Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsub Structured version   Unicode version

Theorem gsumsub 17101
 Description: The difference of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsub.b
gsumsub.z
gsumsub.m
gsumsub.g
gsumsub.a
gsumsub.f
gsumsub.h
gsumsub.fn finSupp
gsumsub.hn finSupp
Assertion
Ref Expression
gsumsub g g g

Proof of Theorem gsumsub
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumsub.b . . . 4
2 gsumsub.z . . . 4
3 eqid 2457 . . . 4
4 gsumsub.g . . . . 5
5 ablcmn 16931 . . . . 5 CMnd
64, 5syl 16 . . . 4 CMnd
7 gsumsub.a . . . 4
8 gsumsub.f . . . 4
9 eqid 2457 . . . . . . 7
10 ablgrp 16930 . . . . . . . 8
114, 10syl 16 . . . . . . 7
121, 9, 11grpinvf1o 16235 . . . . . 6
13 f1of 5822 . . . . . 6
1412, 13syl 16 . . . . 5
15 gsumsub.h . . . . 5
16 fco 5747 . . . . 5
1714, 15, 16syl2anc 661 . . . 4
18 gsumsub.fn . . . 4 finSupp
19 fvex 5882 . . . . . . 7
202, 19eqeltri 2541 . . . . . 6
2120a1i 11 . . . . 5
22 fvex 5882 . . . . . . 7
231, 22eqeltri 2541 . . . . . 6
2423a1i 11 . . . . 5
25 gsumsub.hn . . . . 5 finSupp
262, 9grpinvid 16228 . . . . . 6
2711, 26syl 16 . . . . 5
2821, 15, 14, 7, 24, 25, 27fsuppco2 7880 . . . 4 finSupp
291, 2, 3, 6, 7, 8, 17, 18, 28gsumadd 17065 . . 3 g g g
301, 2, 9, 4, 7, 15, 25gsuminv 17098 . . . 4 g g
3130oveq2d 6312 . . 3 g g g g
3229, 31eqtrd 2498 . 2 g g g
338ffvelrnda 6032 . . . . . 6
3415ffvelrnda 6032 . . . . . 6
35 gsumsub.m . . . . . . 7
361, 3, 9, 35grpsubval 16220 . . . . . 6
3733, 34, 36syl2anc 661 . . . . 5
3837mpteq2dva 4543 . . . 4
398feqmptd 5926 . . . . 5
4015feqmptd 5926 . . . . 5
417, 33, 34, 39, 40offval2 6555 . . . 4
42 fvex 5882 . . . . . 6
4342a1i 11 . . . . 5
4414feqmptd 5926 . . . . . 6
45 fveq2 5872 . . . . . 6
4634, 40, 44, 45fmptco 6065 . . . . 5
477, 33, 43, 39, 46offval2 6555 . . . 4
4838, 41, 473eqtr4d 2508 . . 3
4948oveq2d 6312 . 2 g g
501, 2, 6, 7, 8, 18gsumcl 17050 . . 3 g
511, 2, 6, 7, 15, 25gsumcl 17050 . . 3 g
521, 3, 9, 35grpsubval 16220 . . 3 g g g g g g
5350, 51, 52syl2anc 661 . 2 g g g g
5432, 49, 533eqtr4d 2508 1 g g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  cvv 3109   class class class wbr 4456   cmpt 4515   ccom 5012  wf 5590  wf1o 5593  cfv 5594  (class class class)co 6296   cof 6537   finSupp cfsupp 7847  cbs 14644   cplusg 14712  c0g 14857   g cgsu 14858  cgrp 16180  cminusg 16181  csg 16182  CMndccmn 16925  cabl 16926 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928 This theorem is referenced by:  gsummptfssub  17103  tsmsxplem2  20782
 Copyright terms: Public domain W3C validator