MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsubgcl Structured version   Unicode version

Theorem gsumsubgcl 16395
Description: Closure of a group sum in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsubgcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumsubgcl.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
gsumsubgcl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumsubgcl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
gsumsubgcl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
gsumsubgcl.w  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsumsubgcl  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  S
)

Proof of Theorem gsumsubgcl
StepHypRef Expression
1 gsumsubgcl.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
2 gsumsubgcl.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
3 ablcmn 16272 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. CMnd
)
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 gsumsubgcl.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
6 gsumsubgcl.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
7 subgsubm 15692 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
9 gsumsubgcl.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
10 gsumsubgcl.w . 2  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
111, 4, 5, 8, 9, 10gsumsubmcl 16393 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  S
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4285   -->wf 5407   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   finSupp cfsupp 7612   0gc0g 14370    gsumg cgsu 14371  SubMndcsubmnd 15455  SubGrpcsubg 15664  CMndccmn 16266   Abelcabel 16267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-se 4672  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-isom 5420  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-grp 15534  df-minusg 15535  df-subg 15667  df-cntz 15824  df-cmn 16268  df-abl 16269
This theorem is referenced by:  mplbas2  17523  frlmsslsp  18192  jensenlem2  22350  amgmlem  22352  gsumlsscl  30733
  Copyright terms: Public domain W3C validator