MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsubgcl Structured version   Unicode version

Theorem gsumsubgcl 17049
Description: Closure of a group sum in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsubgcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumsubgcl.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
gsumsubgcl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumsubgcl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
gsumsubgcl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
gsumsubgcl.w  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsumsubgcl  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  S
)

Proof of Theorem gsumsubgcl
StepHypRef Expression
1 gsumsubgcl.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
2 gsumsubgcl.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
3 ablcmn 16921 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. CMnd
)
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 gsumsubgcl.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
6 gsumsubgcl.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
7 subgsubm 16340 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
9 gsumsubgcl.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
10 gsumsubgcl.w . 2  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
111, 4, 5, 8, 9, 10gsumsubmcl 17047 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  S
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1826   class class class wbr 4367   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   finSupp cfsupp 7744   0gc0g 14847    gsumg cgsu 14848  SubMndcsubmnd 16082  SubGrpcsubg 16312  CMndccmn 16915   Abelcabl 16916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-hash 12308  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-subg 16315  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-abl 16918
This theorem is referenced by:  mplbas2  18247  frlmsslsp  18916  jensenlem2  23434  amgmlem  23436  gsumlsscl  33176
  Copyright terms: Public domain W3C validator