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Theorem gsumval3eu 16374
Description: The group sum as defined in gsumval3a 16372 is uniquely defined. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval3.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumval3.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumval3.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumval3.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
gsumval3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
gsumval3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumval3.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumval3.c  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
gsumval3a.t  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
gsumval3a.n  |-  ( ph  ->  W  =/=  (/) )
gsumval3a.s  |-  ( ph  ->  W  C_  A )
Assertion
Ref Expression
gsumval3eu  |-  ( ph  ->  E! x E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f,  .+    A, f, x    ph, f, x    x,  .0.    f, G, x   
x, V    B, f, x    f, F, x    f, W, x
Allowed substitution hints:    V( f)    .0. ( f)    Z( x, f)

Proof of Theorem gsumval3eu
Dummy variables  g 
k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumval3a.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  =/=  (/) )
21neneqd 2622 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  W  =  (/) )
3 gsumval3a.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
4 fz1f1o 13183 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  Fin  ->  ( W  =  (/)  \/  (
( # `  W )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( W  =  (/)  \/  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
65ord 377 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  W  =  (/)  ->  ( ( # `  W )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
72, 6mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) )
87simprd 460 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )
9 excom 1792 . . . 4  |-  ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  <->  E. f E. x ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) ) )
10 exancom 1643 . . . . . 6  |-  ( E. x ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )  <->  E. x
( x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) )  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )
11 fvex 5698 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  e.  _V
12 biidd 237 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  f )
) `  ( # `  W
) )  ->  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  <->  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) )
1311, 12ceqsexv 3006 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) )  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )  <->  f :
( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )
1410, 13bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. x ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )  <->  f :
( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )
1514exbii 1639 . . . 4  |-  ( E. f E. x ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  <->  E. f 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )
169, 15bitri 249 . . 3  |-  ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  <->  E. f 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )
178, 16sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  E. x E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
18 eeanv 1936 . . . 4  |-  ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) )  /\  ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  g ) ) `
 ( # `  W
) ) ) )  <-> 
( E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  g ) ) `  ( # `  W ) ) ) ) )
19 an4 815 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )  /\  (
x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  g ) ) `  ( # `  W ) ) ) )  <->  ( (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  ( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) ) )
20 gsumval3.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
2120adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  G  e.  Mnd )
22 gsumval3.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  G
)
23 gsumval3.p . . . . . . . . . . . 12  |-  .+  =  ( +g  `  G )
2422, 23mndcl 15416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
25243expb 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
2621, 25sylan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  .+  y )  e.  B
)
27 gsumval3.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
2827adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  F 
C_  ( Z `  ran  F ) )
2928sselda 3353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ran  F )  ->  x  e.  ( Z `  ran  F ) )
3029adantrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
x  e.  ran  F  /\  y  e.  ran  F ) )  ->  x  e.  ( Z `  ran  F ) )
31 simprr 751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
x  e.  ran  F  /\  y  e.  ran  F ) )  ->  y  e.  ran  F )
32 gsumval3.z . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  (Cntz `  G )
3323, 32cntzi 15840 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( Z `
 ran  F )  /\  y  e.  ran  F )  ->  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
3430, 31, 33syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
x  e.  ran  F  /\  y  e.  ran  F ) )  ->  (
x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
3522, 23mndass 15417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
3621, 35sylan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) ) )
377simpld 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  W
)  e.  NN )
3837adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( # `
 W )  e.  NN )
39 nnuz 10892 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4038, 39syl6eleq 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( # `
 W )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
41 gsumval3.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
4241adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  F : A --> B )
43 frn 5562 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> B  ->  ran  F  C_  B )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  F 
C_  B )
45 simprr 751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )
46 f1ocnv 5650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  `' g : W -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  `' g : W -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
48 simprl 750 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )
49 f1oco 5660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' g : W -1-1-onto-> (
1 ... ( # `  W
) )  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )  ->  ( `' g  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
5047, 48, 49syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( `' g  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
51 f1of 5638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  g :
( 1 ... ( # `
 W ) ) --> W )
5245, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W )
53 fvco3 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  g ) `  x
)  =  ( F `
 ( g `  x ) ) )
5452, 53sylan 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  x )  =  ( F `  ( g `
 x ) ) )
55 ffn 5556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
5642, 55syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  F  Fn  A )
5756adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  F  Fn  A )
58 gsumval3a.s . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  W  C_  A )
5958adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  W  C_  A )
60 fss 5564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W  /\  W  C_  A )  -> 
g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )
6152, 59, 60syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )
6261ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( g `  x )  e.  A
)
63 fnfvelrn 5837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  A  /\  ( g `  x
)  e.  A )  ->  ( F `  ( g `  x
) )  e.  ran  F )
6457, 62, 63syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( F `  ( g `  x
) )  e.  ran  F )
6554, 64eqeltrd 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  x )  e.  ran  F )
66 f1of 5638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  f :
( 1 ... ( # `
 W ) ) --> W )
6748, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W )
68 fvco3 5765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( `' g  o.  f ) `  k )  =  ( `' g `  (
f `  k )
) )
6967, 68sylan 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( `' g  o.  f
) `  k )  =  ( `' g `
 ( f `  k ) ) )
7069fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( g `  ( ( `' g  o.  f ) `  k ) )  =  ( g `  ( `' g `  (
f `  k )
) ) )
7145adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  g :
( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )
7267ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( f `  k )  e.  W
)
73 f1ocnvfv2 5981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  ( f `
 k )  e.  W )  ->  (
g `  ( `' g `  ( f `  k ) ) )  =  ( f `  k ) )
7471, 72, 73syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( g `  ( `' g `  ( f `  k
) ) )  =  ( f `  k
) )
7570, 74eqtr2d 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( f `  k )  =  ( g `  ( ( `' g  o.  f
) `  k )
) )
7675fveq2d 5692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( F `  ( f `  k
) )  =  ( F `  ( g `
 ( ( `' g  o.  f ) `
 k ) ) ) )
77 fvco3 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  k
)  =  ( F `
 ( f `  k ) ) )
7867, 77sylan 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  k )  =  ( F `  ( f `
 k ) ) )
79 f1of 5638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' g  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 W ) )  ->  ( `' g  o.  f ) : ( 1 ... ( # `
 W ) ) --> ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
8050, 79syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( `' g  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> ( 1 ... ( # `  W
) ) )
8180ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( `' g  o.  f
) `  k )  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
82 fvco3 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A  /\  ( ( `' g  o.  f ) `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  W ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  ( ( `' g  o.  f ) `  k ) )  =  ( F `  (
g `  ( ( `' g  o.  f
) `  k )
) ) )
8361, 82sylan 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
( `' g  o.  f ) `  k
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  g ) `  (
( `' g  o.  f ) `  k
) )  =  ( F `  ( g `
 ( ( `' g  o.  f ) `
 k ) ) ) )
8481, 83syldan 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  ( ( `' g  o.  f ) `  k ) )  =  ( F `  (
g `  ( ( `' g  o.  f
) `  k )
) ) )
8576, 78, 843eqtr4d 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  k )  =  ( ( F  o.  g
) `  ( ( `' g  o.  f
) `  k )
) )
8626, 34, 36, 40, 44, 50, 65, 85seqf1o 11843 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  =  (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  g )
) `  ( # `  W
) ) )
87 eqeq12 2453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  g ) ) `  ( # `  W ) ) )  ->  (
x  =  y  <->  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  =  (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  g )
) `  ( # `  W
) ) ) )
8886, 87syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
( x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) )  /\  y  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  g ) ) `
 ( # `  W
) ) )  ->  x  =  y )
)
8988expimpd 600 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )  /\  ( x  =  (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  f )
) `  ( # `  W
) )  /\  y  =  (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  g )
) `  ( # `  W
) ) ) )  ->  x  =  y ) )
9019, 89syl5bir 218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  ( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
9190exlimdvv 1696 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  ( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
9218, 91syl5bir 218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) )  /\  E. g
( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
9392alrimivv 1691 . 2  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( ( E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) )  /\  E. g
( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
94 eqeq1 2447 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  <-> 
y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
9594anbi2d 698 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) )  <->  ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) ) ) )
9695exbidv 1685 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) ) )
97 f1oeq1 5629 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  <->  g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) )
98 coeq2 4994 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  ( F  o.  f )  =  ( F  o.  g ) )
9998seqeq3d 11810 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  g  ->  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) )  =  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) )
10099fveq1d 5690 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  =  (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  g )
) `  ( # `  W
) ) )
101100eqeq2d 2452 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  <-> 
y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
10297, 101anbi12d 705 . . . . 5  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) )  <->  ( g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  g ) ) `  ( # `  W ) ) ) ) )
103102cbvexv 1977 . . . 4  |-  ( E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
10496, 103syl6bb 261 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) ) )
105104eu4 2323 . 2  |-  ( E! x E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  <->  ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  A. x A. y ( ( E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  g ) ) `  ( # `  W ) ) ) )  ->  x  =  y )
) )
10617, 93, 105sylanbrc 659 1  |-  ( ph  ->  E! x E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960   A.wal 1362    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   E!weu 2259    =/= wne 2604    C_ wss 3325   (/)c0 3634   `'ccnv 4835   ran crn 4837    o. ccom 4840    Fn wfn 5410   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   1c1 9279   NNcn 10318   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433    seqcseq 11802   #chash 12099   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   Mndcmnd 15405  Cntzccntz 15826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-mnd 15411  df-cntz 15828
This theorem is referenced by:  gsumval3OLD  16375  gsumval3lem2  16377
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