MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumunsnd Structured version   Unicode version

Theorem gsumunsnd 16457
Description: Append an element to a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 2-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumunsnd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumunsnd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumunsnd.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumunsnd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumunsnd.f  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsumunsnd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
gsumunsnd.d  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
gsumunsnd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
gsumunsnd.s  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
gsumunsnd  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, G    k, M    ph, k    k, Y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    V( k)    X( k)

Proof of Theorem gsumunsnd
StepHypRef Expression
1 gsumunsnd.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2443 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsumunsnd.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 gsumunsnd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 gsumunsnd.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 snfi 7395 . . . 4  |-  { M }  e.  Fin
7 unfi 7584 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { M }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { M } )  e. 
Fin )
85, 6, 7sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  e.  Fin )
9 elun 3502 . . . 4  |-  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } ) )
10 gsumunsnd.f . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
11 elsni 3907 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { M }  ->  k  =  M )
12 gsumunsnd.s . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  =  Y )
1311, 12sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  X  =  Y )
14 gsumunsnd.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1514adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  Y  e.  B )
1613, 15eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  X  e.  B )
1710, 16jaodan 783 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
189, 17sylan2b 475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
19 eqid 2443 . . . 4  |-  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  =  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
206a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { M }  e.  Fin )
215, 20jca 532 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  e.  Fin  /\ 
{ M }  e.  Fin ) )
2221, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  e.  Fin )
2310expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  ->  ( ph  ->  X  e.  B
) )
2414adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  Y  e.  B )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( ph  /\  k  =  M ) )  ->  Y  e.  B )
26 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  e.  B  <->  Y  e.  B ) )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( ph  /\  k  =  M ) )  -> 
( X  e.  B  <->  Y  e.  B ) )
2825, 27mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( ph  /\  k  =  M ) )  ->  X  e.  B )
2928ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  Y  ->  (
( ph  /\  k  =  M )  ->  X  e.  B ) )
3012, 29mpcom 36 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  e.  B )
3130expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( ph  ->  X  e.  B
) )
3211, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { M }  ->  ( ph  ->  X  e.  B ) )
3323, 32jaoi 379 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } )  ->  ( ph  ->  X  e.  B
) )
349, 33sylbi 195 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  -> 
( ph  ->  X  e.  B ) )
3534impcom 430 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
36 fvex 5706 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
3736a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  _V )
3819, 22, 35, 37fsuppmptdm 7636 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) finSupp 
( 0g `  G
) )
39 gsumunsnd.d . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
40 disjsn 3941 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  { M } )  =  (/)  <->  -.  M  e.  A )
4139, 40sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  { M } )  =  (/) )
42 eqidd 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  =  ( A  u.  { M } ) )
431, 2, 3, 4, 8, 18, 38, 41, 42gsumsplit2 16427 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) ) )
44 cmnmnd 16297 . . . . 5  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
454, 44syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
46 gsumunsnd.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
471, 45, 46, 14, 12gsumsnd 16455 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) )  =  Y )
4847oveq2d 6112 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  ( G 
gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
4943, 48eqtrd 2475 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2977    u. cun 3331    i^i cin 3332   (/)c0 3642   {csn 3882    e. cmpt 4355   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Fincfn 7315   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   0gc0g 14383    gsumg cgsu 14384   Mndcmnd 15414  CMndccmn 16282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-hash 12109  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284
This theorem is referenced by:  gsumunsn  16458  gsummgp0  16704
  Copyright terms: Public domain W3C validator