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Theorem gsumval2 15516
Description: Value of the group sum operation over a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumval2.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumval2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
gsumval2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
gsumval2.f  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) --> B )
Assertion
Ref Expression
gsumval2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )

Proof of Theorem gsumval2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumval2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsumval2.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 eqid 2443 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  =  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }
5 gsumval2.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  G  e.  V )
7 ovex 6119 . . . . 5  |-  ( M ... N )  e. 
_V
87a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( M ... N
)  e.  _V )
9 gsumval2.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) --> B )
10 ffn 5562 . . . . . . 7  |-  ( F : ( M ... N ) --> B  ->  F  Fn  ( M ... N ) )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( M ... N ) )
1211adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  F  Fn  ( M ... N ) )
13 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) } )
14 df-f 5425 . . . . 5  |-  ( F : ( M ... N ) --> { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  <->  ( F  Fn  ( M ... N )  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } ) )
1512, 13, 14sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  F : ( M ... N ) --> { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) } )
161, 2, 3, 4, 6, 8, 15gsumval1 15512 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( G  gsumg  F )  =  ( 0g `  G ) )
17 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y )  ->  ( x  .+  y )  =  y )
1817ralimi 2794 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y )  ->  A. y  e.  B  ( x  .+  y )  =  y )
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y )  ->  A. y  e.  B  ( x  .+  y )  =  y ) )
2019ss2rabi 3437 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
x  .+  y )  =  y }
21 fvex 5704 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
2221snid 3908 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  e. 
{ ( 0g `  G ) }
23 fdm 5566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( M ... N ) --> B  ->  dom  F  =  ( M ... N ) )
249, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  F  =  ( M ... N ) )
25 gsumval2.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
26 eluzfz1 11461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
27 ne0i 3646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  =/=  (/) )
2825, 26, 273syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  =/=  (/) )
2924, 28eqnetrd 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =/=  (/) )
30 dm0rn0 5059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom 
F  =  (/)  <->  ran  F  =  (/) )
3130necon3bii 2643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
F  =/=  (/)  <->  ran  F  =/=  (/) )
3229, 31sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  F  =/=  (/) )
3332adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  ran  F  =/=  (/) )
34 ssn0 3673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  /\  ran  F  =/=  (/) )  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  =/=  (/) )
3513, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  =/=  (/) )
3635neneqd 2627 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  -.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  =  (/) )
371, 2, 3, 4gsumvallem1 15503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  V  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  C_  { ( 0g `  G ) } )
385, 37syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  C_  { ( 0g `  G ) } )
39 sssn 4034 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  C_  { ( 0g `  G ) }  <->  ( { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  =  (/)  \/  {
x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  =  {
( 0g `  G
) } ) )
4038, 39sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) }  =  (/)  \/  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  =  { ( 0g `  G ) } ) )
4140orcanai 904 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  =  (/) )  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  =  {
( 0g `  G
) } )
4236, 41syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  =  {
( 0g `  G
) } )
4322, 42syl5eleqr 2530 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( 0g `  G
)  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) } )
4420, 43sseldi 3357 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( 0g `  G
)  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
x  .+  y )  =  y } )
45 oveq1 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
x  .+  y )  =  ( ( 0g
`  G )  .+  y ) )
4645eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
( x  .+  y
)  =  y  <->  ( ( 0g `  G )  .+  y )  =  y ) )
4746ralbidv 2738 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( A. y  e.  B  ( x  .+  y )  =  y  <->  A. y  e.  B  ( ( 0g `  G )  .+  y )  =  y ) )
4847elrab 3120 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( x  .+  y )  =  y }  <->  ( ( 0g
`  G )  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( 0g `  G )  .+  y )  =  y ) )
49 oveq2 6102 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 0g `  G )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  y )  =  ( ( 0g
`  G )  .+  ( 0g `  G ) ) )
50 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 0g `  G )  ->  y  =  ( 0g `  G ) )
5149, 50eqeq12d 2457 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( 0g `  G )  ->  (
( ( 0g `  G )  .+  y
)  =  y  <->  ( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) ) )
5251rspcva 3074 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( 0g `  G
)  .+  y )  =  y )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
5348, 52sylbi 195 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( x  .+  y )  =  y }  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
5444, 53syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
5525adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5638ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ran  F 
C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) } )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  C_  { ( 0g `  G ) } )
5715ffvelrnda 5846 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ran  F 
C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) } )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  z )  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )
5856, 57sseldd 3360 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ran  F 
C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) } )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  z )  e.  { ( 0g `  G ) } )
59 elsni 3905 . . . . 5  |-  ( ( F `  z )  e.  { ( 0g
`  G ) }  ->  ( F `  z )  =  ( 0g `  G ) )
6058, 59syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ran  F 
C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) } )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  z )  =  ( 0g `  G ) )
6154, 55, 60seqid3 11853 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  =  ( 0g
`  G ) )
6216, 61eqtr4d 2478 . 2  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( G  gsumg  F )  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )
635adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ran  F  C_ 
{ x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  G  e.  V )
6425adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ran  F  C_ 
{ x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
659adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ran  F  C_ 
{ x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  F : ( M ... N ) --> B )
66 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ran  F  C_ 
{ x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  -.  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) } )
671, 3, 63, 64, 65, 4, 66gsumval2a 15515 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ran  F  C_ 
{ x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( G  gsumg  F )  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )
6862, 67pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2609   A.wral 2718   {crab 2722   _Vcvv 2975    C_ wss 3331   (/)c0 3640   {csn 3880   dom cdm 4843   ran crn 4844    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   ZZ>=cuz 10864   ...cfz 11440    seqcseq 11809   Basecbs 14177   +g cplusg 14241   0gc0g 14381    gsumg cgsu 14382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-fz 11441  df-seq 11810  df-0g 14383  df-gsum 14384
This theorem is referenced by:  gsumprval  15517  gsumwsubmcl  15519  gsumws1  15520  gsumccat  15522  gsumwmhm  15526  gsumval3OLD  16385  gsumval3  16388  gsummptfzcl  16463  gsumncl  26939  gsumnunsn  26940
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