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Theorem gsumval2 15781
Description: Value of the group sum operation over a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumval2.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumval2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
gsumval2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
gsumval2.f  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) --> B )
Assertion
Ref Expression
gsumval2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )

Proof of Theorem gsumval2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumval2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsumval2.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 eqid 2467 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  =  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }
5 gsumval2.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  G  e.  V )
7 ovex 6320 . . . . 5  |-  ( M ... N )  e. 
_V
87a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( M ... N
)  e.  _V )
9 gsumval2.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) --> B )
10 ffn 5737 . . . . . . 7  |-  ( F : ( M ... N ) --> B  ->  F  Fn  ( M ... N ) )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( M ... N ) )
1211adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  F  Fn  ( M ... N ) )
13 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) } )
14 df-f 5598 . . . . 5  |-  ( F : ( M ... N ) --> { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  <->  ( F  Fn  ( M ... N )  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } ) )
1512, 13, 14sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  F : ( M ... N ) --> { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) } )
161, 2, 3, 4, 6, 8, 15gsumval1 15778 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( G  gsumg  F )  =  ( 0g `  G ) )
17 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y )  ->  ( x  .+  y )  =  y )
1817ralimi 2860 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y )  ->  A. y  e.  B  ( x  .+  y )  =  y )
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y )  ->  A. y  e.  B  ( x  .+  y )  =  y ) )
2019ss2rabi 3587 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
x  .+  y )  =  y }
21 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
2221snid 4061 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  e. 
{ ( 0g `  G ) }
23 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( M ... N ) --> B  ->  dom  F  =  ( M ... N ) )
249, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  F  =  ( M ... N ) )
25 gsumval2.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
26 eluzfz1 11705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
27 ne0i 3796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  =/=  (/) )
2825, 26, 273syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  =/=  (/) )
2924, 28eqnetrd 2760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =/=  (/) )
30 dm0rn0 5225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom 
F  =  (/)  <->  ran  F  =  (/) )
3130necon3bii 2735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
F  =/=  (/)  <->  ran  F  =/=  (/) )
3229, 31sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  F  =/=  (/) )
3332adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  ran  F  =/=  (/) )
34 ssn0 3823 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  /\  ran  F  =/=  (/) )  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  =/=  (/) )
3513, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  =/=  (/) )
3635neneqd 2669 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  -.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  =  (/) )
371, 2, 3, 4gsumvallem1 15770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  V  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  C_  { ( 0g `  G ) } )
385, 37syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  C_  { ( 0g `  G ) } )
39 sssn 4191 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  C_  { ( 0g `  G ) }  <->  ( { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  =  (/)  \/  {
x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  =  {
( 0g `  G
) } ) )
4038, 39sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) }  =  (/)  \/  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  =  { ( 0g `  G ) } ) )
4140orcanai 911 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  =  (/) )  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  =  {
( 0g `  G
) } )
4236, 41syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  =  {
( 0g `  G
) } )
4322, 42syl5eleqr 2562 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( 0g `  G
)  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) } )
4420, 43sseldi 3507 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( 0g `  G
)  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
x  .+  y )  =  y } )
45 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
x  .+  y )  =  ( ( 0g
`  G )  .+  y ) )
4645eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
( x  .+  y
)  =  y  <->  ( ( 0g `  G )  .+  y )  =  y ) )
4746ralbidv 2906 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( A. y  e.  B  ( x  .+  y )  =  y  <->  A. y  e.  B  ( ( 0g `  G )  .+  y )  =  y ) )
4847elrab 3266 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( x  .+  y )  =  y }  <->  ( ( 0g
`  G )  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( 0g `  G )  .+  y )  =  y ) )
49 oveq2 6303 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 0g `  G )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  y )  =  ( ( 0g
`  G )  .+  ( 0g `  G ) ) )
50 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 0g `  G )  ->  y  =  ( 0g `  G ) )
5149, 50eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( 0g `  G )  ->  (
( ( 0g `  G )  .+  y
)  =  y  <->  ( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) ) )
5251rspcva 3217 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( 0g `  G
)  .+  y )  =  y )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
5348, 52sylbi 195 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( x  .+  y )  =  y }  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
5444, 53syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
5525adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5638ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ran  F 
C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) } )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  C_  { ( 0g `  G ) } )
5715ffvelrnda 6032 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ran  F 
C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) } )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  z )  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )
5856, 57sseldd 3510 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ran  F 
C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) } )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  z )  e.  { ( 0g `  G ) } )
59 elsni 4058 . . . . 5  |-  ( ( F `  z )  e.  { ( 0g
`  G ) }  ->  ( F `  z )  =  ( 0g `  G ) )
6058, 59syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ran  F 
C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) } )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  z )  =  ( 0g `  G ) )
6154, 55, 60seqid3 12131 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  =  ( 0g
`  G ) )
6216, 61eqtr4d 2511 . 2  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( G  gsumg  F )  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )
635adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ran  F  C_ 
{ x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  G  e.  V )
6425adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ran  F  C_ 
{ x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
659adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ran  F  C_ 
{ x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  F : ( M ... N ) --> B )
66 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ran  F  C_ 
{ x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  -.  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) } )
671, 3, 63, 64, 65, 4, 66gsumval2a 15780 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ran  F  C_ 
{ x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( G  gsumg  F )  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )
6862, 67pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   (/)c0 3790   {csn 4033   dom cdm 5005   ran crn 5006    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684    seqcseq 12087   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   0gc0g 14712    gsumg cgsu 14713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-seq 12088  df-0g 14714  df-gsum 14715
This theorem is referenced by:  gsumprval  15782  gsumwsubmcl  15878  gsumws1  15879  gsumccat  15881  gsumwmhm  15885  gsumval3OLD  16781  gsumval3  16784  gsummptfzcl  16869  gsumncl  28317  gsumnunsn  28318
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