MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumunsnfd Structured version   Unicode version

Theorem gsumunsnfd 16961
Description: Append an element to a finite group sum, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumunsnd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumunsnd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumunsnd.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumunsnd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumunsnd.f  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsumunsnd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
gsumunsnd.d  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
gsumunsnd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
gsumunsnd.s  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  =  Y )
gsumunsnfd.0  |-  F/_ k Y
Assertion
Ref Expression
gsumunsnfd  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, G    k, M    ph, k
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    V( k)    X( k)    Y( k)

Proof of Theorem gsumunsnfd
StepHypRef Expression
1 gsumunsnd.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumunsnd.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 gsumunsnd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 gsumunsnd.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
5 snfi 7598 . . . 4  |-  { M }  e.  Fin
6 unfi 7789 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { M }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { M } )  e. 
Fin )
74, 5, 6sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  e.  Fin )
8 elun 3630 . . . 4  |-  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } ) )
9 gsumunsnd.f . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
10 elsni 4039 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { M }  ->  k  =  M )
11 gsumunsnd.s . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  =  Y )
1210, 11sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  X  =  Y )
13 gsumunsnd.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1413adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  Y  e.  B )
1512, 14eqeltrd 2531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  X  e.  B )
169, 15jaodan 785 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
178, 16sylan2b 475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
18 gsumunsnd.d . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
19 disjsn 4075 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  { M } )  =  (/)  <->  -.  M  e.  A )
2018, 19sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  { M } )  =  (/) )
21 eqidd 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  =  ( A  u.  { M } ) )
221, 2, 3, 7, 17, 20, 21gsummptfidmsplit 16928 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) ) )
23 cmnmnd 16791 . . . . 5  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
243, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
25 gsumunsnd.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
26 nfv 1694 . . . 4  |-  F/ k
ph
27 gsumunsnfd.0 . . . 4  |-  F/_ k Y
281, 24, 25, 13, 11, 26, 27gsumsnfd 16956 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) )  =  Y )
2928oveq2d 6297 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  ( G 
gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
3022, 29eqtrd 2484 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   F/_wnfc 2591    u. cun 3459    i^i cin 3460   (/)c0 3770   {csn 4014    |-> cmpt 4495   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   Basecbs 14613   +g cplusg 14678    gsumg cgsu 14819   Mndcmnd 15897  CMndccmn 16776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-seq 12089  df-hash 12387  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-0g 14820  df-gsum 14821  df-mre 14964  df-mrc 14965  df-acs 14967  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-submnd 15945  df-mulg 16038  df-cntz 16333  df-cmn 16778
This theorem is referenced by:  gsumunsnd  16962  gsumunsnf  16963
  Copyright terms: Public domain W3C validator