Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumspl Structured version   Unicode version

Theorem gsumspl 15642
 Description: The primary purpose of the splice construction is to enable local rewrites. Thus, in any monoidal valuation, if a splice does not cause a local change it does not cause a global change. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumspl.b
gsumspl.m
gsumspl.s Word
gsumspl.f
gsumspl.t
gsumspl.x Word
gsumspl.y Word
gsumspl.eq g g
Assertion
Ref Expression
gsumspl g splice g splice

Proof of Theorem gsumspl
StepHypRef Expression
1 gsumspl.eq . . . 4 g g
21oveq2d 6217 . . 3 g substr g g substr g
32oveq1d 6216 . 2 g substr g g substr g substr g g substr
4 gsumspl.s . . . . 5 Word
5 gsumspl.f . . . . 5
6 gsumspl.t . . . . 5
7 gsumspl.x . . . . 5 Word
8 splval 12512 . . . . 5 Word Word splice substr concat concat substr
94, 5, 6, 7, 8syl13anc 1221 . . . 4 splice substr concat concat substr
109oveq2d 6217 . . 3 g splice g substr concat concat substr
11 gsumspl.m . . . 4
12 swrdcl 12434 . . . . . 6 Word substr Word
134, 12syl 16 . . . . 5 substr Word
14 ccatcl 12393 . . . . 5 substr Word Word substr concat Word
1513, 7, 14syl2anc 661 . . . 4 substr concat Word
16 swrdcl 12434 . . . . 5 Word substr Word
174, 16syl 16 . . . 4 substr Word
18 gsumspl.b . . . . 5
19 eqid 2454 . . . . 5
2018, 19gsumccat 15639 . . . 4 substr concat Word substr Word g substr concat concat substr g substr concat g substr
2111, 15, 17, 20syl3anc 1219 . . 3 g substr concat concat substr g substr concat g substr
2218, 19gsumccat 15639 . . . . 5 substr Word Word g substr concat g substr g
2311, 13, 7, 22syl3anc 1219 . . . 4 g substr concat g substr g
2423oveq1d 6216 . . 3 g substr concat g substr g substr g g substr
2510, 21, 243eqtrd 2499 . 2 g splice g substr g g substr
26 gsumspl.y . . . . 5 Word
27 splval 12512 . . . . 5 Word Word splice substr concat concat substr
284, 5, 6, 26, 27syl13anc 1221 . . . 4 splice substr concat concat substr
2928oveq2d 6217 . . 3 g splice g substr concat concat substr
30 ccatcl 12393 . . . . 5 substr Word Word substr concat Word
3113, 26, 30syl2anc 661 . . . 4 substr concat Word
3218, 19gsumccat 15639 . . . 4 substr concat Word substr Word g substr concat concat substr g substr concat g substr
3311, 31, 17, 32syl3anc 1219 . . 3 g substr concat concat substr g substr concat g substr
3418, 19gsumccat 15639 . . . . 5 substr Word Word g substr concat g substr g
3511, 13, 26, 34syl3anc 1219 . . . 4 g substr concat g substr g
3635oveq1d 6216 . . 3 g substr concat g substr g substr g g substr
3729, 33, 363eqtrd 2499 . 2 g splice g substr g g substr
383, 25, 373eqtr4d 2505 1 g splice g splice
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1370   wcel 1758  cop 3992  cotp 3994  cfv 5527  (class class class)co 6201  cc0 9394  cfz 11555  chash 12221  Word cword 12340   concat cconcat 12342   substr csubstr 12344   splice csplice 12345  cbs 14293   cplusg 14358   g cgsu 14499  cmnd 15529 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-ot 3995  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-hash 12222  df-word 12348  df-concat 12350  df-substr 12352  df-splice 12353  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-mnd 15535  df-submnd 15585 This theorem is referenced by:  psgnunilem2  16121
 Copyright terms: Public domain W3C validator