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Theorem gsumval2 16466
Description: Value of the group sum operation over a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumval2.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumval2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
gsumval2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
gsumval2.f  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) --> B )
Assertion
Ref Expression
gsumval2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )

Proof of Theorem gsumval2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumval2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2428 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsumval2.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 eqid 2428 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  =  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }
5 gsumval2.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
65adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  G  e.  V )
7 ovex 6277 . . . . 5  |-  ( M ... N )  e. 
_V
87a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( M ... N
)  e.  _V )
9 gsumval2.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) --> B )
10 ffn 5689 . . . . . . 7  |-  ( F : ( M ... N ) --> B  ->  F  Fn  ( M ... N ) )
119, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( M ... N ) )
1211adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  F  Fn  ( M ... N ) )
13 simpr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) } )
14 df-f 5548 . . . . 5  |-  ( F : ( M ... N ) --> { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  <->  ( F  Fn  ( M ... N )  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } ) )
1512, 13, 14sylanbrc 668 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  F : ( M ... N ) --> { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) } )
161, 2, 3, 4, 6, 8, 15gsumval1 16463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( G  gsumg  F )  =  ( 0g `  G ) )
17 simpl 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y )  ->  ( x  .+  y )  =  y )
1817ralimi 2758 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y )  ->  A. y  e.  B  ( x  .+  y )  =  y )
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y )  ->  A. y  e.  B  ( x  .+  y )  =  y ) )
2019ss2rabi 3486 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
x  .+  y )  =  y }
21 fvex 5835 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
2221snid 3969 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  e. 
{ ( 0g `  G ) }
23 fdm 5693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( M ... N ) --> B  ->  dom  F  =  ( M ... N ) )
249, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  F  =  ( M ... N ) )
25 gsumval2.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
26 eluzfz1 11757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
27 ne0i 3710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  =/=  (/) )
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  =/=  (/) )
2924, 28eqnetrd 2668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =/=  (/) )
30 dm0rn0 5013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom 
F  =  (/)  <->  ran  F  =  (/) )
3130necon3bii 2653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
F  =/=  (/)  <->  ran  F  =/=  (/) )
3229, 31sylib 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  F  =/=  (/) )
3332adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  ran  F  =/=  (/) )
34 ssn0 3740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  /\  ran  F  =/=  (/) )  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  =/=  (/) )
3513, 33, 34syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  =/=  (/) )
3635neneqd 2606 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  -.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  =  (/) )
371, 2, 3, 4mgmidsssn0 16455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  V  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  C_  { ( 0g `  G ) } )
385, 37syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  C_  { ( 0g `  G ) } )
39 sssn 4101 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  C_  { ( 0g `  G ) }  <->  ( { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  =  (/)  \/  {
x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  =  {
( 0g `  G
) } ) )
4038, 39sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) }  =  (/)  \/  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  =  { ( 0g `  G ) } ) )
4140orcanai 921 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  =  (/) )  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  =  {
( 0g `  G
) } )
4236, 41syldan 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  =  {
( 0g `  G
) } )
4322, 42syl5eleqr 2513 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( 0g `  G
)  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) } )
4420, 43sseldi 3405 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( 0g `  G
)  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
x  .+  y )  =  y } )
45 oveq1 6256 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
x  .+  y )  =  ( ( 0g
`  G )  .+  y ) )
4645eqeq1d 2430 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
( x  .+  y
)  =  y  <->  ( ( 0g `  G )  .+  y )  =  y ) )
4746ralbidv 2804 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( A. y  e.  B  ( x  .+  y )  =  y  <->  A. y  e.  B  ( ( 0g `  G )  .+  y )  =  y ) )
4847elrab 3171 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( x  .+  y )  =  y }  <->  ( ( 0g
`  G )  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( 0g `  G )  .+  y )  =  y ) )
49 oveq2 6257 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 0g `  G )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  y )  =  ( ( 0g
`  G )  .+  ( 0g `  G ) ) )
50 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 0g `  G )  ->  y  =  ( 0g `  G ) )
5149, 50eqeq12d 2443 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( 0g `  G )  ->  (
( ( 0g `  G )  .+  y
)  =  y  <->  ( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) ) )
5251rspcva 3123 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( 0g `  G
)  .+  y )  =  y )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
5348, 52sylbi 198 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( x  .+  y )  =  y }  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
5444, 53syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
5525adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5638ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ran  F 
C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) } )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  C_  { ( 0g `  G ) } )
5715ffvelrnda 5981 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ran  F 
C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) } )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  z )  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )
5856, 57sseldd 3408 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ran  F 
C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) } )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  z )  e.  { ( 0g `  G ) } )
59 elsni 3966 . . . . 5  |-  ( ( F `  z )  e.  { ( 0g
`  G ) }  ->  ( F `  z )  =  ( 0g `  G ) )
6058, 59syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ran  F 
C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) } )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  z )  =  ( 0g `  G ) )
6154, 55, 60seqid3 12207 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  =  ( 0g
`  G ) )
6216, 61eqtr4d 2465 . 2  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( G  gsumg  F )  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )
635adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ran  F  C_ 
{ x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  G  e.  V )
6425adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ran  F  C_ 
{ x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
659adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ran  F  C_ 
{ x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  F : ( M ... N ) --> B )
66 simpr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ran  F  C_ 
{ x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  -.  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) } )
671, 3, 63, 64, 65, 4, 66gsumval2a 16465 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ran  F  C_ 
{ x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( G  gsumg  F )  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )
6862, 67pm2.61dan 798 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   {crab 2718   _Vcvv 3022    C_ wss 3379   (/)c0 3704   {csn 3941   dom cdm 4796   ran crn 4797    Fn wfn 5539   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   ZZ>=cuz 11110   ...cfz 11735    seqcseq 12163   Basecbs 15064   +g cplusg 15133   0gc0g 15281    gsumg cgsu 15282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-seq 12164  df-0g 15283  df-gsum 15284
This theorem is referenced by:  gsumprval  16467  gsumwsubmcl  16565  gsumws1  16566  gsumccat  16568  gsumwmhm  16572  gsumval3  17484  gsummptfzcl  17544  gsumncl  29376  gsumnunsn  29377
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