Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumval2a Structured version   Unicode version

Theorem gsumval2a 15779
 Description: Value of the group sum operation over a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval2.b
gsumval2.p
gsumval2.g
gsumval2.n
gsumval2.f
gsumval2a.o
gsumval2a.f
Assertion
Ref Expression
gsumval2a g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   , ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem gsumval2a
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumval2.b . . . 4
2 eqid 2467 . . . 4
3 gsumval2.p . . . 4
4 gsumval2a.o . . . 4
5 eqidd 2468 . . . 4
6 gsumval2.g . . . 4
7 ovex 6320 . . . . 5
87a1i 11 . . . 4
9 gsumval2.f . . . 4
101, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9gsumval 15771 . . 3 g
11 gsumval2a.f . . . . 5
1211iffalsed 3956 . . . 4
13 gsumval2.n . . . . . . 7
14 eluzel2 11099 . . . . . . 7
1513, 14syl 16 . . . . . 6
16 eluzelz 11103 . . . . . . 7
1713, 16syl 16 . . . . . 6
18 fzf 11688 . . . . . . . 8
19 ffn 5737 . . . . . . . 8
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7
21 fnovrn 6445 . . . . . . 7
2220, 21mp3an1 1311 . . . . . 6
2315, 17, 22syl2anc 661 . . . . 5
2423iftrued 3953 . . . 4
2512, 24eqtrd 2508 . . 3
2610, 25eqtrd 2508 . 2 g
27 fvex 5882 . . 3
28 fzopth 11732 . . . . . . . . . . 11
2913, 28syl 16 . . . . . . . . . 10
30 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14
3130seqeq1d 12093 . . . . . . . . . . . . 13
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
3331, 32fveq12d 5878 . . . . . . . . . . . 12
3433eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11
35 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . 11
3634, 35syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10
3729, 36syl6bi 228 . . . . . . . . 9
3837impd 431 . . . . . . . 8
3938rexlimdvw 2962 . . . . . . 7
4039exlimdv 1700 . . . . . 6
4115adantr 465 . . . . . . . 8
42 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . 13
4342eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . 12
4443biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11
45 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12
4645eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11
4744, 46bitr3d 255 . . . . . . . . . 10
4847rspcev 3219 . . . . . . . . 9
4913, 48sylan 471 . . . . . . . 8
50 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10
51 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . 12
5251eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11
53 seqeq1 12090 . . . . . . . . . . . . 13
5453fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . 12
5554eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11
5652, 55anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
5750, 56rexeqbidv 3078 . . . . . . . . 9
5857spcegv 3204 . . . . . . . 8
5941, 49, 58sylc 60 . . . . . . 7
6059ex 434 . . . . . 6
6140, 60impbid 191 . . . . 5
6261adantr 465 . . . 4
6362iota5 5577 . . 3
6427, 63mpan2 671 . 2
6526, 64eqtrd 2508 1 g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379  wex 1596   wcel 1767  wral 2817  wrex 2818  crab 2821  cvv 3118   cdif 3478   wss 3481  cif 3945  cpw 4016   cxp 5003  ccnv 5004   crn 5006  cima 5008   ccom 5009  cio 5555   wfn 5589  wf 5590  wf1o 5593  cfv 5594  (class class class)co 6295  c1 9505  cz 10876  cuz 11094  cfz 11684   cseq 12087  chash 12385  cbs 14506   cplusg 14571  c0g 14711   g cgsu 14712 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-neg 9820  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-seq 12088  df-gsum 14714 This theorem is referenced by:  gsumval2  15780
 Copyright terms: Public domain W3C validator