph -> E! x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, f, .+   A, f, x   ph, f, x   x, .0.   f, G, x   x, V   B, f, x   f, F, x   f, W, x

Allowed substitution hints:   V( f)   .0. ( f)   Z( x, f)

Proof of Theorem gsumval3eu

Dummy variables g k y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumval3a.n	. . . . . 6 |- ( ph -> W =/= (/) )
2	1	neneqd 2583	. . . . 5 |- ( ph -> -. W = (/) )
3		gsumval3a.t	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. Fin )
4		fz1f1o 12459	. . . . . . 7 |- ( W e. Fin -> ( W = (/) \/ ( ( # ` W ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
5	3, 4	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( W = (/) \/ ( ( # ` W ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
6	5	ord 367	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. W = (/) -> ( ( # ` W ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
7	2, 6	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` W ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) )
8	7	simprd 450	. . 3 |- ( ph -> E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
9		excom 1752	. . . 4 |- ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. f E. x ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) )
10		exancom 1593	. . . . . 6 |- ( E. x ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. x ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) )
11		fvex 5701	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) e. _V
12		biidd 229	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) -> ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W <-> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) )
13	11, 12	ceqsexv 2951	. . . . . 6 |- ( E. x ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) <-> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
14	10, 13	bitri 241	. . . . 5 |- ( E. x ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
15	14	exbii 1589	. . . 4 |- ( E. f E. x ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
16	9, 15	bitri 241	. . 3 |- ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. f f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
17	8, 16	sylibr 204	. 2 |- ( ph -> E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) )
18		eeanv 1933	. . . 4 |- ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) <-> ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) )
19		an4 798	. . . . . 6 |- ( ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) /\ ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) <-> ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) )
20		gsumval3.g	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. Mnd )
21	20	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> G e. Mnd )
22		gsumval3.b	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( Base ` G )
23		gsumval3.p	. . . . . . . . . . . 12 |- .+ = ( +g ` G )
24	22, 23	mndcl 14650	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
25	24	3expb 1154	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
26	21, 25	sylan 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
27		gsumval3.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ran F C_ ( Z ` ran F ) )
28	27	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ran F C_ ( Z ` ran F ) )
29	28	sselda 3308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ran F ) -> x e. ( Z ` ran F ) )
30	29	adantrr 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ ( x e. ran F /\ y e. ran F ) ) -> x e. ( Z ` ran F ) )
31		simprr 734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ ( x e. ran F /\ y e. ran F ) ) -> y e. ran F )
32		gsumval3.z	. . . . . . . . . . 11 |- Z = (Cntz ` G )
33	23, 32	cntzi 15083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( Z ` ran F ) /\ y e. ran F ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
34	30, 31, 33	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ ( x e. ran F /\ y e. ran F ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
35	22, 23	mndass 14651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
36	21, 35	sylan 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
37	7	simpld 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` W ) e. NN )
38	37	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( # ` W ) e. NN )
39		nnuz 10477	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
40	38, 39	syl6eleq 2494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
41		gsumval3.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> B )
42	41	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> F : A --> B )
43		frn 5556	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ran F C_ B )
45		simprr 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
46		f1ocnv 5646	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W -> `' g : W -1-1-onto-> ( 1 ... ( # ` W ) ) )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> `' g : W -1-1-onto-> ( 1 ... ( # ` W ) ) )
48		simprl 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
49		f1oco 5657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' g : W -1-1-onto-> ( 1 ... ( # ` W ) ) /\ f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) -> ( `' g o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # ` W ) ) )
50	47, 48, 49	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( `' g o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # ` W ) ) )
51		f1of 5633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W -> g : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W )
52	45, 51	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> g : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W )
53		fvco3 5759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W /\ x e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` x ) = ( F ` ( g ` x ) ) )
54	52, 53	sylan 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` x ) = ( F ` ( g ` x ) ) )
55		ffn 5550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
56	42, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> F Fn A )
57	56	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> F Fn A )
58		gsumval3a.s	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> W C_ A )
59	58	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> W C_ A )
60		fss 5558	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W /\ W C_ A ) -> g : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> A )
61	52, 59, 60	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> g : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> A )
62	61	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( g ` x ) e. A )
63		fnfvelrn 5826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn A /\ ( g ` x ) e. A ) -> ( F ` ( g ` x ) ) e. ran F )
64	57, 62, 63	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( F ` ( g ` x ) ) e. ran F )
65	54, 64	eqeltrd 2478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` x ) e. ran F )
66		f1of 5633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W -> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W )
67	48, 66	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W )
68		fvco3 5759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( `' g o. f ) ` k ) = ( `' g ` ( f ` k ) ) )
69	67, 68	sylan 458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( `' g o. f ) ` k ) = ( `' g ` ( f ` k ) ) )
70	69	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( g ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) = ( g ` ( `' g ` ( f ` k ) ) ) )
71	45	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W )
72	67	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( f ` k ) e. W )
73		f1ocnvfv2 5974	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ ( f ` k ) e. W ) -> ( g ` ( `' g ` ( f ` k ) ) ) = ( f ` k ) )
74	71, 72, 73	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( g ` ( `' g ` ( f ` k ) ) ) = ( f ` k ) )
75	70, 74	eqtr2d 2437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( f ` k ) = ( g ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) )
76	75	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( F ` ( f ` k ) ) = ( F ` ( g ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) ) )
77		fvco3 5759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> W /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` k ) = ( F ` ( f ` k ) ) )
78	67, 77	sylan 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` k ) = ( F ` ( f ` k ) ) )
79		f1of 5633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' g o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # ` W ) ) -> ( `' g o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> ( 1 ... ( # ` W ) ) )
80	50, 79	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( `' g o. f ) : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> ( 1 ... ( # ` W ) ) )
81	80	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( `' g o. f ) ` k ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) )
82		fvco3 5759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) --> A /\ ( ( `' g o. f ) ` k ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) = ( F ` ( g ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) ) )
83	61, 82	sylan 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ ( ( `' g o. f ) ` k ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) = ( F ` ( g ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) ) )
84	81, 83	syldan 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) = ( F ` ( g ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) ) )
85	76, 78, 84	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) /\ k e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` k ) = ( ( F o. g ) ` ( ( `' g o. f ) ` k ) ) )
86	26, 34, 36, 40, 44, 50, 65, 85	seqf1o 11319	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) )
87		eqeq12 2416	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) -> ( x = y <-> ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) )
88	86, 87	syl5ibrcom 214	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) -> x = y ) )
89	88	expimpd 587	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) /\ ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) -> x = y ) )
90	19, 89	syl5bir 210	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) -> x = y ) )
91	90	exlimdvv 1644	. . . 4 |- ( ph -> ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) -> x = y ) )
92	18, 91	syl5bir 210	. . 3 |- ( ph -> ( ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) -> x = y ) )
93	92	alrimivv 1639	. 2 |- ( ph -> A. x A. y ( ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) -> x = y ) )
94		eqeq1 2410	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) <-> y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) )
95	94	anbi2d 685	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) )
96	95	exbidv 1633	. . . 4 |- ( x = y -> ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) )
97		f1oeq1 5624	. . . . . 6 |- ( f = g -> ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W <-> g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W ) )
98		coeq2 4990	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( F o. f ) = ( F o. g ) )
99	98	seqeq3d 11286	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) = seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) )
100	99	fveq1d 5689	. . . . . . 7 |- ( f = g -> ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) )
101	100	eqeq2d 2415	. . . . . 6 |- ( f = g -> ( y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) <-> y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) )
102	97, 101	anbi12d 692	. . . . 5 |- ( f = g -> ( ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) )
103	102	cbvexv 2053	. . . 4 |- ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) )
104	96, 103	syl6bb 253	. . 3 |- ( x = y -> ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) )
105	104	eu4 2293	. 2 |- ( E! x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) <-> ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ A. x A. y ( ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ y = ( seq 1 ( .+ , ( F o. g ) ) ` ( # ` W ) ) ) ) -> x = y ) ) )
106	17, 93, 105	sylanbrc 646	1 |- ( ph -> E! x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` W ) ) -1-1-onto-> W /\ x = ( seq 1 ( .+ , ( F o. f ) ) ` ( # ` W ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 358   /\ wa 359   /\ w3a 936   A.wal 1546   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   E!weu 2254   =/= wne 2567   C_ wss 3280   (/)c0 3588   `'ccnv 4836   ran crn 4838   o. ccom 4841   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   1c1 8947   NNcn 9956   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   seq cseq 11278   #chash 11573   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678   Mndcmnd 14639  Cntzccntz 15069

This theorem is referenced by:  gsumval3  15469

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-mnd 14645  df-cntz 15071