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Theorem gsumval3eu 16381
Description: The group sum as defined in gsumval3a 16379 is uniquely defined. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval3.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumval3.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumval3.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumval3.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
gsumval3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
gsumval3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumval3.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumval3.c  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
gsumval3a.t  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
gsumval3a.n  |-  ( ph  ->  W  =/=  (/) )
gsumval3a.s  |-  ( ph  ->  W  C_  A )
Assertion
Ref Expression
gsumval3eu  |-  ( ph  ->  E! x E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f,  .+    A, f, x    ph, f, x    x,  .0.    f, G, x   
x, V    B, f, x    f, F, x    f, W, x
Allowed substitution hints:    V( f)    .0. ( f)    Z( x, f)

Proof of Theorem gsumval3eu
Dummy variables  g 
k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumval3a.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  =/=  (/) )
21neneqd 2624 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  W  =  (/) )
3 gsumval3a.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
4 fz1f1o 13187 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  Fin  ->  ( W  =  (/)  \/  (
( # `  W )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( W  =  (/)  \/  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
65ord 377 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  W  =  (/)  ->  ( ( # `  W )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
72, 6mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) )
87simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )
9 excom 1787 . . . 4  |-  ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  <->  E. f E. x ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) ) )
10 exancom 1638 . . . . . 6  |-  ( E. x ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )  <->  E. x
( x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) )  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )
11 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  e.  _V
12 biidd 237 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  f )
) `  ( # `  W
) )  ->  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  <->  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) )
1311, 12ceqsexv 3009 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) )  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )  <->  f :
( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )
1410, 13bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. x ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )  <->  f :
( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )
1514exbii 1634 . . . 4  |-  ( E. f E. x ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  <->  E. f 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )
169, 15bitri 249 . . 3  |-  ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  <->  E. f 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )
178, 16sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  E. x E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
18 eeanv 1932 . . . 4  |-  ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) )  /\  ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  g ) ) `
 ( # `  W
) ) ) )  <-> 
( E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  g ) ) `  ( # `  W ) ) ) ) )
19 an4 820 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )  /\  (
x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  g ) ) `  ( # `  W ) ) ) )  <->  ( (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  ( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) ) )
20 gsumval3.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
2120adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  G  e.  Mnd )
22 gsumval3.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  G
)
23 gsumval3.p . . . . . . . . . . . 12  |-  .+  =  ( +g  `  G )
2422, 23mndcl 15420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
25243expb 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
2621, 25sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  .+  y )  e.  B
)
27 gsumval3.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  F 
C_  ( Z `  ran  F ) )
2928sselda 3356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ran  F )  ->  x  e.  ( Z `  ran  F ) )
3029adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
x  e.  ran  F  /\  y  e.  ran  F ) )  ->  x  e.  ( Z `  ran  F ) )
31 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
x  e.  ran  F  /\  y  e.  ran  F ) )  ->  y  e.  ran  F )
32 gsumval3.z . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  (Cntz `  G )
3323, 32cntzi 15847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( Z `
 ran  F )  /\  y  e.  ran  F )  ->  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
3430, 31, 33syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
x  e.  ran  F  /\  y  e.  ran  F ) )  ->  (
x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
3522, 23mndass 15421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
3621, 35sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) ) )
377simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  W
)  e.  NN )
3837adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( # `
 W )  e.  NN )
39 nnuz 10896 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4038, 39syl6eleq 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( # `
 W )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
41 gsumval3.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
4241adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  F : A --> B )
43 frn 5565 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> B  ->  ran  F  C_  B )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  F 
C_  B )
45 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )
46 f1ocnv 5653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  `' g : W -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  `' g : W -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
48 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )
49 f1oco 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' g : W -1-1-onto-> (
1 ... ( # `  W
) )  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )  ->  ( `' g  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
5047, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( `' g  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
51 f1of 5641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  g :
( 1 ... ( # `
 W ) ) --> W )
5245, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W )
53 fvco3 5768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  g ) `  x
)  =  ( F `
 ( g `  x ) ) )
5452, 53sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  x )  =  ( F `  ( g `
 x ) ) )
55 ffn 5559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
5642, 55syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  F  Fn  A )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  F  Fn  A )
58 gsumval3a.s . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  W  C_  A )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  W  C_  A )
60 fss 5567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W  /\  W  C_  A )  -> 
g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )
6152, 59, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )
6261ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( g `  x )  e.  A
)
63 fnfvelrn 5840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  A  /\  ( g `  x
)  e.  A )  ->  ( F `  ( g `  x
) )  e.  ran  F )
6457, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( F `  ( g `  x
) )  e.  ran  F )
6554, 64eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  x )  e.  ran  F )
66 f1of 5641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  f :
( 1 ... ( # `
 W ) ) --> W )
6748, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W )
68 fvco3 5768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( `' g  o.  f ) `  k )  =  ( `' g `  (
f `  k )
) )
6967, 68sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( `' g  o.  f
) `  k )  =  ( `' g `
 ( f `  k ) ) )
7069fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( g `  ( ( `' g  o.  f ) `  k ) )  =  ( g `  ( `' g `  (
f `  k )
) ) )
7145adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  g :
( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )
7267ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( f `  k )  e.  W
)
73 f1ocnvfv2 5984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  ( f `
 k )  e.  W )  ->  (
g `  ( `' g `  ( f `  k ) ) )  =  ( f `  k ) )
7471, 72, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( g `  ( `' g `  ( f `  k
) ) )  =  ( f `  k
) )
7570, 74eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( f `  k )  =  ( g `  ( ( `' g  o.  f
) `  k )
) )
7675fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( F `  ( f `  k
) )  =  ( F `  ( g `
 ( ( `' g  o.  f ) `
 k ) ) ) )
77 fvco3 5768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  k
)  =  ( F `
 ( f `  k ) ) )
7867, 77sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  k )  =  ( F `  ( f `
 k ) ) )
79 f1of 5641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' g  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 W ) )  ->  ( `' g  o.  f ) : ( 1 ... ( # `
 W ) ) --> ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
8050, 79syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( `' g  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> ( 1 ... ( # `  W
) ) )
8180ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( `' g  o.  f
) `  k )  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
82 fvco3 5768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A  /\  ( ( `' g  o.  f ) `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  W ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  ( ( `' g  o.  f ) `  k ) )  =  ( F `  (
g `  ( ( `' g  o.  f
) `  k )
) ) )
8361, 82sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
( `' g  o.  f ) `  k
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  g ) `  (
( `' g  o.  f ) `  k
) )  =  ( F `  ( g `
 ( ( `' g  o.  f ) `
 k ) ) ) )
8481, 83syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  ( ( `' g  o.  f ) `  k ) )  =  ( F `  (
g `  ( ( `' g  o.  f
) `  k )
) ) )
8576, 78, 843eqtr4d 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  k )  =  ( ( F  o.  g
) `  ( ( `' g  o.  f
) `  k )
) )
8626, 34, 36, 40, 44, 50, 65, 85seqf1o 11847 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  =  (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  g )
) `  ( # `  W
) ) )
87 eqeq12 2455 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  g ) ) `  ( # `  W ) ) )  ->  (
x  =  y  <->  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  =  (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  g )
) `  ( # `  W
) ) ) )
8886, 87syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
( x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) )  /\  y  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  g ) ) `
 ( # `  W
) ) )  ->  x  =  y )
)
8988expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )  /\  ( x  =  (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  f )
) `  ( # `  W
) )  /\  y  =  (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  g )
) `  ( # `  W
) ) ) )  ->  x  =  y ) )
9019, 89syl5bir 218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  ( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
9190exlimdvv 1691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  ( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
9218, 91syl5bir 218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) )  /\  E. g
( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
9392alrimivv 1686 . 2  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( ( E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) )  /\  E. g
( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
94 eqeq1 2449 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  <-> 
y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
9594anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) )  <->  ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) ) ) )
9695exbidv 1680 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) ) )
97 f1oeq1 5632 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  <->  g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) )
98 coeq2 4998 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  ( F  o.  f )  =  ( F  o.  g ) )
9998seqeq3d 11814 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  g  ->  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) )  =  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) )
10099fveq1d 5693 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  =  (  seq 1
(  .+  ,  ( F  o.  g )
) `  ( # `  W
) ) )
101100eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  <-> 
y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
10297, 101anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) )  <->  ( g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  g ) ) `  ( # `  W ) ) ) ) )
103102cbvexv 1972 . . . 4  |-  ( E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
10496, 103syl6bb 261 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) ) )
105104eu4 2318 . 2  |-  ( E! x E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  <->  ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  A. x A. y ( ( E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( F  o.  g ) ) `  ( # `  W ) ) ) )  ->  x  =  y )
) )
10617, 93, 105sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  E! x E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq 1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E!weu 2253    =/= wne 2606    C_ wss 3328   (/)c0 3637   `'ccnv 4839   ran crn 4841    o. ccom 4844    Fn wfn 5413   -->wf 5414   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   1c1 9283   NNcn 10322   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437    seqcseq 11806   #chash 12103   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   0gc0g 14378   Mndcmnd 15409  Cntzccntz 15833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-mnd 15415  df-cntz 15835
This theorem is referenced by:  gsumval3OLD  16382  gsumval3lem2  16384
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