MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsubm Structured version   Unicode version

Theorem gsumsubm 15508
Description: Evaluate a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsubm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumsubm.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
gsumsubm.f  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
gsumsubm.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
gsumsubm  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( H  gsumg  F ) )

Proof of Theorem gsumsubm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . 2  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 eqid 2443 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 gsumsubm.h . 2  |-  H  =  ( Gs  S )
4 gsumsubm.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
5 submrcl 15474 . . 3  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  G  e.  Mnd )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
7 gsumsubm.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
81submss 15478 . . 3  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
94, 8syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
10 gsumsubm.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
11 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
1211subm0cl 15480 . . 3  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
134, 12syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  S )
141, 2, 11mndlrid 15440 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G ) ( 0g `  G
) )  =  x ) )
156, 14sylan 471 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( (
( 0g `  G
) ( +g  `  G
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G
) ( 0g `  G ) )  =  x ) )
161, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 13, 15gsumress 15507 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( H  gsumg  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3328   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   ↾s cress 14175   +g cplusg 14238   0gc0g 14378    gsumg cgsu 14379   Mndcmnd 15409  SubMndcsubmnd 15463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-seq 11807  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mnd 15415  df-submnd 15465
This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  16402  gsumzsubmclOLD  16403  resspsrmul  17489  gsumply1subr  17688  tsmssubm  19716  amgmlem  22383  lgseisenlem4  22691
  Copyright terms: Public domain W3C validator