MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumunsn Structured version   Unicode version

Theorem gsumunsn 16558
Description: Append an element to a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumunsn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumunsn.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumunsn.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumunsn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumunsn.f  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsumunsn.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
gsumunsn.d  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
gsumunsn.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
gsumunsn.s  |-  ( k  =  M  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
gsumunsn  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, G    k, M    ph, k    k, Y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    V( k)    X( k)

Proof of Theorem gsumunsn
StepHypRef Expression
1 gsumunsn.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumunsn.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 gsumunsn.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 gsumunsn.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
5 gsumunsn.f . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
6 gsumunsn.m . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
7 gsumunsn.d . 2  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
8 gsumunsn.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
9 gsumunsn.s . . 3  |-  ( k  =  M  ->  X  =  Y )
109adantl 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  =  Y )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10gsumunsnd 16557 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    u. cun 3424   {csn 3975    |-> cmpt 4448   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   Fincfn 7410   Basecbs 14276   +g cplusg 14340    gsumg cgsu 14481  CMndccmn 16381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-oi 7825  df-card 8210  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-seq 11908  df-hash 12205  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-mulg 15650  df-cntz 15937  df-cmn 16383
This theorem is referenced by:  gsum2dlem2  16567  gsum2dOLD  16569  mplcoe1  17651  mplcoe2OLD  17657  evl1gsumdlem  17899  madugsum  18565  gsummatr01lem3  18579  imasdsf1olem  20064  jensenlem1  22496  jensenlem2  22497  wilthlem2  22523  mgpsumunsn  30897  coe1fzgsumdlem  30979
  Copyright terms: Public domain W3C validator