MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsubmcl Structured version   Unicode version

Theorem gsumsubmcl 16803
Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsubmcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumsubmcl.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumsubmcl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumsubmcl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
gsumsubmcl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
gsumsubmcl.w  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsumsubmcl  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  S
)

Proof of Theorem gsumsubmcl
StepHypRef Expression
1 gsumsubmcl.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
2 eqid 2467 . 2  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
3 gsumsubmcl.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 cmnmnd 16686 . . 3  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
6 gsumsubmcl.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
7 gsumsubmcl.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
8 gsumsubmcl.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
9 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
109submss 15853 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
117, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
12 fss 5745 . . . 4  |-  ( ( F : A --> S  /\  S  C_  ( Base `  G
) )  ->  F : A --> ( Base `  G
) )
138, 11, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  G ) )
149, 2, 3, 13cntzcmnf 16724 . 2  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  F ) )
15 gsumsubmcl.w . 2  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
161, 2, 5, 6, 7, 8, 14, 15gsumzsubmcl 16801 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  S
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   finSupp cfsupp 7841   Basecbs 14507   0gc0g 14712    gsumg cgsu 14713   Mndcmnd 15793  SubMndcsubmnd 15838  Cntzccntz 16225  CMndccmn 16671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-cntz 16227  df-cmn 16673
This theorem is referenced by:  gsumsubgcl  16805  mplbas2  18004  tdeglem1  22324  tdeglem4  22326  plypf1  22477  jensen  23184  amgmlem  23185  amgm  23186  wilthlem2  23209  wilthlem3  23210  lgseisenlem3  23492
  Copyright terms: Public domain W3C validator