Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumunsnf Structured version   Unicode version

Theorem gsumunsnf 26267
Description: Append an element to a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumunsnf.0  |-  F/_ k Y
gsumunsnf.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumunsnf.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumunsnf.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumunsnf.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumunsnf.f  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsumunsnf.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
gsumunsnf.d  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
gsumunsnf.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
gsumunsnf.s  |-  ( k  =  M  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
gsumunsnf  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, G    k, M    ph, k
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    V( k)    X( k)    Y( k)

Proof of Theorem gsumunsnf
StepHypRef Expression
1 gsumunsnf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2443 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsumunsnf.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 gsumunsnf.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 gsumunsnf.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 snfi 7411 . . . 4  |-  { M }  e.  Fin
7 unfi 7600 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { M }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { M } )  e. 
Fin )
85, 6, 7sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  e.  Fin )
9 elun 3518 . . . 4  |-  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } ) )
10 gsumunsnf.f . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
11 elsni 3923 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { M }  ->  k  =  M )
12 gsumunsnf.s . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  X  =  Y )
1311, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { M }  ->  X  =  Y )
1413adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  X  =  Y )
15 gsumunsnf.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  Y  e.  B )
1714, 16eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  X  e.  B )
1810, 17jaodan 783 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
199, 18sylan2b 475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
20 cnvimass 5210 . . . . 5  |-  ( `' ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  dom  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
21 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  =  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
2221dmmptss 5355 . . . . 5  |-  dom  (
k  e.  ( A  u.  { M }
)  |->  X )  C_  ( A  u.  { M } )
2320, 22sstri 3386 . . . 4  |-  ( `' ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  ( A  u.  { M } )
24 ssfi 7554 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  { M } )  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  ( A  u.  { M } ) )  -> 
( `' ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
258, 23, 24sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
26 gsumunsnf.d . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
27 disjsn 3957 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  { M } )  =  (/)  <->  -.  M  e.  A )
2826, 27sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  { M } )  =  (/) )
29 eqidd 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  =  ( A  u.  { M } ) )
301, 2, 3, 4, 8, 19, 25, 28, 29gsumsplit2OLD 16444 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) ) )
31 cmnmnd 16313 . . . . 5  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
324, 31syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
33 gsumunsnf.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
34 gsumunsnf.0 . . . . 5  |-  F/_ k Y
3534, 1, 12gsumsnf 26266 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  Y  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) )  =  Y )
3632, 33, 15, 35syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) )  =  Y )
3736oveq2d 6128 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  ( G 
gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
3830, 37eqtrd 2475 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   F/_wnfc 2575   _Vcvv 2993    \ cdif 3346    u. cun 3347    i^i cin 3348    C_ wss 3349   (/)c0 3658   {csn 3898    e. cmpt 4371   `'ccnv 4860   dom cdm 4861   "cima 4864   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Fincfn 7331   Basecbs 14195   +g cplusg 14259   0gc0g 14399    gsumg cgsu 14400   Mndcmnd 15430  CMndccmn 16298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-oi 7745  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-hash 12125  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300
This theorem is referenced by:  gsumvsca1  26273  gsumvsca2  26274
  Copyright terms: Public domain W3C validator