Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumval3eu Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem gsumval3eu 17531
 Description: The group sum as defined in gsumval3a 17530 is uniquely defined. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval3.b
gsumval3.0
gsumval3.p
gsumval3.z Cntz
gsumval3.g
gsumval3.a
gsumval3.f
gsumval3.c
gsumval3a.t
gsumval3a.n
gsumval3a.s
Assertion
Ref Expression
gsumval3eu
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)

Proof of Theorem gsumval3eu
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumval3a.n . . . . . 6
21neneqd 2628 . . . . 5
3 gsumval3a.t . . . . . . 7
4 fz1f1o 13769 . . . . . . 7
53, 4syl 17 . . . . . 6
65ord 379 . . . . 5
72, 6mpd 15 . . . 4
87simprd 465 . . 3
9 excom 1926 . . . 4
10 exancom 1721 . . . . . 6
11 fvex 5873 . . . . . . 7
12 biidd 241 . . . . . . 7
1311, 12ceqsexv 3083 . . . . . 6
1410, 13bitri 253 . . . . 5
1514exbii 1717 . . . 4
169, 15bitri 253 . . 3
178, 16sylibr 216 . 2
18 eeanv 2077 . . . 4
19 an4 832 . . . . . 6
20 gsumval3.g . . . . . . . . . . 11
2120adantr 467 . . . . . . . . . 10
22 gsumval3.b . . . . . . . . . . . 12
23 gsumval3.p . . . . . . . . . . . 12
2422, 23mndcl 16538 . . . . . . . . . . 11
25243expb 1208 . . . . . . . . . 10
2621, 25sylan 474 . . . . . . . . 9
27 gsumval3.c . . . . . . . . . . . . 13
2827adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
2928sselda 3431 . . . . . . . . . . 11
3029adantrr 722 . . . . . . . . . 10
31 simprr 765 . . . . . . . . . 10
32 gsumval3.z . . . . . . . . . . 11 Cntz
3323, 32cntzi 16976 . . . . . . . . . 10
3430, 31, 33syl2anc 666 . . . . . . . . 9
3522, 23mndass 16539 . . . . . . . . . 10
3621, 35sylan 474 . . . . . . . . 9
377simpld 461 . . . . . . . . . . 11
3837adantr 467 . . . . . . . . . 10
39 nnuz 11191 . . . . . . . . . 10
4038, 39syl6eleq 2538 . . . . . . . . 9
41 gsumval3.f . . . . . . . . . . 11
4241adantr 467 . . . . . . . . . 10
43 frn 5733 . . . . . . . . . 10
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9
45 simprr 765 . . . . . . . . . . 11
46 f1ocnv 5824 . . . . . . . . . . 11
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10
48 simprl 763 . . . . . . . . . 10
49 f1oco 5834 . . . . . . . . . 10
5047, 48, 49syl2anc 666 . . . . . . . . 9
51 f1of 5812 . . . . . . . . . . . 12
5245, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11
53 fvco3 5940 . . . . . . . . . . 11
5452, 53sylan 474 . . . . . . . . . 10
55 ffn 5726 . . . . . . . . . . . . 13
5642, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12
5756adantr 467 . . . . . . . . . . 11
58 gsumval3a.s . . . . . . . . . . . . . 14
5958adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
6052, 59fssd 5736 . . . . . . . . . . . 12
6160ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . 11
62 fnfvelrn 6017 . . . . . . . . . . 11
6357, 61, 62syl2anc 666 . . . . . . . . . 10
6454, 63eqeltrd 2528 . . . . . . . . 9
65 f1of 5812 . . . . . . . . . . . . . . 15
6648, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
67 fvco3 5940 . . . . . . . . . . . . . 14
6866, 67sylan 474 . . . . . . . . . . . . 13
6968fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . 12
7045adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
7166ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . . . 13
72 f1ocnvfv2 6174 . . . . . . . . . . . . 13
7370, 71, 72syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12
7469, 73eqtr2d 2485 . . . . . . . . . . 11
7574fveq2d 5867 . . . . . . . . . 10
76 fvco3 5940 . . . . . . . . . . 11
7766, 76sylan 474 . . . . . . . . . 10
78 f1of 5812 . . . . . . . . . . . . 13
7950, 78syl 17 . . . . . . . . . . . 12
8079ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . 11
81 fvco3 5940 . . . . . . . . . . . 12
8260, 81sylan 474 . . . . . . . . . . 11
8380, 82syldan 473 . . . . . . . . . 10
8475, 77, 833eqtr4d 2494 . . . . . . . . 9
8526, 34, 36, 40, 44, 50, 64, 84seqf1o 12251 . . . . . . . 8
86 eqeq12 2463 . . . . . . . 8
8785, 86syl5ibrcom 226 . . . . . . 7
8887expimpd 607 . . . . . 6
8919, 88syl5bir 222 . . . . 5
9089exlimdvv 1779 . . . 4
9118, 90syl5bir 222 . . 3
9291alrimivv 1773 . 2
93 eqeq1 2454 . . . . . 6
9493anbi2d 709 . . . . 5
9594exbidv 1767 . . . 4
96 f1oeq1 5803 . . . . . 6
97 coeq2 4992 . . . . . . . . 9
9897seqeq3d 12218 . . . . . . . 8
9998fveq1d 5865 . . . . . . 7
10099eqeq2d 2460 . . . . . 6
10196, 100anbi12d 716 . . . . 5
102101cbvexv 2116 . . . 4
10395, 102syl6bb 265 . . 3
104103eu4 2346 . 2
10517, 92, 104sylanbrc 669 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 370   wa 371   w3a 984  wal 1441   wceq 1443  wex 1662   wcel 1886  weu 2298   wne 2621   wss 3403  c0 3730  ccnv 4832   crn 4834   ccom 4837   wfn 5576  wf 5577  wf1o 5580  cfv 5581  (class class class)co 6288  cfn 7566  c1 9537  cn 10606  cuz 11156  cfz 11781   cseq 12210  chash 12512  cbs 15114   cplusg 15183  c0g 15331  cmnd 16528  Cntzccntz 16962 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-hash 12513  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-cntz 16964 This theorem is referenced by:  gsumval3lem2  17533
 Copyright terms: Public domain W3C validator